Extremvärdesproblem

Inhägnaden är rektangulär vilket betyder att arean är bredden gånger höjden. Eftersom rektangelns ena sida är en mur behöver vi endast fördela stängslet på 3 sidor. Om x är antal meter stängsel för en kortsida kommer antalet meter till långsidan vara 160-x-x=160-2x.

Hundgårdens area A(x) kan alltså uttryckas som funktionen A(x)=x(160-2x), där x måste vara minst än 0 och maximalt 80, vilka både ger en area som är 0 m^2. Villkoren för x blir alltså 0 ≤ x ≤ 80. Vi vill nu maximera areafunktionen med hjälp av derivata. Vi börjar med att derivera funktionen.

Nu likställer vi derivatan med 0 för att bestämma var funktionen har stationära punkter.

Funktionen har en stationär punkt i x=40, som ligger i definitionsmängden. Eftersom det är en andragradsfunktion och den kvadrerade termens koefficient är negativ är den stationära punkten är en maximipunkt. Arean är alltså som störst när kortsidan är 40 meter. Genom att sätta in x=40 i funktionen får vi ut den maximala arean.

Rastgårdens maximala area är 3200 m^2.

Från uppgiften vet vi att det minsta antalet glassar de kan beställa per dag är 200 st. och att det får plats max 600 st. i deras frys. Detta ger oss ett intervall för tillåtna x-värden: 200≤ x≤ 600. Eftersom vinstfunktionen g(x) är en andragradsfunktion med positiv x^2-term kommer funktionen ha en minimipunkt. Det innebär att funktionen måste anta sitt största värde i någon av ändpunkterna, inte i sin stationära punkt. Vi behöver alltså inte bestämma funktionens minimipunkt utan kan direkt beräkna funktionsvärdena g(200) och g(600) och jämför dessa.

Vi ser att funktionen har sitt största värde, 5 200, då x=200, så Jenn och Barry bör alltså köpa 200 glassar per dag från leverantören för att maximera sin vinst. Om man har tillgång till grafräknare kan man rita grafen till g(x) för att kontrollera att ens svar är rimligt.

Vi kallar rektangelns kortsida för x och långsida för y enligt bilden.

Vi har 40 meter stängsel och det ska räcka till 4 kortsidor med längd x och 2 långsidor med längd y. Detta innebär alltså att 4x+2y=40. Genom att lösa ut y i ekvationen ovan kan vi uttrycka även den sidan med hjälp av x.

Nu har vi ett uttryck för långsidan. Arean får vi genom att multiplicera de två sidlängderna: A(x)=x(20-2x) ⇔ A(x)=20x-2x^2. Från den faktoriserade formen av andragradsfunktionen kan vi utläsa funktionens definitionsmängd. Ingen sidlängd får vara negativ, så både x och 20 - 2x ska vara större än eller lika med 0, vilket ger x ≥ 0 och x ≤ 10. Sätter vi ihop intervallgränserna får vi 0 ≤ x ≤ 10. Maxarean ligger i andragradsfunktionens extrempunkt. För att hitta den deriverar vi funktionen och sätter derivatan lika med 0, vilket ger oss funktionens stationära punkter.

När vi bestämt derivatan sätter vi den lika med 0 och löser ut x.

x=5 ligger i definitionsmängden och eftersom andragradsfunktionens x^2-term är negativ är extrempunkten ett maximum. Kortsidan ska alltså vara 5 meter vilket ger långsidan y = 20-2* 5=10 meter. Till sist bestämmer vi den maximala arean genom att sätta in kortsidans längd i areafunktionen.

Den maximala arean är 50m^2.

Eftersom denna funktion är definierad på ett slutet intervall måste vi både kontrollera extremvärdena både i ändpunkterna och i eventuella stationära punkter för att hitta funktionens största värde.

Ändpunkter

Vi sätter in ändpunkternas x-värden, dvs. 0 och 180, i funktionen för att få fram y-värdena. Om vi sätter in x=0 får vi funktionsvärdet 1600, eftersom alla termer utom den sista blir 0. Vi sätter även in x=180 och beräknar det y-värdet.

Ändpunkterna ger alltså två extrempunkter: (0,1600) och (180,6028).

Stationära punkter

Vi kan använda funktionens derivata för att bestämma de stationära punkterna, så vi börjar med att derivera funktionen.

Sedan likställer vi derivatan med 0 och löser ut x med pq-formeln för att hitta derivatans nollställen.

Nu löser vi ut x med pq-formeln.

Funktionen har stationära punkter i x=110 och x=160. Vi sätter in dessa x-värden i f(x) och beräknar punkternas motsvarande funktionsvärden.

