Extremvärdesproblem

Vi söker det största och minsta värdet som funktionen T(x) antar på intervallet x = 0 till x = 10. Temperaturen beskrivs av en linjär funktion, T(x) = 15.3x + 22, med k-värdet 15.3 och m-värdet 22. Det kan tolkas som att temperaturen ökar med 15.3 ^(∘)C per minut från starttemperaturen 22 ^(∘)C. En sådan funktion har inga stationära punkter eftersom det bara är en rät linje med positiv lutning.

Man kan också se att den inte har några stationära punkter genom att derivera funktionen och då får man T'(x)=15.3 som aldrig blir 0. Om det inte finns några stationära punkter måste extremvärdena finnas i intervallgränserna, alltså när x = 0 och x = 10. Vi sätter in dessa i funktionen och beräknar temperaturen. T(0) = 15.3 * 0 + 22 = 22 T(10) = 15.3 * 10 + 22 = 175 Ugnen har alltså temperaturen 22 ^(∘)C när den slås på och har kommit upp i 175 ^(∘)C efter 10 minuter.

Den högsta temperaturen är då 175 ^(∘)C och den lägsta är 22 ^(∘)C.

Vi bestämmer nyckelns maximala höjd genom att hitta funktionens största värde. Eftersom vi har en andragradsfunktion där koefficienten framför t^2-termen är negativ kommer funktionen ha en maximipunkt.Vi bestämmer t-värdet där genom att derivera h(t) och sätta derivatan lika med 0.

Nu löser vi ekvationen h'(t)=0.

Funktionens maximipunkt finns där t=1.6, så nyckeln når sin maxhöjd efter 1.6 s. Vi bestämmer höjden genom att sätta in detta t-värde i h(t).

Nyckelns maxhöjd var alltså 7.28 meter och den når denna höjd 1.6 sekunder efter att Salvador kastat iväg den.

Vi tar reda på företagets maximala vinst och antalet semesterveckor genom att bestämma funktionens globala maximipunkt. Eftersom V(s) är en andragradsfunktion där koefficienten framför s^2 är negativ kommer funktionen att ha ett maximum. Vi bestämmer s-värdet i detta maximum genom att derivera V(s) och sätta derivatan lika med 0.

Nu löser vi ekvationen V'(s)=0.

Företaget gör alltså störst vinst om de anställda är lediga 4.2 veckor/år.

Vi är ute efter den temperatur som gör att motorn producerar så lite koldioxid som möjligt, vilket innebär att vi vill hitta det t som minimerar funktionen f(t). f(t) = 0.00047t^2 - 0.094t + 7 Detta är en funktion av andra graden som har en positiv koefficient framför t^2-termen, vilket innebär att den har ett minimum. Det finns inga begränsningar uppåt eller nedåt för temperaturen, så hittar vi denna punkt så måste det vara det globala minimumet för funktionen. För att hitta detta minimum använder vi derivata, så vi börjar med att derivera f(t).

Vi kan nu hitta den stationära punkten, som måste vara vårt sökta minimum, genom att lösa ekvationen f'(t) = 0.

Funktionen har alltså sitt minimum för t = 100, vilket innebär att motorn producerar som minst koldioxid när dess temperatur är 100 ^(∘)C.

Funktionen h(l) är en andragradsfunktion med en positiv andragradsterm och kommer därför ha en minimipunkt. Där antar funktionen sitt minsta värde, vilket vi kommer kunna tolka som Yamalas djupaste dyk. Vi deriverar funktionen och löser ekvationen h'(l)=0 för att bestämma i vilket l-värde funktionen har detta minimum.

Funktionen har sitt minimum i l=3, så Yamala andas in 3 liter luft precis innan hon gör sitt djupaste dyk. Till sist bestämmer vi hur djupt detta är genom att sätta in l=3 i h(l).

Att höjden är -6 meter innebär att Yamala är 6 meter under vattenytan när hon dyker som djupast.

Vi börjar med att ställa upp en funktion för flyttlådans volym genom att multiplicera sidornas längder: V(x)=x* x*(9-x).

Notera att x måste vara större än 0 och mindre än 9, annars blir sidornas längder negativa eller 0 och då existerar inte lådan. Vi bestämmer nu lådans maximala volym genom att hitta funktionens största värde. Detta finns i någon av funktionens stationära punkter, så vi ska derivera funktionen och sätta derivatan lika med 0. Vi börjar dock med att förenkla V(x).

Nu deriverar vi och löser ekvationen V'(x)=0.

Funktionen har alltså två stationära punkter: en i x=0 och en i x=6. Eftersom x inte får vara 0 kan vi bortse från den punkten. Vi bestämmer nu funktionsvärdet där x=6 genom att sätta in detta x i funktionen.

Innan vi med säkerhet kan säga att det är i punkten (6,108) som funktionen antar sitt största värde verifierar vi att detta är ett maximum genom att undersöka andraderivatans tecken. Vi deriverar därför funktionen en gång till och sätter in x=6.

Eftersom andraderivatan är negativ kan vi konstatera att (6,108) faktiskt är ett maximum. Flyttlådans maximala volym är alltså 108 dm^3, och den uppnås då x = 6.