Logga in
| 5 sidor teori |
| 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
Matematiska problem med verklighetsanknytning och som går ut på att hitta ett största eller minsta värde för något, t.ex. en area eller kostnad, brukar kallas extremvärdesproblem. Man löser dessa genom att definiera en funktion baserat på frågan och sedan maximera eller minimera den. Följande är ett exempel på ett extremvärdesproblem som kan lösas på detta sätt.
Det ska byggas ett stängsel runt en rektangulär kattgård. Bestäm arean och sidlängderna för den största kattgården som går att bygga med 10 meter stängsel. |
Om funktionsuttrycket inte är givet i uppgiften måste man själv ställa upp det. I det här fallet vill man maximera en area som beror på gårdens sidlängder, vilket innebär att man måste beteckna arean och sidlängderna på något sätt. Man kan t.ex. kalla gårdens area för A och sidlängderna för x och y.
Nu måste man verifiera funktionens största eller minsta värde, dvs. kontrollera att den extrempunkt med högst eller lägst y-värde faktiskt är ett maximum eller minimum. Man kan alltid göra detta med andraderivatan eller med en teckentabell. Det finns dock två specialfall där verifieringen kan göras på enklare sätt:
I detta fall är intervallet slutet och andragradsfunktioner är alltid sammanhängande så man kan jämföra funktionsvärdena i de stationära punkterna och ändpunkterna. Det största värdet är 6,25 och det finns där x=2,5.
Kattgårdens area är alltså som störst då den har formen av en kvadrat med sidan 2,5 m, vilket ger arean 6,25 m2.
Börja med att skriva ett funktionsuttryck i en variabel. Identifiera definitionsmängden, utvärdera sedan funktionen vid ändpunkterna och vid de stationära punkterna. Jämför funktionsvärdena i dessa punkter för att avgöra vilket som ger det största värdet.
Vi löser detta extremvärdesproblem steg för steg och börjar med att definiera en funktion baserat på informationen vi fått.
Multiplicera in x2
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
D(xn)=nxn−1
P′(x)=0
Omarrangera ekvation
VL/3=HL/3
Dela upp i faktorer
Bryt ut x
Använd nollproduktmetoden
(II): VL+x=HL+x
(II): Omarrangera ekvation
Nu har vi bestämt alla extrempunkter, och eftersom intervallet är slutet räcker det med att jämföra deras funktionsvärden för att se vilket som är störst. Båda ändpunkterna har funktionsvärdet 0, så det största värdet måste vara 864.
Ett rektangulärt område ska inhägnas med hjälp av 320 meter stängsel. En av de långa sidorna ligger mot en ladugårdsvägg och behöver därför inget stängsel. Vilka mått på rektangeln ger den största möjliga arean?
Börja med att uttrycka arean som en funktion av en variabel. Derivera sedan funktionen för att hitta dess stationära punkt. Använd andraderivatan för att avgöra om den stationära punkten motsvarar ett maximum.
Börja med att beskriva arean med en funktion. Observera att sidan mot ladugårdsväggen inte behöver stängsel — med andra ord, en lång sida utelämnas i beräkningarna. Dessutom måste två kortsidor samt den andra långsidan inhägnas. Låt x representera längden på en kortsida. Då är de två kortsidorna 2x och den ena långsidan är 300−2x.
Multiplicera in x
A′(x)=0
VL+4x=HL+4x
VL/4=HL/4
x=80
Multiplicera faktorer
Subtrahera term
Multiplicera faktorer
En snickare bygger två identiska rektangulära fönsterramar som placeras sida vid sida och delar ett vertikalt stöd mellan sig. Han har 24 meter trälister för att rama in de yttre och inre kanterna.
örja med att identifiera hur många vertikala och horisontella kanter som listen måste täcka, och använd detta för att skriva en restriktionsekvation. Uttryck den totala glasytan i termer av en variabel, och derivera sedan för att hitta stationära punkter. Använd den andra derivatan för att avgöra om punkten motsvarar ett maximum.
Den totala listen används för 3 vertikala kanter: vänstersidan, det delade mittenstödet och högersidan, samt för 2 horisontella kanter: ovansidan och undersidan. Låt x vara höjden på varje fönster och y den totala horisontella längden för de två fönstren placerade sida vid sida.
Multiplicera in x
Dela upp bråk
Beräkna kvot
ca⋅b=ca⋅b
Derivera funktion
D(ax)=a
D(axn)=a⋅nxn−1
A′(x)=0
VL+3x=HL+3x
VL/3=HL/3
x=4
Multiplicera faktorer
Subtrahera term
Beräkna kvot
Multiplicera faktorer
I figuren har grafen till funktionen f(x)=12−x2 ritats. Punkterna P och Q har samma y-värde och spänner upp en rektangel tillsammans med x-axeln.
En rektangels area beräknas genom att multiplicera dess bredd och längd. Vi kallar sidorna för B och L.
