6. Derivator av trigonometriska funktioner
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
6.
Derivator av trigonometriska funktioner
Innehållet handlar om derivator av trigonometriska funktioner, vilket är viktigt för att förstå hur olika fenomen, såsom ljudvågor, som förändras över tid. Det förklaras hur man kan härleda derivatans regel för sin(x) och använda den för att bestämma derivatan av cos(x). Vidare diskuteras hur man kan härleda derivatan av tan(x) med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus. Sidan förklarar också hur man kan omvandla cos(x) till en förskjuten sinusfunktion och sedan använda kedjeregeln för att härleda dess derivata.
| | 6 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Derivator av trigonometriska funktioner
Sida av 6
Många verkliga fenomen, till exempel ljudvågor, kan modelleras med trigonometriska funktioner. Därför är deras derivator viktiga när man vill beskriva hur fenomenen förändras.
Derivatan av sin x kan härledas med derivatans definition. Sedan kan den användas för att bestämma derivatan av cos x. Derivatan av tan x kan därefter härledas med hjälp av reglerna för sinus och cosinus.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Derivatan av sin x
- Derivatan av cos x
- Derivatan av tan x
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av sin x
När man deriverar sin x får man en annan trigonometrisk funktion, cos x.
D(sinx)=cosx
Eftersom derivatan av en funktion f(x) i x=a är lutningen på tangentlinjen i den punkten, kan vi bygga upp grafen till derivatan av f(x)=sin x genom att följa hur tangentlinjernas lutning förändras.
Grafisk härledning
Dra i reglaget
Bevis
För att härleda derivatan används derivatans definition:
f'(x)=lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h.
Eftersom f(x) i det här fallet är sin x är f(x+h)=sin(x+h). När man har ställt upp gränsvärdet kan man använda additionsformeln för sinus för att utveckla täljaren.
f'(x)=lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h.
Eftersom f(x) i det här fallet är sin x är f(x+h)=sin(x+h). När man har ställt upp gränsvärdet kan man använda additionsformeln för sinus för att utveckla täljaren.
f'(x)=lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
f'(x)=lim _(h→ 0)sin(x+h)-sin x/h
SinAdd
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
f'(x)=lim _(h→ 0)sin xcos h+cos xsin h-sin x/h
RearrangeTerms
Omarrangera termer
f'(x)=lim _(h→ 0)sin xcos h-sin x+cos xsin h/h
FactorOut
Bryt ut sin x
f'(x)=lim _(h→ 0)sin x(cos h-1)+cos xsin h/h
WriteSumFrac
Dela upp bråk
f'(x)=lim _(h→ 0)(sin x(cos h-1)/h+cos xsin h/h)
WriteSumLim
Dela upp gränsvärde
f'(x)=lim _(h→ 0)sin x(cos h-1)/h+lim _(h→ 0)cos xsin h/h
I gränsvärdena finns nu både sin x och cos x. Dessa förändras inte när h går mot 0 så de kan flyttas ut utanför gränsvärdena.
&lim _(h→ 0)sin x(cos h-1)/h+lim _(h→ 0)cos xsin h/h= &=sin xlim _(h→ 0)(cos h-1)/h+cos xlim _(h→ 0)sin h/h
Nu har man två gränsvärden kvar och i dessa finns cos h, sin h och h. Man kan undersöka gränsvärdena numeriskt genom att sätta in mindre och mindre h. Men ska räknaren vara inställd på grader eller radianer? För att kunna avgöra det undersöks båda.
| h (grader) | 0,1 | 0,01 | 0,001 | → 0 |
|---|---|---|---|---|
| cos h-1/h | ~ -0,000015 | ~- 0,0000015 | ~-0,00000015 | → 0 |
| sin h/h | ~0,0174532837 | ~0,0174532924 | ~0,0174532925 | → ~0,0174532925 |
| h (radianer) | 0,1 | 0,01 | 0,001 | → 0 |
| cos h-1/h | ~ -0,0499583472 | ~- 0,0049999583 | ~-0,00049999996 | → 0 |
| sin h/h | ~0,9983341665 | ~0,9999833334 | ~0,9999998333 | → 1 |
Man får olika
gränsvärden beroende på om h anges i grader eller radianer. Om vinkeln är i grader får man deriveringsregeln
D(sin x)≈sin x* 0+cos x* 0,0174532925=0,0174532925cos x
och om vinkeln anges i radianer får man istället regeln
D(sin x)=sin x* 0+cos x* 1=cos x.
