Bevis

Derivatan av tan(x)\tan(x)

Om man deriverar tan(x)\tan(x) får man 1cos2(x).\frac{1}{\cos^2(x)}. Detta går att bevisa med kvotregeln om man skriver tan(x)\tan(x) som kvoten av sin(x)\sin(x) och cos(x)\cos(x).

Härledning

D(tan(x))=1cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{1}{\cos^2(x)}
När man gjort omskrivningen tan(x)=sin(x)cos(x) \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} kan man använda kvotregeln för att derivera.
D(tan(x))=D(sin(x)cos(x))D(\tan(x))=D\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)
D(tan(x))=D(sin(x))cos(x)sin(x)D(cos(x))cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{D(\sin(x))\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot D(\cos(x))}{\cos^2(x)}
D(tan(x))=cos(x)cos(x)sin(x)D(cos(x))cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot D(\cos(x))}{\cos^2(x)}
D(tan(x))=cos(x)cos(x)sin(x)(-sin(x))cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot (\text{-}\sin(x))}{\cos^2(x)}
D(tan(x))=cos(x)cos(x)+sin(x)sin(x)cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)+\sin(x)\cdot\sin(x)}{\cos^2(x)}
D(tan(x))=cos2(x)+sin2(x)cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
sin2(v)+cos2(v)=1 \sin^2(v) + \cos^2(v) = 1
D(tan(x))=1cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{1}{\cos^2(x)}
Nu ser man att derivatan av tan(x)\tan(x) är 1cos2(x).\frac{1}{\cos^2(x)}.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}