Extremvärdesproblem

En rektangels area beräknas genom att multiplicera dess bredd och längd. Vi kallar sidorna för B och L.

För att bestämma bredden använder vi att funktionen har symmetrilinjen x_s=0. Andragradskurvan är symmetrisk runt denna så P och Q kommer ligga på samma avstånd från y-axeln. Om vi kallar x-koordinaten i P för x=a kommer x-koordinaten i Q därför vara x=- a. Avståndet mellan P och Q blir a-(- a)=2a. Längden L representeras av punkternas funktionsvärden eftersom det är höjden.

Rektangelns area kan alltså skrivas som 2a* f(a). Funktionsvärdet f(a) är lika med 12-a^2 vilket ger areauttrycket A=2a* f(a)= 2a(12-a^2). Om det ska bildas en rektangel ovanför x-axeln måste båda sidorna vara större än 0, dvs. 2a > 0 och 12-a^2 > 0 vilka tillsammans ger villkoren 0 < a < sqrt(12). Nu har vi tagit fram en funktion och tillhörande villkor för att det ska bildas ett rektangulärt område mellan kurvan och x-axeln. Vi vill maximera denna. Genom att derivera funktionen och sätta derivatan lika med 0 kan vi bestämma för vilka a den har stationära punkter. Funktionen kommer ha sitt globala maximum i någon av dessa.

Vi får två värden på a, men eftersom vi sedan tidigare vet att a är positivt får vi a=2. Slutligen måste vi även säkerställa att den stationära punkten i a=2 är ett maximum, t.ex. med hjälp av andraderivata. Vi deriverar därför areafunktionen en gång till och beräknar andraderivatans värde för a=2.

En negativ andraderivata i a=2 betyder att den stationära punkten är ett maximum. Vi sätter in detta a-värde i areafunktionen för att beräkna rektangelns största värde.

Rektangelns maximala area är alltså 32 a.e..

Vi vet att summan av två positiva tal ska bli 8. Om det mindre talet kallas för x och det större för y får vi x+y=8. Vad betyder då produkten av talens differens och talens produkt?

• Talens differens: Eftersom det mindre talet är x blir differensen y-x för att den ska vara positiv.
• Talens produkt: Om vi multiplicerar talen får vi talens produkt, dvs. xy.

Det är produkten av y-x och xy som ska maximeras. Om vi kallar den för P får vi funktionen P=xy(y-x). Men hur kan vi maximera en funktion som innehåller två variabler? Vi vet att x+y=8, så genom att lösa ut en av variablerna, exempelvis y, får vi y=8-x som vi kan ersätta y med i funktionen P. Då får vi en funktion som enbart beror på en variabel, x.

Nu har vi en funktion med en variabel och vi multiplicerar ihop parenteserna för lättare kunna derivera.

Nu deriverar vi.

Till slut likställer vi derivatan med 0 och löser ut derivatans nollställen.

Detta är en andragradsekvation som vi löser med pq-formeln.

Derivatan har två nollställen. Vi undersöker deras karaktär med andraderivata så vi deriverar en gång till.

Nu sätter vi in de stationära punkternas x-värden i andraderivatan och avgör dess tecken.

Andraderivatan i den första stationära punkten är negativ vilket betyder att det är en maximipunkt. Vi ser även att andraderivatan i den andra stationära punkten är positiv vilket betyder att det är en minimipunkt. Eftersom vi vill maximera produkten är x=4-4/sqrt(3) ≈ 1,69. Genom att sätta in det exakta värdet för x i y=8-x kan vi även bestämma y: y=8-( 4-4/sqrt(3))=4+4/sqrt(3) ≈ 6,31.

A(x) är en andragradsfunktion med en negativ x^2-term. Därmed har den ett maximum. För att hitta detta maximum letar vi efter funktionens stationära punkter, som finns där derivatan har sina nollställen. Vi deriverar funktionen och löser ekvationen f'(x) = 0.

Funktionen har alltså en maximipunkt i x=11. Vi vill nu bekräfta att punkten ligger i definitionsmängden. Eftersom arean inte kan vara negativ undersöker vi för vilka x detta gäller genom att lösa ekvationen A(x)=0.

Definitionsmängden är 0≤ x≤ 22 och x=11 ligger i denna. Detta betyder att funktionens stationära punkt är den maximipunkt vi söker. Arean är alltså som störst när x = 11.