Eftersom derivatan är enklare om vinkeln uttrycks i radianer är det nästan uteslutande deriveringsregeln D(sin x)=cos x som används. Kom ihåg att vinklarna då alltid måste anges i radianer.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av cos x
Deriverar man cos x får man sinusfunktionen -sin x.
D(cos x)=-sin x
Eftersom derivatan av en funktion f(x) i x=a är lutningen på tangentlinjen i den punkten, kan vi bygga upp grafen till derivatan av f(x)=cos x genom att följa hur tangentlinjernas lutning förändras.
Grafisk härledning
Dra i reglaget
Bevis
Man kan bevisa detta t.ex. genom att skriva om cos x som en förskjuten sinusfunktion och sedan använda kedjeregeln.
cos x=sin(x+ π2)
Denna sinusfunktion kan deriveras med hjälp av kedjeregeln, där yttre funktionen är y=sin u och inre funktionen u=x+π/2. Den yttre derivatan bestäms med deriveringsregeln för sin x.
cos x=sin(x+ π2)
Denna sinusfunktion kan deriveras med hjälp av kedjeregeln, där yttre funktionen är y=sin u och inre funktionen u=x+π/2. Den yttre derivatan bestäms med deriveringsregeln för sin x.
D(cos x)=D(sin(x+π/2))
DeriveSinChain
D( sin(u) ) = cos(u)* D(u)
D(cos x)=cos(x+π/2)* D(x+π/2)
DeriveSum
Derivera term för term
D(cos x)=cos(x+π/2)* (D(x)+D(π/2))
DeriveConst
D(a) = 0
D(cos x)=cos(x+π/2)* D(x)
DeriveX
D(x) = 1
D(cos x)=cos(x+π/2)
Med det trigonometriska sambandet
cos(x+π/2) = - sin x
får man till sist deriveringsregeln D(cos x) = - sin x.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av tan(x)
Studera formeln för derivatan av tan x.
D(tan x)=1/cos^2 x
Bevis
Tangensfunktionen kan skrivas om som en kvot av sinus- och cosinusfunktionerna. När man gjort omskrivningen
tan x=sin x/cos x
kan man använda kvotregeln för att derivera.
tan x=sin x/cos x
kan man använda kvotregeln för att derivera.
D(tan x)=D(sin x/cos x)
DeriveQuot
D(f/g) = D(f)* g - f* D(g)/g^2
D(tan x)=D(sin x)*cos x-sin x* D(cos x)/cos^2 x
DeriveSin
D( sin(v) ) = cos(v)
D(tan x)=cos x*cos x-sin x* D(cos x)/cos^2 x
DeriveCos
D( cos(v) ) = - sin(v)
D(tan x)=cos x*cos x-sin x* (-sin x)/cos^2 x
MultNegNegOnePar
- a(- b)=a* b
D(tan x)=cos x*cos x+sin x*sin x/cos^2 x
Multiply
Multiplicera faktorer
D(tan x)=cos^2 x+sin^2 x/cos^2 x
PythTrigId
sin^2(v) + cos^2(v) = 1
D(tan x)=1/cos^2 x
Nu ser man att derivatan av tan x är 1/cos^2 x.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Använd deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner
Bestäm f'(π) givet att f(x)=sin(tan x)+sin(2x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(\u03c0)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-1"]}}
Ledtråd
Använd derivatorna av trigonometriska funktioner och kedjeregeln.
Lösning
Vi börjar med att derivera funktionen. Båda termerna är sammansatta funktioner och deriveras med kedjeregeln. Första termen består av den yttre funktionen y=sin u och inre funktionen u=tan x. Den andra termen består av samma yttre funktion men har istället den inre funktionen u=2x.
f(x)=sin(tan x)+sin(2x)
Derive
Derivera funktion
f'(x)=D(sin(tan x))+D(sin(2x))
DeriveSinChain
D( sin(u) ) = cos(u)* D(u)
f'(x)=cos(tan x)* D(tan x)+cos(2x)* D(2x)
DeriveXCo
D(ax) = a
f'(x)=cos(tan x)* D(tan x)+cos(2x)* 2
DeriveTan
D( tan(v) ) = 1/cos^2(v)
f'(x)=cos(tan x)* 1/cos^2 x+cos(2x)* 2
Multiply
Multiplicera faktorer
f'(x)=cos(tan x)/cos^2 x+2cos x
Nu sätter vi in x=π i derivatan för att bestämma f'(π).
