Derivator av trigonometriska funktioner

Vi börjar med att derivera funktionen. Vi använder då deriveringsregeln för sinusfunktioner.

Vi sätter derivatan lika med 1 och löser ekvationen.

Samtliga lösningar till ekvationen kan alltså skrivas x=± π/6+n* π.

Funktionen vi skall derivera är f(x)=2cos(0.5x). Här behöver vi använda deriveringsregeln för cosinusfunktioner.

Vi skall nu söka reda på för vilka värden på x som denna derivata blir 1.

Samtliga lösningar till ekvationen kan representeras med lösningsmängden x=3π + n* 4π.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgifter, dvs. deriverar den funktion som står i uppgiften. Denna gång deriverar vi en tangensfunktion.

Vi får vår ekvation genom att sätta derivatan till 1.

Vi har nu fått två ekvationer som båda måste lösas. Vi börjar med cos ( x+π/4 )=1.

Vi har alltså en uppsättning lösningar till ekvationen som kan skrivas som x =- π/4+n * 2π. Vi fortsätter nu med att lösa den andra ekvationen, dvs. cos ( x+π/4 )=- 1.

Vi har alltså hittat de två lösningsmängderna x &= - π/4+n * 2π x&= 3π/4 +n* 2π, som löser ekvationen fullständigt. Vi kan dock notera att skillnaden mellan 3π4 och - π4 är π, samtidigt som lösningsmängdernas perioder är 2π. Därför kan vi lägga ihop lösningsmängderna för att få vårt slutgiltiga svar x = 3π/4 + n * π.

Den här funktionen är sammansatt av tre funktioner: p(x) = x^2, q(x) = sin(x) och r(x) = cos(x). För att kunna använda kedjeregeln här tänker vi på p(x) = x^2 som den yttre funktionen och q(r(x)) = sin(cos(x)) som den inre funktionen.

Detta uttryck kan vi faktiskt förenkla ytterligare med hjälp av formeln för sinus dubbla vinkel. Vi genomför substitutionen cos(x) = t för att tydliggöra omskrivningen.

Vi har nu deriverat och förenklat så långt vi kan och svarar därför med f'(x)=- sin(2cos(x)) * sin(x).

Funktionen f(t) ger oss motorns position vid tiden t. Dess derivata är motorns hastighet och andraderivatan beskriver motorns acceleration. Vi deriverar därför funktionen två gånger.

Andraderivatan är samma sak som motorns acceleration. Vi kan därför skriva accelerationen, a, som en funktion av tiden med funktionen a(t)=- 108sin(60t).

För att hitta den maximala accelerationen söker vi det största värdet som funktionen a(t)=- 108sin(60t) antar. Funktionen sin(x) varierar mellan -1 till 1, så en funktion av typen y=Asin(x) där A är negativt har sitt största värde då sinusfunktionen antar värdet - 1. Funktionens största värde är alltså a(t)_(max)=- 108* (- 1)=108 m/s^2.

Det är viktigt här att observera att grafen är f'(x), inte f(x). Vi börjar med att hitta ett funktionsuttryck vars graf är identisk med den vi ser i koordinatsystemet. Vi ser att grafen har ett maximivärde då x=0. Därför väljer vi att ansätta en cosinusfunktion, f'(x)=Acos(B(x+C))+D. Grafens amplitud är 3, det ger oss att A=3, och jämviktslinjen är x-axeln, vilket innebär att D=0. Vi kan nu skriva funktionsuttrycket som f'(x)=3cos(B(x+C)). Cosinuskurvan har sitt maximivärde då x=0, den är alltså inte förskjuten i x-led och därför är C=0. Kurvan har en periodlängd, P, som är π lång. Vi bestämmer B med hjälp av uttrycket B= 2πP. Vi får då att B= 2ππ som efter förkortning blir 2. En funktion som ger grafen i koordinatsystemet är alltså f'(x)=3cos(2x). Vi skall nu hitta en funktion f(x) vars derivata är en cosinusfunktion. När vi deriverar sinusfunktioner vet vi att vi får cosinusfunktioner. Funktionen f(x) måste alltså vara en sinusfunktion. Eftersom derivering av en sinusfunktion inte ändrar funktionens argument kan f(x) ha utseendet f(x)=asin(2x). Vi deriverar denna funktion f(x) och jämför den med derivatan vi redan har. På det sättet kan vi bestämma värdet på a.

Vi likställer nu de två uttrycken vi har för derivatan och får ekvationen a * 2cos(2x) = 3 * cos(2x). Vi kan här identifiera att a* 2=3, dvs. a=1.5. Vi får då att vår sökta funktion kan skrivas som f(x)=1.5sin(2x).