Extremvärdesproblem

Definiera ett funktionsuttryck som beror på en variabel

Vi vill bestämma det största möjliga värdet på produkten x^2y. För att kunna göra det behöver vi dock ett funktionsuttryck som innehåller endast en variabel, t.ex. x. Vi känner till talens summa och kan använda det för att uttrycka y med hjälp av x: x+y=18 ⇔ y=18-x. Genom att sätta in detta i produkten kan vi definiera funktionen P(x)=x^2(18-x).

Definiera eventuella villkor

Det är givet att talen x och y är icke-negativa, vilket innebär att de är positiva eller 0. Detta kan skrivas som x≥0 och y≥0. Eftersom y=18-x kan vi dock omformulera det andra villkoret. 18-x≥0 ⇔ x≤18 Det ger oss ytterligare ett villkor för x, så sammanfattningsvis är funktionen P(x) definierad på intervallet 0 ≤ x ≤ 18.

Bestäm funktionens största eller minsta värde

Vi kan nu bestämma funktionens största värde, och vi börjar med att bestämma ändpunkternas funktionsvärden. Vi sätter in x=0 och x=18 i funktionen P(x)=x^2(18-x). P(0)=0^2(18-0)=0 P(18)=18^2(18-18)=0 I båda ändpunkterna är alltså funktionsvärdet 0. Vi bestämmer nu var funktionen har stationära punkter genom att derivera P(x) och lösa ekvationen P'(x)=0.

Vi ser att funktionen har stationära punkter i x=0 och x=12, och båda dessa ligger på intervallet 0 ≤ x ≤ 18. Den stationära punkten i x=0 har samma x-värde som en av ändpunkterna och har därför även samma funktionsvärde: 0. Vi bestämmer den andra stationära punktens funktionsvärde genom att sätta in x=12 i P(x). P(12)=12^2 * (18-12)=144* 6 =864 Den har alltså koordinaterna (12, 864).

Verifiera största värdet

Nu har vi bestämt alla extrempunkter, och eftersom intervallet är slutet räcker det med att jämföra deras funktionsvärden för att se vilket som är störst. Båda ändpunkterna har funktionsvärdet 0, så det största värdet måste vara 864.

Besvara frågan

Den maximala produkten av x^2 och y är alltså 864. Frågan är dock inte bara vilken den maximala produkten är utan även vilka två tal som ger denna. Det ena talet, x, vet vi är lika med 12 och det andra talet, y, kan vi då beräkna med y=18-x. y=18-x=18-12=6 Talen x=12 och y=6 ger alltså det maximala värdet 864 på produkten x^2y.

Arean kan då beskrivas som A(x) = x(300 - 2x). Sidornas längder måste vara positiva tal, alltså x > 0. Fokusera nu på villkoret för den långa sidan. 320x-2x > 0 ⇒ x < 160 Därför är definitionsmängden för funktionen 0 < x < 160. Bestäm nu funktionens stationära punkter genom att derivera A(x) och lösa ekvationen A'(x) = 0.

Andraderivatan av A(x) är A''(x) = -4, och eftersom A'(80) = 0 och A''(80) < 0, betyder detta att A(80) är ett maximum. Beräkna A(80) för att bestämma det maximala värdet av A.

Beräkningarna visar att måtten 60m * 180m ger den maximala arean 12 800m^2.

Restriktionen är: 3x + 2y = 24 ⇒ y = 24 - 3x/2 Med detta kan funktionen A(x) för den totala glasytan skrivas. A(x)=x*(24 - 3x/2) Sidornas längder måste vara positiva, så x > 0. Fokusera nu på villkoret för den horisontella kanten: 24 - 3x/2 > 0 ⇒ x < 8 Definitionsmängden för funktionen är 0 < x < 8. Derivera A(x) och lös ekvationen A'(x) = 0 för att bestämma funktionens stationära punkter.

Andraderivatan av A(x) är A''(x) = -3, och eftersom A'(4) = 0 och A''(4) < 0, betyder detta att A(4) är ett maximum. Beräkna A(4) för att bestämma det maximala värdet av A.

Den totala horisontella längden är 6 meter, och eftersom detta motsvarar två identiska fönster placerade sida vid sida, är varje fönster 3 meter brett. Dimensionerna 4m* 3m för varje fönster ger den maximala totala glasytan 24m^2.