f'(x)=cos(tan x)/cos^2 x+2cos x
Substitute
x= π
f'( π)=cos(tan π)/cos^2 π+2cos π
TanRad
1800tan(0)=0 18030tan(π/6)=1/sqrt(3) 18045tan(π/4)=1 18060tan(π/3)=sqrt(3) 18090tan(π/2) odef. 180120tan(2π/3)=- sqrt(3) 180135tan(3π/4)=- 1 180150tan(5π/6)=- 1/sqrt(3) 180180tan(π)=0 180270tan(3π/2) odef. 180360tan(2π)=0
f'(π)=cos 0/cos^2 π+2cos π
CosRad
\ifnumequal{0}{0}{\cos\left(0\right)=1}{}\ifnumequal{0}{30}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{0}{45}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{0}{60}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{0}{90}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{0}{120}{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=- \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{0}{135}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=- \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{0}{150}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{0}{180}{\cos\left(\pi\right)=- 1}{}\ifnumequal{0}{210}{\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)=- \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{0}{225}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{0}{240}{\cos\left(\dfrac{4\pi}3\right)=- \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{0}{270}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{0}{300}{\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{0}{315}{\cos\left(\dfrac{7\pi}4\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{0}{330}{\cos\left(\dfrac{11\pi}6\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{0}{360}{\cos\left(2\pi\right)=1}{}
f'(π)=1/cos^2 π+2cos π
CosRad
\ifnumequal{180}{0}{\cos\left(0\right)=1}{}\ifnumequal{180}{30}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{45}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{60}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{90}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{120}{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=- \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{135}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=- \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{150}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{180}{\cos\left(\pi\right)=- 1}{}\ifnumequal{180}{210}{\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)=- \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{225}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{240}{\cos\left(\dfrac{4\pi}3\right)=- \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{180}{270}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{300}{\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{180}{315}{\cos\left(\dfrac{7\pi}4\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{330}{\cos\left(\dfrac{11\pi}6\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{360}{\cos\left(2\pi\right)=1}{}
f'(π)=1/(-1)^2+2(-1)
SimpPowProd
Förenkla potens & produkt
f'(π)=1/1+(-2)
CalcQuot
Beräkna kvot
f'(π)=1+(-2)
AddNeg
a+(- b)=a-b
f'(π)=-1
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Träna på derivator av trigonometriska funktioner
Använd deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner för att bestämma den efterfrågade derivatan.
Bestäm derivatan av följande funktion.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Derivator av trigonometriska funktioner
Uppgift 3.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"D(sec x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{\\tan(x)}{\\cos(x)}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["Lokalt maximum","Lokalt minimum"],"point":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["-\\dfrac{\\pi}{2}"]},{"type":0,"text":["\\dfrac{3\\pi}{2}"]},{"type":1,"text":["-\\dfrac{3\\pi}{2}"]},{"type":1,"text":["\\dfrac{\\pi}{2}"]}]}}
security
report
code
security
report
code
Vi bestämmer derivatan av funktionen y=sec x genom att skriva om den med definitionen och använder sedan kvotregeln.
Vi vet nu att D(sec x)=sin x/cos^2 x. Med hjälp av definitionen för tangens, tan x=sin x/cos x, skriver vi högerledet på önskad form.
Derivatan är alltså. D(sec x)=tan x/cos x.
Vi hittar lokala extrempunkter genom att undersöka var f'(x) = 0. Vi börjar därför med att derivera funktionen f(x)=csc x på liknande sätt som i föregående deluppgift.
Vi sätter nu derivatan till 0 för att hitta samtliga lokala extrempunkter.
Avståndet mellan alla lösningar är π, alltså kan vi skriva lösningsmängden som x = π/2 + n * π. Av dessa extrempunkter ligger fyra stycken inom vårt intervall, - 2π < x < 2π. De är x=- 3π/2, x = - π/2, x = π/2 samt x= 3π/2. För att avgöra dessa punkters karaktär behöver vi känna till funktionens andraderivata. Låt oss bestämma den.
När vi skall avgöra extrempunkternas karaktär behöver vi endast veta vilket tecken andraderivatan har i punkten. Summan sin^2 x + 2cos^2 x är positiv för alla reella x — andraderivatans tecken avgörs därför av vilket tecken nämnaren sin^3 x har.
| x | - 3π/2 | - π/2 | π/2 | 3π/2 |
|---|---|---|---|---|
| sin^3 x | + | - | + | - |
| Karaktär | Minimi | Maximi | Minimi | Maximi |
De fyra lokala extrempunkterna kan alltså delas in enligt kategorierna &lokala minimipunkter: & x&=- 3π/2, & x&=π/2 [0.5em] &lokala maximjipunkter: & x&=- π/2, & x&=3π/2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Om man har funktionen f(x)=cos x och drar en tangent då x=p och en då x=- p, där 0 < p < π/2, så kommer dessa tangenter tillsammans med x-axeln bilda en triangel. Bestäm denna triangels area.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["p"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"A=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["(\\dfrac{\\cos(p)}{\\sin(p)}+p)*(\\cos(p)+p\\sin(p))"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi har en symmetrisk triangel där ena halvan ligger i första kvadranten och andra halvan ligger i den fjärde. Vi kommer i denna lösning först bestämma arean för den del där x > 0 och sedan multiplicera den arean med 2.
I den halva av triangeln vi studerar begränsas av en tangent samt koordinataxlarna. Denna tangents skärning med y-axeln ger oss triangelns höjd, h, och dess skärning med x-axeln ger oss triangelns bredd, b. Arean av denna nya triangel beräknar vi med A=bh/2. För att hitta skärningarna med koordinataxlarna behöver vi nu hitta tangentens ekvation. Vi utgår från räta linjens ekvation, y=kx+m. Termen k är tangentens lutning. Denna lutning är lika stor som funktionens lutning i tangeringspunkten vilken vi finner om vi deriverar funktionen. Låt oss göra det.
Tangenten tangerar funktionen i x=p och lutningen, k, där är då f'(p)=- sin p. Vår tangent kan nu skrivas y=- sin p* x+m. I tangeringspunkten vet vi att x- koordinaten är p och y-koordinaten är f(p)=cos p. Vi kan nu sätta in denna punkt i ekvationen för tangenten och lösa ut m.
Vi vet nu tangentens ekvation och den är y=- sin p* x+cos p+psin p. Låt oss nu bestämma triangelns bredd som är samma som tangentens skärningspunkt med x-axeln.
Bredden på triangeln ges alltså av b=cos p/sin p+p. Höjden är tangentens m-värde. Med andra ord är h=cos p+psin p. Vår triangel, som ju var halva den ursprungliga triangeln, har alltså arean bh/2=( cos p/sin p+p )* (cos p+psin p)/2. Den sökta triangelns area är dubbelt så stor, alltså A=( cos p/sin p+p )* (cos p+psin p).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm den 2 012-te derivatan av f(x)=sinx.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f^((2 012))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sin{x}"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom derivatan av sinusfunktionen är cosinusfunktionen, som i sin tur blir en sinusfunktion när den deriveras igen, måste det finnas ett mönster som kan användas för att bestämma den n-te derivatan av sinusfunktionen. Börja med att bestämma de första några derivatorna. f(x) &= sinx f'(x) &= cosx f''(x) &= - sinx f^((3))(x) &= - cosx f^((4))(x) &= sinx Observera att den fjärde derivatan av f(x) är samma som f(x) igen. Detta innebär att för varje 4 derivator kommer funktionen fortfarande att vara sinx. Eftersom 2 012 är delbart med 4, kan vi dra slutsatsen att den 2 012-te derivatan också kommer att vara en sinusfunktion. f^((2 012))=sinx
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm värdet av gränsvärdet lim _(h→ 0) cos(π+h)-cos(π)/h.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
security
report
code
security
report
code
Betrakta det givna gränsvärdet. lim _(h→ 0) cos(π+h)-cosπ/h. Låt oss nu återkalla definitionen av en derivata. f'(x)= lim _(h → 0) f(x+h)-f(x)/h Observera att gränsvärdet vi vill bestämma liknar definitionen av en derivata, vi behöver bara ersätta x med π. Detta innebär att värdet av det givna gränsvärdet motsvarar värdet av derivatan av cosx när x=π.
Med detta i åtanke kan vi nu bestämma gränsvärdet. lim _(h → 0) cos(π+h)-cosπ/h = 0
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Derivator av trigonometriska funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll