Funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}


Begrepp

Funktion

En funktion är en omvandlingsregel. Man sätter in ett värde som via regeln (även kallat funktionsuttrycket) skapar ett nytt värde. Invärdet brukar kallas xx (oberoende variabel) medan utvärdet brukar kallas yy eller f(x)f(x) (beroende variabel).
Välj x-värde:
x=-9x=\text{-9}

x=-2x=\text{-2}

x=0x=0

x=3x=3

x=7x=7

Omvandlingsregeln här kan tolkas i ord som "addera 3". Utvärdet yy bildas alltså genom att addera 3 till invärdet x.x. För att en regel ska få kallas en funktion får varje xx som mest ge ett yy-värde. Däremot får samma yy-värde återkomma för flera olika x.x.
Begrepp

Definitionsmängd

Definitionsmängden, Df,D_f, är alla de tal som är "tillåtna" att sätta in i en funktion f.f. Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

  • Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. -1\sqrt{\text{-}1} eller 20.\frac{2}{0}.
  • Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för xx äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad -5\text{-}5 äpplen kostar.
Definitionsmängden är ofta ett intervall. Det gäller exempelvis för funktionen f(x)=xf(x)=\sqrt{x} som har definitionsmängden x0x \geq 0 eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.
Uppgift

Ange definitionsmängden för funktionen f(x)=4xx1. f(x)=\frac{4x}{x-1}.

Lösning

Definitionsmängden är alla xx man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med 00 är funktionen definierad för alla xx utom det som gör att x1x-1 blir 0.0. Eftersom x1=0x-1=0 för x=1x=1 betyder det att funktionen är definierad för alla xx utom 1,1, vilket skrivs Df: x1. D_f:\ x\neq 1.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Värdemängd

Värdemängden, Vf,V_f, är alla yy-värden som kan skapas av en funktion f.f. Vissa funktioner, t.ex. y=2xy=2x, kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen y=x2y = x^2 värdemängden y0y \geq 0 eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.
Uppgift

Bestäm värdemängden för funktionen y=x27. y=x^2-7.

Lösning

Värdemängden är de yy-värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan x2x^2 minst bli 0. Det leder till att det minsta värde som y=x27y=x^2-7 kan anta är y=07=-7.y=0-7=\text{-}7. En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så yy kan bli hur stort som helst. Det betyder att Vf: y-7. V_f:\ y\geq \text{-}7.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bestäm definitions- och värdemängd för funktionen f(x)f(x) grafiskt, dvs. genom avläsningar i figuren.

Lösning

Eftersom man inte kan göra ett oändligt stort koordinatsystem kan man inte alltid rita ut hela grafer. Däremot är det rimligt att anta att grafen fortsätter på samma sätt utanför det ritade koordinatsystemet och att det inte händer något oväntat där. I det här fallet betyder det att grafen kommer att fortsätta oändligt långt till höger och oändligt högt upp, så definitions- och värdemängden saknar övre gränser. De undre gränserna kan vi läsa av.

Grafen till funktionen börjar där xx är -2,\text{-}2, så definitionsmängden är alla tal större än eller lika med -2.\text{-}2. Det skrivs x-2.x\geq\text{-}2.

På samma sätt kan vi se att det minsta yy-värdet är 0,0, så värdemängden är alla tal större än eller lika med 0.0. Vi sammanfattar: Dfx-2ochVfy0. D_f\text{: } x\geq\text{-}2 \quad \text{och} \quad V_f\text{: } y\geq0.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet (yy-värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett xx-värde i en funktion. I en graf kan man läsa av funktionsvärdet på yy-axeln.

Uppgift

Nedan syns grafen till funktionen g(x)=2x5.g(x)=2x-5. Bestäm g(4)g(4) och g(300).g(300).

Lösning

För att bestämma g(4)g(4) utgår vi från x=4x=4xx-axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på yy-axeln.

Funktionsvärdet är 33 när x=4,x=4,g(4)=3. g(4)=3. Grafen är enbart uppritad för relativt små xx så vi kan inte bestämma g(300)g(300) grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in x=300x=300 i funktionsuttrycket.

g(x)=2x5g(x)=2x-5
g(300)=23005g({\color{#0000FF}{300}})=2\cdot{\color{#0000FF}{300}}-5
g(300)=6005g(300)=600-5
g(300)=595g(300)=595

De två funktionsvärdena är alltså g(4)=3g(4)=3 och g(300)=595.g(300)=595.

Visa lösning Visa lösning

För att rita grafer på räknaren trycker man först på knappen Y= och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna Y1\text{Y}_1, Y2\text{Y}_2 osv. Använd knappen X,T,θ\theta,n för att skriva x.x. Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på (-)(\text{-}) och inte .-.

Fönster med funktioner

För att rita upp grafen trycker man på GRAPH. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Fönster med en graf

Genom att trycka på TRACE kan man läsa av xx- och yy-värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.

funktionsfönster på räknare

Man kan också själv sätta in ett xx-värde och låta räknaren beräkna yy-värdet genom att trycka på 2nd + TRACE och välja value.

meny på räknare

Nu kan man välja vilket xx-värde man är intresserad av.

graffönster på räknare

Trycker man på ENTER visas funktionens yy-värde för detta xx-värde och markören ställer sig även där.

Digitala verktyg

Rita flera grafer

Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret (Y=) och skriver in dem på nya rader. Byt rad med ENTER.

Om man nu trycker på GRAPH kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp. Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på ENTER.

fönster med funktioner
Om man nu trycker på GRAPH kommer endast Y1\text{Y}_1 och Y3\text{Y}_3 att ritas upp i koordinatsystemet. För att välja tillbaka Y2\text{Y}_2 trycker man på likhetstecknet en gång till.
Begrepp

Nollställe

En funktions nollställen anger de xx-värden som gör att funktionsvärdet blir 0.0. Nollställen kan bestämmas algebraiskt genom att man sätter funktionsuttrycket lika med 00 och löser ekvationen. Grafiskt motsvarar det de xx-värden där grafen skär xx-axeln, eftersom yy är 00 längs hela xx-axeln. Exempelvis har funktionen y=x24y=x^2-4 två nollställen eftersom dess graf skär xx-axeln två gånger.

Uppgift

Vilka nollställen har funktionen y=x24?y=x^2-4?

Lösning

Nollställen är de xx-värden där yy är lika med 0. Det betyder att vi sätter y=0y=0 och löser ekvationen.

y=x24y=x^2-4
0=x24{\color{#0000FF}{0}}=x^2-4
4=x24=x^2
x2=4x^2=4
x=±4x=\pm\sqrt{4}
x=±2x=\pm2

Funktionen har alltså två nollställen: x=-2x=\text{-}2 och x=2x=2, eller om man skriver ihop dem: x=±2.x=\pm2.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}