Metod

Bestämma en funktions största och minsta värde på ett slutet intervall

Med största och minsta värde för en funktion menar man $y$-värdena i funktionens globala extrempunkter (om det finns några), vilka även kallas för funktionens globala extremvärden. För en funktion med sammanhängande graf på ett slutet intervall antas största och minsta värde antingen i

• ändpunkter eller
• stationära punkter på intervallet,

så länge de inte är terrasspunkter. Genom att välja ut det största och minsta $y$-värdet från dessa punkter får man fram funktionens globala extremvärden. Man kan t.ex. göra detta för funktionen $f(x)=2x^3+3x^2-12x$ på intervallet $\text{-}3 \leq x \leq 3$.

1

Bestäm ändpunkternas $y$-värden

Funktionen har sina ändpunkter i början och slutet av intervallet, i detta fall där $x=\text{-}3$ och $x=3.$ Man bestämmer ändpunkternas $y$-värden genom att sätta in dessa $x$-värden i funktionsuttrycket.

$f(x)=2x^3+3x^2-12x$

$x={\color{#0000FF}{\text{-} 3}}$

$f({\color{#0000FF}{\text{-}3}})=2({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^3+3({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^2-12({\color{#0000FF}{\text{-}3}})$

Beräkna potens

$f(\text{-}3)=2(\text{-}27)+3\cdot 9-12(\text{-}3)$

Multiplicera faktorer

$f(\text{-}3)=\text{-}54+27+36$

Förenkla termer

$f(\text{-}3)=9$

Den vänstra ändpunkten har $y$-värdet $9.$

$f(x)=2x^3+3x^2-12x$

$x={\color{#0000FF}{3}}$

$f({\color{#0000FF}{3}})=2\cdot {\color{#0000FF}{3}}^3+3\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2-12\cdot {\color{#0000FF}{3}}$

Beräkna potens

$f(3)=2\cdot 27 + 3\cdot 9 -12 \cdot 3$

Multiplicera faktorer

$f(3)=54 + 27 - 36$

Förenkla termer

$f(3)=45$

Den högra ändpunkten har $y$-värdet $45.$

2

Bestäm stationära punkters $y$-värden på intervallet

Funktionens stationära punkter kan man hitta med derivata och teckentabell eller med andraderivata. Om det inte efterfrågas behöver man dock inte bestämma deras karaktär och utesluta eventuella terrasspunkter, eftersom en terrasspunkt ändå aldrig antar något av funktionens extremvärden.

• Derivera funktionen: I det här fallet är derivatan $f'(x)=6x^2+6x-12.$
• Bestäm derivatans nollställen: Här får man ekvationen $6x^2+6x-12=0,$ vilken har lösningarna $x=\text{-}2$ och $x=1.$
• Kontrollera att de ligger på intervallet: Båda de stationära punkterna ligger på intervallet $\text{-}3 \leq x \leq 3.$
• Bestäm deras $y$-värden: Sätter man in $x=\text{-}2$ och $x=1$ i funktionsuttrycket $f(x)=2x^3+3x^2-12x$ får man

$f(\text{-}2)=20 \quad \text{och} \quad f(1)=\text{-}7,$ dvs. $y$-värdena är $20$ och $\text{-}7.$

3

Jämför $y$-värden

Nu har man undersökt alla relevanta punkter. I det här fallet fick man

• ändpunkterna $(\text{-}3,9)$ och $(3,45)$ samt
• de stationära punkterna $(\text{-}2,20)$ och $(1,\text{-}7).$

Jämför man punkternas funktionsvärden hittar man de globala extremvärdena. $\begin{aligned} \text{Minsta värde: }& \text{-}7\\ \text{Största värde: }& 45 \end{aligned}$ Om man har en grafritare är det alltid bra att kontrollera att det verkar rimligt genom att rita upp funktionen.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.