Polynomfunktioner

Antal lösningar till ekvationen p(x)=0 motsvarar antal nollställen till tredjegradsfunktionen p(x). Eftersom vi vet att p(x) har 2 nollställen, så måste ekvationen ha 2 lösningar.

Vi undersöker hur många extrempunkter som krävs för att en tredjegradare ska uppfylla kravet på 2 nollställen. En tredjegradare utan extrempunkter skulle aldrig vända och kan därför inte skära x-axeln två gånger. Det fallet kan alltså uteslutas.

En graf med 1 extrempunkt kan gå igenom 2 nollställen men den skulle ha utseendet av en parabel, dvs. en andragradsfunktion. 1 extrempunkt kan därför också uteslutas eftersom en tredjegradare aldrig kan se ut på det viset.

Om grafen vänder två gånger kan vi däremot få en situation som helt överensstämmer med kraven. Ena extrempunkten behöver dock ligga precis på x-axeln, annars skulle funktionen ha 1 eller 3 nollställen.

Skulle p(x) kunna ha fler än 2 extrempunkter? Nej, eftersom ett polynom av grad n maximalt kan ha n-1 extrempunkter. Tredjegradsfunktionen p(x) kan därför bara ha 2 extrempunkter.

Konstanttermen anger var grafen till en polynomfunktion skär y-axeln. Detta sker i y=1 så C=1.

Om polynomet ska ha ett nollställe måste vi förskjuta grafen uppåt eller nedåt så att båda extrempunkterna hamnar antingen ovanför eller under x-axeln. I så fall skär funktionen x-axeln endast en gång.

Förskjuta grafen uppåt

Vi förskjuter grafen uppåt genom att addera en konstant till polynomet. Denna konstant ska alltså vara så pass stor att minimipunkten hamnar ovanför x-axeln. Minimipunktens y-koordinat är - 3 så om vi adderar 3 till polynomet flyttas minimipunkten så att den hamnar på x-axeln. Då får funktionen två nollställen. Om vi däremot lägger till en konstant som är större än 3 kommer vi endast få ett nollställe.

Från början var C=1 så om man ökar det med minst 3 blir C>4.

Förskjuta grafen nedåt

Vi kan även förskjuta grafen nedåt så att maximipunkten hamnar under x-axeln. De gör också att grafen får ett nollställe. Maximipunktens y-värde är 1 så genom att subtrahera med minst 1 får polynomet endast ett nollställe.

Om man förskjuter grafen mer än ett steg nedåt blir villkoret för polynomets konstantterm C<0. Sammantaget ska alltså villkoret C>4 eller C<0 gälla för att polynomfunktionen endast ska ha ett nollställe.

Eftersom vi ska bestämma nollställena sätter vi polynomfunktionen lika med 0 och vi får då polynomekvationen 3x^4+60x^2-132=0. Ekvationen står på formen ax^4+bx^2+c=0 och kan därför lösas med variabelsubstitution. Vi skriver först om ekvationen så att koefficienten framför x^4-termen är lika med 1. För vår ekvation innebär det att vi dividerar vänster- och högerled med 3.

Nu gör vi själva variabelsubstitutionen, och byter då ut x^2 mot t efter att vi har gjort ett par omskrivningar av x^4.

Vi löser nu denna andragradsekvation med hjälp av pq-formeln.

Eftersom det är x och inte t som löser ursprungsekvationen måste vi byta tillbaka till ursprungsvariabeln genom att sätta in lösningarna för t i variabelsubstitutionen.

t=- 22

Då byter vi tillbaka så att t=- 22 för x^2=t.

Ekvationens imaginära rötter är x=- isqrt(22) och x= isqrt(22).

t=2

Då byter vi tillbaka så att t=2 för x^2=t.

Ekvationens reella rötter är x=- sqrt(2) och x= sqrt(2).

Kvadranterna i ett koordinatsystem förhåller sig till varandra som i figuren.

Extrempunkten A=(a,c) hittar vi alltså någonstans uppe till vänster, medan punkt B=(b,sqrt(2)c) finns uppe till höger. Vi vet också att punkt B ligger högre upp i koordinatsystemet än punkt A eftersom B har ett högre y-värde än A, då sqrt(2)c>c.

Om vi ritar ut två godtyckliga punkter som stämmer in på ovanstående kriterier skulle det kunna se ut som i figuren.

Eftersom punkt B ligger högre upp än A kommer kurvan genom punkterna enligt definitionen att vara växande till höger om extrempunkten. Men hur ser grafen ut till vänster? Eftersom det är en andragradsfunktion vet vi att den bara har en extrempunkt, alltså den i A, så den måste vara avtagande till vänster. Punkt A kommer alltså vara en minimipunkt.