För att bestämma bredden använder vi att funktionen har symmetrilinjen x_s=0. Andragradskurvan är symmetrisk runt denna så P och Q kommer ligga på samma avstånd från y-axeln. Om vi kallar x-koordinaten i P för x=a kommer x-koordinaten i Q därför vara x=- a. Avståndet mellan P och Q blir a-(- a)=2a. Längden L representeras av punkternas funktionsvärden eftersom det är höjden.
Rektangelns area kan alltså skrivas som 2a* f(a). Funktionsvärdet f(a) är lika med 12-a^2 vilket ger areauttrycket A=2a* f(a)= 2a(12-a^2). Om det ska bildas en rektangel ovanför x-axeln måste båda sidorna vara större än 0, dvs. 2a > 0 och 12-a^2 > 0 vilka tillsammans ger villkoren 0 < a < sqrt(12). Nu har vi tagit fram en funktion och tillhörande villkor för att det ska bildas ett rektangulärt område mellan kurvan och x-axeln. Vi vill maximera denna. Genom att derivera funktionen och sätta derivatan lika med 0 kan vi bestämma för vilka a den har stationära punkter. Funktionen kommer ha sitt globala maximum i någon av dessa.
Vi får två värden på a, men eftersom vi sedan tidigare vet att a är positivt får vi a=2. Slutligen måste vi även säkerställa att den stationära punkten i a=2 är ett maximum, t.ex. med hjälp av andraderivata. Vi deriverar därför areafunktionen en gång till och beräknar andraderivatans värde för a=2.
En negativ andraderivata i a=2 betyder att den stationära punkten är ett maximum. Vi sätter in detta a-värde i areafunktionen för att beräkna rektangelns största värde.
Rektangelns maximala area är alltså 32 a.e..
Italienaren Tartaglia var en matematiker som levde på 1500-talet. Han anses ha formulerat följande matematiska problem, här återgivet i modern översättning:
Kalla talen x1 och x2. Din uppgift är att lösa Tartaglias matematiska problem. Svara med två decimaler.
Vi vet att summan av två positiva tal ska bli 8. Om det mindre talet kallas för x och det större för y får vi x+y=8. Vad betyder då produkten av talens differens och talens produkt?
Det är produkten av y-x och xy som ska maximeras. Om vi kallar den för P får vi funktionen P=xy(y-x). Men hur kan vi maximera en funktion som innehåller två variabler? Vi vet att x+y=8, så genom att lösa ut en av variablerna, exempelvis y, får vi y=8-x som vi kan ersätta y med i funktionen P. Då får vi en funktion som enbart beror på en variabel, x.
Nu har vi en funktion med en variabel och vi multiplicerar ihop parenteserna för lättare kunna derivera.
Nu deriverar vi.
Till slut likställer vi derivatan med 0 och löser ut derivatans nollställen.
Detta är en andragradsekvation som vi löser med pq-formeln.
Derivatan har två nollställen. Vi undersöker deras karaktär med andraderivata så vi deriverar en gång till.
Nu sätter vi in de stationära punkternas x-värden i andraderivatan och avgör dess tecken.
x | 12x-48 | P''(x) | Tecken |
---|---|---|---|
4-4/sqrt(3) | 12( 4-4/sqrt(3))-48 | ~ - 28 | - |
4+4/sqrt(3) | 12( 4+4/sqrt(3))-48 | ~ 28 | + |
Andraderivatan i den första stationära punkten är negativ vilket betyder att det är en maximipunkt. Vi ser även att andraderivatan i den andra stationära punkten är positiv vilket betyder att det är en minimipunkt. Eftersom vi vill maximera produkten är x=4-4/sqrt(3) ≈ 1,69. Genom att sätta in det exakta värdet för x i y=8-x kan vi även bestämma y: y=8-( 4-4/sqrt(3))=4+4/sqrt(3) ≈ 6,31.
Garfesta kommun ska bygga en bollplan. Den ska vara rektangulär med stängsel runtomkring. För att inte bollarna ska hamna ute på vägen bestämmer man sig för att bygga ett högre stängsel på den sida som ligger närmast vägen, se figur.
A(x) är en andragradsfunktion med en negativ x^2-term. Därmed har den ett maximum. För att hitta detta maximum letar vi efter funktionens stationära punkter, som finns där derivatan har sina nollställen. Vi deriverar funktionen och löser ekvationen f'(x) = 0.
Funktionen har alltså en maximipunkt i x=11. Vi vill nu bekräfta att punkten ligger i definitionsmängden. Eftersom arean inte kan vara negativ undersöker vi för vilka x detta gäller genom att lösa ekvationen A(x)=0.
Definitionsmängden är 0≤ x≤ 22 och x=11 ligger i denna. Detta betyder att funktionens stationära punkt är den maximipunkt vi söker. Arean är alltså som störst när x = 11.