mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Funktioner

Funktioner


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Begrepp

Funktion

En funktion är en omvandlingsregel. Man sätter in ett värde som via regeln (även kallat funktionsuttrycket) skapar ett nytt värde. Invärdet brukar kallas (oberoende variabel) medan utvärdet brukar kallas eller (beroende variabel).
Välj x-värde:

Omvandlingsregeln här kan tolkas i ord som "addera 3". Utvärdet bildas alltså genom att addera 3 till invärdet För att en regel ska få kallas en funktion får varje som mest ge ett -värde. Däremot får samma -värde återkomma för flera olika

Begrepp

Definitionsmängd

Definitionsmängden, är alla de tal som är "tillåtna" att sätta in i en funktion Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

  • Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. eller
  • Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad äpplen kostar.
Definitionsmängden är ofta ett intervall. Det gäller exempelvis för funktionen som har definitionsmängden eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.
fullscreen
Uppgift

Ange definitionsmängden för funktionen

Visa Lösning
Lösning

Definitionsmängden är alla man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med är funktionen definierad för alla utom det som gör att blir Eftersom för betyder det att funktionen är definierad för alla utom vilket skrivs

Begrepp

Värdemängd

Värdemängden, är alla -värden som kan skapas av en funktion Vissa funktioner, t.ex. , kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen värdemängden eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.
fullscreen
Uppgift

Bestäm värdemängden för funktionen

Visa Lösning
Lösning

Värdemängden är de -värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan minst bli 0. Det leder till att det minsta värde som kan anta är En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så kan bli hur stort som helst. Det betyder att

fullscreen
Uppgift

Bestäm definitions- och värdemängd för funktionen grafiskt, dvs. genom avläsningar i figuren.

Visa Lösning
Lösning

Eftersom man inte kan göra ett oändligt stort koordinatsystem kan man inte alltid rita ut hela grafer. Däremot är det rimligt att anta att grafen fortsätter på samma sätt utanför det ritade koordinatsystemet och att det inte händer något oväntat där. I det här fallet betyder det att grafen kommer att fortsätta oändligt långt till höger och oändligt högt upp, så definitions- och värdemängden saknar övre gränser. De undre gränserna kan vi läsa av.

Grafen till funktionen börjar där är så definitionsmängden är alla tal större än eller lika med Det skrivs

På samma sätt kan vi se att det minsta -värdet är så värdemängden är alla tal större än eller lika med Vi sammanfattar:

Begrepp

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet (-värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett -värde i en funktion. I en graf kan man läsa av funktionsvärdet på -axeln.

fullscreen
Uppgift

Nedan syns grafen till funktionen Bestäm och

Visa Lösning
Lösning

För att bestämma utgår vi från -axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på -axeln.

Funktionsvärdet är när Grafen är enbart uppritad för relativt små så vi kan inte bestämma grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in i funktionsuttrycket.

De två funktionsvärdena är alltså och

Digitala verktyg

Rita grafer på räknare

unfold_more

För att rita grafer på räknaren trycker man först på knappen Y= och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna , osv. Använd knappen X,T,,n för att skriva Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på och inte

Fönster med funktioner

För att rita upp grafen trycker man på GRAPH. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Fönster med en graf

Genom att trycka på TRACE kan man läsa av - och -värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.

funktionsfönster på räknare

Man kan också själv sätta in ett -värde och låta räknaren beräkna -värdet genom att trycka på 2nd + TRACE och välja value.

meny på räknare

Nu kan man välja vilket -värde man är intresserad av.

graffönster på räknare

Trycker man på ENTER visas funktionens -värde för detta -värde och markören ställer sig även där.

Digitala verktyg

Rita flera grafer

Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret (Y=) och skriver in dem på nya rader. Byt rad med ENTER.

Om man nu trycker på GRAPH kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp. Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på ENTER.

fönster med funktioner
Om man nu trycker på GRAPH kommer endast och att ritas upp i koordinatsystemet. För att välja tillbaka trycker man på likhetstecknet en gång till.
info

Begrepp

Nollställe

En funktions nollställen anger de -värden som gör att funktionsvärdet blir Nollställen kan bestämmas algebraiskt genom att man sätter funktionsuttrycket lika med och löser ekvationen. Grafiskt motsvarar det de -värden där grafen skär -axeln, eftersom är längs hela -axeln. Exempelvis har funktionen två nollställen eftersom dess graf skär -axeln två gånger.

fullscreen
Uppgift

Vilka nollställen har funktionen

Visa Lösning
Lösning

Nollställen är de -värden där är lika med 0. Det betyder att vi sätter och löser ekvationen.

Funktionen har alltså två nollställen: och , eller om man skriver ihop dem:

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward