Metod

Bestämma en funktions största och minsta värde på ett slutet intervall

Med största och minsta värde för en funktion menar man yy-värdena i funktionens globala extrempunkter (om det finns några), vilka även kallas för funktionens globala extremvärden. För en funktion med sammanhängande graf på ett slutet intervall antas största och minsta värde antingen i

så länge de inte är terrasspunkter. Genom att välja ut det största och minsta yy-värdet från dessa punkter får man fram funktionens globala extremvärden. Man kan t.ex. göra detta för funktionen f(x)=2x3+3x212xf(x)=2x^3+3x^2-12x på intervallet -3x3\text{-}3 \leq x \leq 3.

1

Bestäm ändpunkternas yy-värden

Funktionen har sina ändpunkter i början och slutet av intervallet, i detta fall där x=-3x=\text{-}3 och x=3.x=3. Man bestämmer ändpunkternas yy-värden genom att sätta in dessa xx-värden i funktionsuttrycket.

f(x)=2x3+3x212xf(x)=2x^3+3x^2-12x
f(-3)=2(-3)3+3(-3)212(-3)f({\color{#0000FF}{\text{-}3}})=2({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^3+3({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^2-12({\color{#0000FF}{\text{-}3}})
f(-3)=2(-27)+3912(-3)f(\text{-}3)=2(\text{-}27)+3\cdot 9-12(\text{-}3)
f(-3)=-54+27+36f(\text{-}3)=\text{-}54+27+36
f(-3)=9f(\text{-}3)=9

Den vänstra ändpunkten har yy-värdet 9.9.

f(x)=2x3+3x212xf(x)=2x^3+3x^2-12x
f(3)=233+332123f({\color{#0000FF}{3}})=2\cdot {\color{#0000FF}{3}}^3+3\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2-12\cdot {\color{#0000FF}{3}}
f(3)=227+39123f(3)=2\cdot 27 + 3\cdot 9 -12 \cdot 3
f(3)=54+2736f(3)=54 + 27 - 36
f(3)=45f(3)=45

Den högra ändpunkten har yy-värdet 45.45.

2

Bestäm stationära punkters yy-värden på intervallet

Funktionens stationära punkter kan man hitta med derivata och teckentabell eller med andraderivata. Om det inte efterfrågas behöver man dock inte bestämma deras karaktär och utesluta eventuella terrasspunkter, eftersom en terrasspunkt ändå aldrig antar något av funktionens extremvärden.

  • Derivera funktionen: I det här fallet är derivatan f(x)=6x2+6x12.f'(x)=6x^2+6x-12.
  • Bestäm derivatans nollställen: Här får man ekvationen 6x2+6x12=0,6x^2+6x-12=0, vilken har lösningarna x=-2x=\text{-}2 och x=1.x=1.
  • Kontrollera att de ligger på intervallet: Båda de stationära punkterna ligger på intervallet -3x3.\text{-}3 \leq x \leq 3.
  • Bestäm deras yy-värden: Sätter man in x=-2x=\text{-}2 och x=1x=1 i funktionsuttrycket f(x)=2x3+3x212xf(x)=2x^3+3x^2-12x får man

f(-2)=20ochf(1)=-7, f(\text{-}2)=20 \quad \text{och} \quad f(1)=\text{-}7, dvs. yy-värdena är 2020 och -7.\text{-}7.

3

Jämför yy-värden

Nu har man undersökt alla relevanta punkter. I det här fallet fick man

  • ändpunkterna (-3,9)(\text{-}3,9) och (3,45)(3,45) samt
  • de stationära punkterna (-2,20)(\text{-}2,20) och (1,-7).(1,\text{-}7).

Jämför man punkternas funktionsvärden hittar man de globala extremvärdena. Minsta vrde: a¨-7Strsta vrde: o¨a¨45\begin{aligned} \text{Minsta värde: }& \text{-}7\\ \text{Största värde: }& 45 \end{aligned} Om man har en grafritare är det alltid bra att kontrollera att det verkar rimligt genom att rita upp funktionen.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}