Vi kan t.ex. undersöka polynom upp till grad 6, och undersöker varje grad för sig.

Grad 1

Vi börjar med polynomfunktioner av grad 1, dvs. linjära funktioner. Vi vet av erfarenhet att de alltid skär x-axeln en gång, så länge de inte är på formen y=C där C är en konstant. Men då är de inte heller av grad 1, eftersom funktionsuttrycket måste innehålla x för att vara det.

Polynomfunktioner av grad 1 har alltså 1 nollställe.

Grad 2

Polynom av grad 2, alltså andragradsfunktioner, vet vi av erfarenhet kan sakna reella rötter vilket är samma sak som att de saknar nollställen. Detta sker om funktionen har en minimipunkt ovanför x-axeln eller en maximipunkt nedanför x-axeln.

Minsta antalet nollställen för polynom av grad 2 är alltså .

Grad 3

Vi testar några olika typer av tredjegradspolynom, där vi varierar värdena på koefficienterna. Vi testar även några olika antal termer, så att vi får med olika fall där x^3-termen alltid finns men övriga varierar.

Alla grafer skär x-axeln minst en gång. Det minsta antalet nollställen verkar alltså vara 1.

Grad 4

Vi börjar exempelvis med funktionen x^4+5. Vi har då turen att se att den inte skär x-axeln någon gång, vilket innebär att vi hittat ett fall då en fjärdegradsfunktion har 0 nollställen och då är vi klara.

Minsta antalet nollställen som ett fjärdegradspolynom kan ha är alltså .

Grad 5

Vi gör på samma sätt, dvs. testar några olika exempel. Det kan vara bra att testa ganska många olika funktionsuttryck, men här visar vi bara två. Vissa grafer kan vara svåra att hantera på grafräknare, då kan man gärna använda något program för att rita grafer, exempelvis Wolfram|Alpha eller Geogebra .

De som skär x-axeln minst antal gånger skär den 1 gång. Vi kan dock inte veta med säkerhet om detta gäller för samtliga femtegradsfunktioner. Men vad vi kan se av vår undersökning verkar det minsta antalet nollställen vara 1.

Grad 6

Slutligen gör vi samma sak för polynom av grad 6. Har man tur hittar man en funktion som inte skär x-axeln, som här y=- x^6-2.

Precis som för fjärdegradspolynom kan vi med säkerhet säga att det existerar vissa sjättegradspolynom som helt saknar nollställen. Minsta antalet nollställen är därför .

Slutsats

Vi sammanfattar våra slutsatser i en tabell.

Utifrån undersökningen verkar det som att polynomfunktioner av udda grad alltid har minst 1 nollställe medan polynomfunktioner av jämn grad har som minst 0. Detta kan vi formulera som regeln: Udda n& : som minst 1 nollställe Jämna n& : som minst 0 nollställen.

Uttrycket f(x)+6.5=0 innebär att f(x) flyttas upp med 6.5 steg den nya grafens nollställen löser ekvationen. Det kanske inte är helt enkelt så istället kan vi skriva vi om uttrycket enligt f(x)+6.5=0 ⇔ f(x)=- 6.5. Nu kan vi läsa av var f(x) är lika med - 6.5.

Vi ser direkt att ena lösningen är x≈1.0. Hur bestämmer vi de två övriga lösningarna? Rutnätet delar in avståndet mellan två intilligande heltal i 5 mindre delsträckor. Varje lodrät streck i rutnätet representerar alltså 15=0.2 le. Vi visar mellan x=- 2 och x=- 3.

Den första skärningspunkten ligger mellan - 2.2 och - 2.4 så den måste peka på ungefär - 2.3. Den sista skärningspunkten ligger på den fjärde markeringen mellan 2 och 3 så denna lösningen måste vara x≈2.8. Sammanfattningsvis är ekvationens lösningar x≈- 2.3, x≈1.0 och x≈2.8.

Om funktionen g(x)=0 har en reell lösning ska g(x) skära x-axeln en gång. Just nu skär f(x) x-axeln tre gånger. Eftersom k ska vara större än noll, måste vi flytta upp f(x) tillräckligt mycket för att g(x)=f(x)+k enbart ska ha en skärningspunkt. Vi ser att f(x) antar en minimipunkt i (2,- 10). Om vi lägger till 10 flyttas den upp till x-axeln grafen skär då x-axeln på endast två ställen.

Detta innebär att om man lägger till en konstant större än 10 hamnar minimipunkten ovanför x-axeln och då skär grafen x-axeln på endast ett ställe.

k måste alltså vara större än 10. Det kan vi skriva som k>10.