Extremvärdesproblem

Vi bestämmer nyckelns maximala höjd genom att hitta funktionens största värde. Eftersom vi har en andragradsfunktion där koefficienten framför t^2-termen är negativ kommer funktionen ha en maximipunkt.Vi bestämmer t-värdet där genom att derivera h(t) och sätta derivatan lika med 0.

Nu löser vi ekvationen h'(t)=0.

Funktionens maximipunkt finns där t=1,6, så nyckeln når sin maxhöjd efter 1,6s. Vi bestämmer höjden genom att sätta in detta t-värde i h(t).

Nyckelns maxhöjd var alltså 7,28 meter och den når denna höjd 1,6 sekunder efter att Salvador kastat iväg den.

Vi tar reda på företagets maximala vinst och antalet semesterveckor genom att bestämma funktionens globala maximipunkt. Eftersom V(s) är en andragradsfunktion där koefficienten framför s^2 är negativ kommer funktionen att ha ett maximum. Vi bestämmer s-värdet i detta maximum genom att derivera V(s) och sätta derivatan lika med 0.

Nu löser vi ekvationen V'(s)=0.

Företaget gör alltså störst vinst om de anställda är lediga 4,2.veckor /år..

A(x) är en andragradsfunktion med en negativ x^2-term. Därmed har den ett maximum. För att hitta detta maximum letar vi efter funktionens stationära punkter, som finns där derivatan har sina nollställen. Vi deriverar funktionen och löser ekvationen f'(x) = 0.

Funktionen har alltså en maximipunkt i x=11. Vi vill nu bekräfta att punkten ligger i definitionsmängden. Eftersom arean inte kan vara negativ undersöker vi för vilka x detta gäller genom att lösa ekvationen A(x)=0.

Definitionsmängden är 0≤ x≤ 22 och x=11 ligger i denna. Detta betyder att funktionens stationära punkt är den maximipunkt vi söker. Arean är alltså som störst när x = 11.

Vi är ute efter den temperatur som gör att motorn producerar så lite koldioxid som möjligt, vilket innebär att vi vill hitta det t som minimerar funktionen f(t). f(t) = 0,00047t^2 - 0,094t + 7 Detta är en funktion av andra graden som har en positiv koefficient framför t^2-termen, vilket innebär att den har ett minimum. Det finns inga begränsningar uppåt eller nedåt för temperaturen, så hittar vi denna punkt så måste det vara det globala minimumet för funktionen. För att hitta detta minimum använder vi derivata, så vi börjar med att derivera f(t).

Vi kan nu hitta den stationära punkten, som måste vara vårt sökta minimum, genom att lösa ekvationen f'(t) = 0.

Funktionen har alltså sitt minimum för t = 100, vilket innebär att motorn producerar som minst koldioxid när dess temperatur är 100 ^(∘)C.

Funktionen h(l) är en andragradsfunktion med en positiv andragradsterm och kommer därför ha en minimipunkt. Där antar funktionen sitt minsta värde, vilket vi kommer kunna tolka som Yamalas djupaste dyk. Vi deriverar funktionen och löser ekvationen h'(l)=0 för att bestämma i vilket l-värde funktionen har detta minimum.

Funktionen har sitt minimum i l=3, så Yamala andas in 3 liter luft precis innan hon gör sitt djupaste dyk. Till sist bestämmer vi hur djupt detta är genom att sätta in l=3 i h(l).

Att höjden är -6 meter innebär att Yamala är 6 meter under vattenytan när hon dyker som djupast.

Vi börjar med att ställa upp en funktion för flyttlådans volym genom att multiplicera sidornas längder: V(x)=x* x*(9-x). Notera att x måste vara större än 0 och mindre än 9, annars blir sidornas längder negativa eller 0 och då existerar inte lådan. Vi bestämmer nu lådans maximala volym genom att hitta funktionens största värde. Detta finns i någon av funktionens stationära punkter, så vi ska derivera funktionen och sätta derivatan lika med 0. Vi börjar dock med att förenkla V(x).

Nu deriverar vi och löser ekvationen V'(x)=0.

Funktionen har alltså två stationära punkter: en i x=0 och en i x=6. Eftersom x inte får vara 0 kan vi bortse från den punkten. Vi bestämmer nu funktionsvärdet där x=6 genom att sätta in detta x i funktionen.

Innan vi med säkerhet kan säga att det är i punkten (6,108) som funktionen antar sitt största värde verifierar vi att detta är ett maximum genom att undersöka andraderivatans tecken. Vi deriverar därför funktionen en gång till och sätter in x=6.

Eftersom andraderivatan är negativ kan vi konstatera att (6,108) faktiskt är ett maximum. Flyttlådans maximala volym är alltså 108dm^3, och den uppnås då x = 6.