MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
3b
Kurs 3b Visa detaljer
6. Extremvärdesproblem
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 3b , Ma 3c ) /
Kapitel 4
6. 

Extremvärdesproblem

Denna lektion fokuserar på att förklara hur man löser extremvärdesproblem för att hitta det största och minsta värdet. Den beskriver hur man kan använda derivata för att hitta extrempunkter till en funktion genom att sätta derivatan lika med noll. Den förklarar också hur man kan använda dessa metoder för att lösa verkliga problem, som att hitta det maximala värdet av en produkt givet vissa villkor. Denna kunskap kan vara särskilt användbar för studenter som studerar matematik på en mer avancerad nivå och behöver förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
2 sidor teori
15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Extremvärdesproblem
Sida av 2
Metod

Lösa extremvärdesproblem

Matematiska problem med verklighetsanknytning och som går ut på att hitta ett största eller minsta värde för något, t.ex. en area eller kostnad, brukar kallas extremvärdesproblem. Man löser dessa genom att definiera en funktion baserat på frågan och sedan maximera eller minimera den. Följande är ett exempel på ett extremvärdesproblem som kan lösas på detta sätt.

Det ska byggas ett stängsel runt en rektangulär kattgård. Bestäm arean och sidlängderna för den största kattgården som går att bygga med meter stängsel.

1
Definiera ett funktionsuttryck som beror på en variabel
expand_more

Om funktionsuttrycket inte är givet i uppgiften måste man själv ställa upp det. I det här fallet vill man maximera en area som beror på gårdens sidlängder, vilket innebär att man måste beteckna arean och sidlängderna på något sätt. Man kan t.ex. kalla gårdens area för och sidlängderna för och

Kattgård med sidorna x och y
Funktionen ska dock bara bero på en variabel, så antingen eller måste uttryckas med hjälp av den andra variabeln. Man behöver alltså ytterligare ett samband för att göra detta. I det här fallet kan man utnyttja att det totalt finns m stängsel. Gårdens omkrets ska alltså vara m, vilket ger
Ur detta kan man lösa ut och få ett uttryck för kortsidan som enbart beror på
Nu behöver man inte använda variabeln för att beskriva kattgårdens dimensioner.
Kattgård med sidorna x och 5-x
Kattgårdens area kan beräknas genom att multiplicera långsidan med kortsidan, vilket ger andragradsfunktionen
som endast beror på en variabel:
2
Definiera eventuella villkor
expand_more

Ofta begränsar verkligheten funktionens definitions- och/eller värdemängd på något sätt. I det här fallet representerar en längd vilket innebär att det inte kan vara negativt.

Sidorna får inte vara 0 eller negativa pga arean
För långsidan gäller därför villkoret och för kortsidan
Sammanfattningsvis gäller alltså att man ska bestämma funktionens största värde på intervallet


3
Bestäm extrempunkter
expand_more
Funktionens extrempunkter finns i ändpunkter och i stationära punkter. Om funktionen är definierad på ett slutet intervall bestämmer man alltså koordinaterna för både ändpunkter och stationära punkter på intervallet. I det här fallet ska man maximera funktionen
på det intervallet I ändpunkterna är eftersom någon av sidlängderna blir där. Derivata är och har nollstället så där har funktionen en stationär punkt. Denna punkts funktionsvärde bestämmer man genom att sätta in i :
Funktionen har alltså en stationär punkt i Här finns troligen funktionens största värde, men detta behöver kontrolleras innan man drar någon slutsats.
4
Verifiera största eller minsta värdet
expand_more

Nu måste man verifiera funktionens största eller minsta värde, dvs. kontrollera att den extrempunkt med högst eller lägst -värde faktiskt är ett maximum eller minimum. Man kan alltid göra detta med andraderivatan eller med en teckentabell. Det finns dock två specialfall där verifieringen kan göras på enklare sätt:

  • Om funktionen är sammanhängande på ett slutet intervall räcker det att jämföra -värdena på de stationära punkter och ändpunkter man bestämt. Man vet då med säkerhet att det minsta -värdet är ett minimum och att det största -värdet är ett maximum.
  • Om man har en andragradsfunktion kan man använda andragradstermens tecken. Är den negativ är extremvärdet ett maximum och är den positiv är det ett minimum.

