Metod

Bestämma extrempunkter med första- och andraderivata

Med hjälp av förstaderivatan och andraderivatan kan man bestämma en funktions lokala extrempunkter och avgöra deras karaktär. Man kan t.ex. göra det för funktionen

f (x) = 0.25 x^{4} - 2 x^{3} + 4.5 x^{2} + 3 .

Derivera funktionen

För att hitta extrempunkter börjar man med att derivera funktionen.

f (x) = 0.25 x^{4} - 2 x^{3} + 4.5 x^{2} + 3

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (0.25 x^{4}) - D (2 x^{3}) + D (4.5 x^{2}) + D (3)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + D (3)

DeriveConst

$D (a) = 0$

f^{'} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

Bestäm derivatans nollställen

Funktionens stationära punkter finns där derivatan är lika med $0 .$ För att hitta dessa punkter sätter man alltså $f^{'} (x)$ lika med $0$ och löser ekvationen.

x^{3} - 6 x^{2} + 9 x = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x \cdot x^{2} - x \cdot 6 x + x \cdot 9 = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (x^{2} - 6 x + 9) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x = 0 x^{2} - 6 x + 9 = 0

Den andra ekvationen kan lösas med $p q$ -formeln.

x^{2} - 6 x + 9 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 6, q = 9$

x = - \frac{- 6}{2} \pm (\frac{- 6}{2})^{2} - 9

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - (- 3) \pm (- 3)^{2} - 9

NegNeg

$- (- a) = a$

x = 3 \pm (- 3)^{2} - 9

CalcPow

Beräkna potens

x = 3 \pm 9 - 9

SubTerm

Subtrahera term

x = 3 \pm 0

SimpRadicalTerm

Förenkla rot & termer

x = 3

Derivatan har två nollställen:

x = 0

och

x = 3 .

Bestäm de stationära punkternas karaktär med andraderivata

Nu bestämmer man andraderivatan

f^{''} (x)

genom att derivera en gång till.

f^{'} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

Derive

Derivera funktion

f^{''} (x) = D (x^{3}) - D (6 x^{2}) + D (9 x)

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = 3 x^{2} - D (6 x^{2}) + D (9 x)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + D (9 x)

DeriveXCo

$D (a x) = a$

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9

Därefter sätter man in $x$ -värdena för de stationära punkterna i $f^{''} (x),$ vilka man beräknade i förra steget, för att bestämma andraderivatans tecken i dessa.

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9

Substitute

$x = 0$

f^{''} (0) = 3 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0 + 9

CalcPow

Beräkna potens

f^{''} (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{''} (0) = 9

När $x$ är $0$ är andraderivatan $9,$ alltså positiv, vilket innebär att $f (x)$ har en minimipunkt där.

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9

Substitute

$x = 3$

f^{''} (3) = 3 \cdot 3^{2} - 12 \cdot 3 + 9

CalcPow

Beräkna potens

f^{''} (3) = 3 \cdot 9 - 12 \cdot 3 + 9

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{''} (3) = 27 - 36 + 9

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

f^{''} (3) = 0

När $x = 3$ är andraderivatan $0 .$ Det säger inget om vilken sorts stationär punkt som finns där. Det kan vara en terrasspunkt, men det kan också vara en maximi- eller minimipunkt.

Gör en teckentabell för eventuella stationära punkter där

f^{''} (x) = 0

Om någon stationär punkt har andraderivatan $0$ kan denna vara antingen en terrass-, maximi- eller minimipunkt. För att avgöra karaktären kan man göra en teckentabell kring den. $x$ -värdena man väljer får inte ligga på andra sidan om övriga stationära punkter. Här innebär det att man ska välja ett $x$ -värde på intervallet $0 < x < 3$ och ett på intervallet $x > 3 .$

$x$	$0$		$3$
$f^{'} (x)$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	Min	$↗$	Ter.	$↗$

Förstaderivatan är positiv både till höger och vänster om $x = 3 .$ Det finns alltså en terrasspunkt där.

Uteslut eventuella terrasspunkter

Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter utesluter man dessa, i det här fallet punkten där $x = 3 .$

Bestäm extrempunkternas koordinater

Slutligen bestämmer man funktionsvärdena för extrempunkterna. Här finns det en extrempunkt där

x = 0,

och detta

x

-värde sätter man in i funktionsuttrycket.

f (x) = 0.25 x^{4} - 2 x^{3} + 4.5 x^{2} + 3

Substitute

$x = 0$

f (0) = 0.25 \cdot 0^{4} - 2 \cdot 0^{3} + 4.5 \cdot 0^{2} + 3

CalcPow

Beräkna potens

f (0) = 0.25 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 4.5 \cdot 0 + 3

Multiply

Multiplicera faktorer

f (0) = 3

Funktionen har alltså ett minimum i $(0, 3) .$

Rekommenderade uppgifter