Bevis

Derivatan av $\tan(x)$

Om man deriverar $\tan(x)$ får man $\frac{1}{\cos^2(x)}.$ Detta går att bevisa med kvotregeln om man skriver $\tan(x)$ som kvoten av $\sin(x)$ och $\cos(x)$.

Härledning
$D(\tan(x))=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$

När man gjort omskrivningen $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ kan man använda kvotregeln för att derivera.

$D(\tan(x))=D\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)$

$D\left(\dfrac{f}{g}\right) = \dfrac{D(f)\cdot g - f\cdot D(g)}{g^2}$

$D(\tan(x))=\dfrac{D(\sin(x))\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot D(\cos(x))}{\cos^2(x)}$

$D\left( \sin(v) \right) = \cos(v)$

$D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot D(\cos(x))}{\cos^2(x)}$

$D\left( \cos(v) \right) = \text{-} \sin(v)$

$D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot (\text{-}\sin(x))}{\cos^2(x)}$

$\text{-} a(\text{-} b)=a\cdot b$

$D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)+\sin(x)\cdot\sin(x)}{\cos^2(x)}$

Multiplicera faktorer

$D(\tan(x))=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

$\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1$

$D(\tan(x))=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$

Nu ser man att derivatan av $\tan(x)$ är $\frac{1}{\cos^2(x)}.$