Samband mellan sträcka, hastighet och acceleration

Sambanden mellan begreppen sträcka och hastighet, s'(t)=v(t) ⇔ s(t)=∫ v(t)dt, kan tolkas som: "hastigheten är derivatan av sträckan" och "sträckan är integralen av hastigheten". Man kan motivera detta med ett exempel. Om en bil kör med konstant hastighet 20 m/s under t_1 sekunder kan man med svt-formeln beräkna sträckan som bilen färdats under denna tid: s=20* t_1 meter. Samma samband kan man få genom att beräkna arean under grafen till v(t) från 0 till t_1 sekunder.

Arean under grafen, 20t_1, motsvarar alltså sträckan som bilen kör. Och eftersom arean även kan tolkas som integralen av v(t) från 0 till t_1 är sträckan s lika med integralen: s= ∫_0^(t_1) v(t) dt= ∫_0^(t_1) 20 dt=20t_1. Generellt gäller att den primitiva funktionen till v(t) är sträckafunktionen s(t), alltså: s(t)=∫ v(t)dt. I exemplet är v(t) en konstant funktion men sambandet gäller även då v(t) varierar.

Sambanden mellan begreppen hastighet och acceleration, v'(t)=a(t) ⇔ v(t)=∫ a(t)dt, kan tolkas som: "accelerationen är derivatan av hastigheten" och "hastigheten är integralen av accelerationen". Även detta kan motiveras med ett exempel. En bil som ökar sin hastighet med 5 m/s varje sekund har accelerationen 5 m/s^2. Hastigheten kan även beskrivas med funktionen v(t)=5t. Derivatan blir då v'(t)=5 dvs. samma som accelerationen. Grafiskt representeras alltså accelerationen av grafens lutning, som är 5 i alla punkter.

Generellt gäller att derivatan av v(t) är samma sak som accelerationen, v'(t)=a(t), och att v(t) är en primitiv funktionen till accelerationen: v(t)=∫ a(t)dt.