I detta fall är intervallet slutet och andragradsfunktioner är alltid sammanhängande så man kan jämföra funktionsvärdena i de stationära punkterna och ändpunkterna. Det största värdet är och det finns där

5
Besvara frågan i uppgiften
expand_more
Slutligen räcker det inte med att svara med ett tal, utan man behöver påminna sig själv om vad frågan egentligen är. I den här uppgiften skulle man bestämma sidlängderna och den största möjliga arean för kattgården. Största värdet för funktionen bestämdes till vilket innebär att gårdens maximala area är
Sidlängden m är den längd på långsidan som ger den största arean, vilket innebär att kortsidans längd är m.
Kvadratisk kattgård med sidan 2.5 m

Kattgårdens area är alltså som störst då den har formen av en kvadrat med sidan m, vilket ger arean m

Exempel

Lös extremvärdesproblemet

 fullscreen

Summan av de två icke-negativa talen och är Bestäm med hjälp av derivata det maximala värdet av och ange även vad och då är.

Visa Lösning expand_more

Vi löser detta extremvärdesproblem steg för steg och börjar med att definiera en funktion baserat på informationen vi fått.

Definiera ett funktionsuttryck som beror på en variabel

Vi vill bestämma det största möjliga värdet på produkten För att kunna göra det behöver vi dock ett funktionsuttryck som innehåller endast en variabel, t.ex. Vi känner till talens summa och kan använda det för att uttrycka med hjälp av :
Genom att sätta in detta i produkten kan vi definiera funktionen

Definiera eventuella villkor

Det är givet att talen och är icke-negativa, vilket innebär att de är positiva eller Detta kan skrivas som
Eftersom kan vi dock omformulera det andra villkoret.
Det ger oss ytterligare ett villkor för så sammanfattningsvis är funktionen definierad på intervallet

Bestäm funktionens största eller minsta värde

Vi kan nu bestämma funktionens största värde, och vi börjar med att bestämma ändpunkternas funktionsvärden. Vi sätter in och i funktionen
I båda ändpunkterna är alltså funktionsvärdet Vi bestämmer nu var funktionen har stationära punkter genom att derivera och lösa ekvationen
Distr

Multiplicera in

Derive

Derivera funktion

DeriveMonomCo

DeriveMonom

Substitute

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

DivEqn

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

FactorOut

Bryt ut

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

AddEqn

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

Vi ser att funktionen har stationära punkter i och och båda dessa ligger på intervallet Den stationära punkten i har samma -värde som en av ändpunkterna och har därför även samma funktionsvärde: Vi bestämmer den andra stationära punktens funktionsvärde genom att sätta in i
Den har alltså koordinaterna

Verifiera största värdet

Nu har vi bestämt alla extrempunkter, och eftersom intervallet är slutet räcker det med att jämföra deras funktionsvärden för att se vilket som är störst. Båda ändpunkterna har funktionsvärdet så det största värdet måste vara

Besvara frågan

Den maximala produkten av och är alltså Frågan är dock inte bara vilken den maximala produkten är utan även vilka två tal som ger denna. Det ena talet, vet vi är lika med och det andra talet, kan vi då beräkna med
Talen och ger alltså det maximala värdet på produkten
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Extremvärdesproblem
Uppgift 3.1

I figuren har grafen till funktionen ritats. Punkterna och har samma -värde och spänner upp en rektangel tillsammans med -axeln.

En andragradskurva samt en rektangel mellan denna och x-axeln.
Vad är rektangelns största area om punkt ligger i första kvadranten?

En rektangels area beräknas genom att multiplicera dess bredd och längd. Vi kallar sidorna för B och L.


För att bestämma bredden använder vi att funktionen har symmetrilinjen x_s=0. Andragradskurvan är symmetrisk runt denna så P och Q kommer ligga på samma avstånd från y-axeln. Om vi kallar x-koordinaten i P för x=a kommer x-koordinaten i Q därför vara x=- a. Avståndet mellan P och Q blir a-(- a)=2a. Längden L representeras av punkternas funktionsvärden eftersom det är höjden.


Rektangelns area kan alltså skrivas som 2a* f(a). Funktionsvärdet f(a) är lika med 12-a^2 vilket ger areauttrycket A=2a* f(a)= 2a(12-a^2). Om det ska bildas en rektangel ovanför x-axeln måste båda sidorna vara större än 0, dvs. 2a>0 och 12-a^2>0 vilka tillsammans ger villkoren 0stationära punkter. Funktionen kommer ha sitt globala maximum i någon av dessa.

Vi får två värden på a, men eftersom vi sedan tidigare vet att a är positivt får vi a=2. Slutligen måste vi även säkerställa att den stationära punkten i a=2 är ett maximum, t.ex. med hjälp av andraderivata. Vi deriverar därför areafunktionen en gång till och beräknar andraderivatans värde för a=2.

En negativ andraderivata i a=2 betyder att den stationära punkten är ett maximum. Vi sätter in detta a-värde i areafunktionen för att beräkna rektangelns största värde.

Rektangelns maximala area är alltså 32 a.e..

Italienaren Tartaglia var en matematiker som levde på -talet. Han anses ha formulerat följande matematiska problem, här återgivet i modern översättning:


Summan av två positiva tal är 8. Bestäm talen så att produkten av talens differens och talens produkt blir så stor som möjligt.


Kalla talen och Din uppgift är att lösa Tartaglias matematiska problem. Svara med två decimaler.

Nationella provet HT12 3b/3c

Vi vet att summan av två positiva tal ska bli 8. Om det mindre talet kallas för x och det större för y får vi x+y=8. Vad betyder då produkten av talens differens och talens produkt?

  • Talens differens: Eftersom det mindre talet är x blir differensen y-x för att den ska vara positiv.
  • Talens produkt: Om vi multiplicerar talen får vi talens produkt, dvs. xy.

Det är produkten av y-x och xy som ska maximeras. Om vi kallar den för P får vi funktionen P=xy(y-x). Men hur kan vi maximera en funktion som innehåller två variabler? Vi vet att x+y=8, så genom att lösa ut en av variablerna, exempelvis y, får vi y=8-x som vi kan ersätta y med i funktionen P. Då får vi en funktion som enbart beror på en variabel, x.

Nu har vi en funktion med en variabel och vi multiplicerar ihop parenteserna för lättare kunna derivera.

Nu deriverar vi.

Till slut likställer vi derivatan med 0 och löser ut derivatans nollställen.

Detta är en andragradsekvation som vi löser med pq-formeln.

Derivatan har två nollställen. Vi undersöker deras karaktär med andraderivata så vi deriverar en gång till.

Nu sätter vi in de stationära punkternas x-värden i andraderivatan och avgör dess tecken.

x 12x-48 P''(x) Tecken
4-4/sqrt(3) 12( 4-4/sqrt(3))-48 ~ - 28 -
4+4/sqrt(3) 12( 4+4/sqrt(3))-48 ~ 28 +

Andraderivatan i den första stationära punkten är negativ vilket betyder att det är en maximipunkt. Vi ser även att andraderivatan i den andra stationära punkten är positiv vilket betyder att det är en minimipunkt. Eftersom vi vill maximera produkten är x=4-4/sqrt(3) ≈ 1.69. Genom att sätta in det exakta värdet för x i y=8-x kan vi även bestämma y: y=8-( 4-4/sqrt(3))=4+4/sqrt(3) ≈ 6.31.

Garfesta kommun ska bygga en bollplan. Den ska vara rektangulär med stängsel runtomkring. För att inte bollarna ska hamna ute på vägen bestämmer man sig för att bygga ett högre stängsel på den sida som ligger närmast vägen, se figur.

Bollplan vid en väg, Nationella provet VT11 MaC
Kommunen har bestämt att stängslet maximalt får kosta kr. Det lägre stängslet kostar kr/m och det högre kr/m. Kostnaden för stolpar och grindar ingår i priset för stängslet. Om kommunen använder 6600 kr till stängslet kan bollplanens area beräknas enligt nedanstående samband:
där m är längden på bollplanens sida närmast vägen. Bestäm med hjälp av derivata det värde på som ger bollplanens maximala area.
Nationella provet VT11 MaC

A(x) är en andragradsfunktion med en negativ x^2-term. Därmed har den ett maximum. För att hitta detta maximum letar vi efter funktionens stationära punkter, som finns där derivatan har sina nollställen. Vi deriverar funktionen och löser ekvationen f'(x) = 0.


Funktionen har alltså en maximipunkt i x=11. Vi vill nu bekräfta att punkten ligger i definitionsmängden. Eftersom arean inte kan vara negativ undersöker vi för vilka x detta gäller genom att lösa ekvationen A(x)=0.


Definitionsmängden är 0≤ x≤ 22 och x=11 ligger i denna. Detta betyder att funktionens stationära punkt är den maximipunkt vi söker. Arean är alltså som störst när x = 11.

Extremvärdesproblem

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.