Jämförelse

Funktionen har alltså fyra extrempunkter:

• ändpunkter: (0,1600) och (180,6028),
• stationära: (110,6077) och (160,5952),

Det största värdet av dessa är 6077 när x=110, vilket är funktionens maximum på intervallet. Det innebär att 110 kg/hektar ska tillsättas för att skörden ska bli maximal.

En cylinders volym beräknas genom att multiplicera basytan, som är en cirkel, med höjden. Om höjden kallas h och basytans radie kallas r får vi följande formel för volymen V: V=π r^2h. Vi vet att radien av ett cirkulärt papper är 6.4 cm och eftersom radien av cylinderns basyta är r kan höjden h uttryckas som 6.4-r.

Genom att ersätta h med 6.4-r i volymfunktionen kan vi uttrycka den enbart i termer av r: V(r)=π r^2(6.4-r).

Notera att 0 < r < 6.4, annars kommer längden på radien eller höjden vara negativ eller 0 och då existerar inte cylindern. Vi vill nu maximera funktionen med hjälp av derivata, så vi deriverar V(x) och bestämmer de r där funktionen V(r) har stationära punkter. Kom ihåg att π är ett tal och därför ska behandlas som en koefficient vid deriveringen.

Nu likställer vi derivatan med 0 för att hitta funktionens stationära punkter.

Stationära punkter finns alltså i r=0 och r=4.26666 ..., men r kan som sagt inte vara 0 eftersom det då inte skulle bildas någon cylinder. Vi misstänker därför att det finns ett maximum där r=4.26666 ..., men detta måste verifieras med t.ex. en teckentabell. Vi beräknar derivatans värde till vänster respektive till höger om den stationära punkten.

Sedan ställer vi upp teckentabellen och ser då att funktionen är växande till vänster och avtagande till höger om extrempunkten. Den är därför en maximipunkt.

Pappersformens volym är alltså som störst när radien på formens botten är ca 4.3 cm.

För att kunna maximera Henkes vinst måste vi först ställa upp en funktion som beskriver hur denna vinst beror på hur många kilo kaviar han importerar. Vi vet att han betalar k(x) kr per kilo när han importerar kaviaren och han får i(x) kr per kilo betalt när han sedan säljer den. Båda dessa är per kilo, men multiplicerar man dem med variabeln x, som anger hur många kg kaviar han importerar, får man x * k(x) och x * i(x), som anger hans totala utgifter respektive inkomster. Subtraherar man sedan utgifterna från inkomsten får man pengarna som finns kvar efter kaviaren har sålts, alltså vinsten. Vi ställer upp en funktion V(x) som beskriver hur vinsten beror av antalet kilo kaviar. V(x) = x* i(x) - x * k(x) Vi sätter sedan in funktionsuttrycken för i(x) och k(x) och förenklar.

Nu när vi har funktionen som beskriver vinsten kan vi använda den för att hitta det x som maximerar den. Variabeln x är större än eller lika med 0 eftersom det inte går att köpa ett negativt antal kg kaviar och det finns ingen övre gräns eftersom Henke i princip kan köpa hur mycket kaviar som helst. Vinsten när x = 0 är V(0) = - 0.001 * 0^3 + 0.3 * 0^2 + 25.488 * 0 = 0, vilket inte så oväntat eftersom det inte är vidare troligt att man kommer att tjäna några pengar om man inte säljer något. Vi söker sedan efter eventuella maximipunkter, och då börjar vi med att derivera V(x).

Vi söker nu nollställena till derivatan för att hitta de stationära punkterna.

Nu löser vi ut x med pq-formeln.

Den första lösningen kan vi avfärda direkt eftersom den är negativ och ingår alltså inte i definitionsmängden för funktionen. Man kan ju inte sälja ett negativ antal kilo kaviar. Den andra lösningen är positiv, så den ingår i definitionsmängden. Vi måste dock bekräfta att det är ett maximum, och det gör vi med andraderivatan. Vi deriverar f'(x) ytterligare en gång.

Sätter man nu in x = 236 i andraderivatan får man V''(236) = - 0.006 * 236 + 0.6 = - 0.816, vilket är negativt. Det innebär att den stationära punkten är ett maximum. Vi måste nu beräkna vinsten i den punkten för att bekräfta att den faktiskt är större än 0, vilket var det vi fick för den vänstra ändpunkten i x = 0. Vi sätter in x = 236 i vinstfunktionen V(x). V(236) = 9 579.712 Henke får alltså en maximal vinst på ungefär 9 600 kr om han importerar och säljer 236 kg kaviar.