Derivator av trigonometriska funktioner

Vi bestämmer derivatan av funktionen y=sec(x) genom att skriva om den med definitionen och använder sedan kvotregeln.

Vi vet nu att D(sec(x))=sin(x)/cos^2(x). Med hjälp av definitionen för tangens, tan(x)= sin(x)cos(x), skriver vi högerledet på önskad form.

Derivatan är alltså. D(sec(x))=tan(x)/cos(x).

Vi hittar lokala extrempunkter genom att undersöka var f'(x) = 0. Vi börjar därför med att derivera funktionen f(x)=csc(x) på liknande sätt som i föregående deluppgift.

Vi sätter nu derivatan till 0 för att hitta samtliga lokala extrempunkter.

Avståndet mellan alla lösningar är π, alltså kan vi skriva lösningsmängden som x = π/2 + n * π. Av dessa extrempunkter ligger fyra stycken inom vårt intervall, - 2πandraderivata. Låt oss bestämma den.

När vi skall avgöra extrempunkternas karaktär behöver vi endast veta vilket tecken andraderivatan har i punkten. Summan sin^2(x) + 2cos^2(x) är positiv för alla reella x — andraderivatans tecken avgörs därför av vilket tecken nämnaren sin^3(x) har.

De fyra lokala extrempunkterna kan alltså delas in enligt kategorierna &lokala minimipunkter: & x&=- 3π/2, & x&=π/2 [0.5em] &lokala maximjipunkter: & x&=- π/2, & x&=3π/2.

Vi har en symmetrisk triangel där ena halvan ligger i första kvadranten och andra halvan ligger i den fjärde. Vi kommer i denna lösning först bestämma arean för den del där x>0 och sedan multiplicera den arean med 2.

I den halva av triangeln vi studerar begränsas av en tangent samt koordinataxlarna. Denna tangents skärning med y-axeln ger oss triangelns höjd, h, och dess skärning med x-axeln ger oss triangelns bredd, b. Arean av denna nya triangel beräknar vi med A=bh/2. För att hitta skärningarna med koordinataxlarna behöver vi nu hitta tangentens ekvation. Vi utgår från räta linjens ekvation, y=kx+m. Termen k är tangentens lutning. Denna lutning är lika stor som funktionens lutning i tangeringspunkten vilken vi finner om vi deriverar funktionen. Låt oss göra det.

Tangenten tangerar funktionen i x=p och lutningen, k, där är då f'(p)=- sin(p). Vår tangent kan nu skrivas y=- sin(p)* x+m. I tangeringspunkten vet vi att x- koordinaten är p och y-koordinaten är f(p)=cos(p). Vi kan nu sätta in denna punkt i ekvationen för tangenten och lösa ut m.

Vi vet nu tangentens ekvation och den är y=- sin(p)* x+cos(p)+psin(p). Låt oss nu bestämma triangelns bredd som är samma som tangentens skärningspunkt med x-axeln.

Bredden på triangeln ges alltså av b= cos(p)sin(p)+p. Höjden är tangentens m-värde. Med andra ord är h=cos(p)+psin(p). Vår triangel, som ju var halva den ursprungliga triangeln, har alltså arean bh/2=( cos(p)/sin(p)+p )* (cos(p)+psin(p))/2. Den sökta triangelns area är dubbelt så stor, alltså A=( cos(p)/sin(p)+p )* (cos(p)+psin(p)).