Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
Du måste välja en bok innan du kan söka på sidnummer
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Samband mellan sträcka hastighet och acceleration


Regel

Samband mellan sträcka, hastighet och acceleration

Om man bestämmer en primitiv funktion kan man få tillbaka funktionen genom att derivera. Ett konkret exempel på funktioner som hänger ihop på detta sätt är sträcka s(t),s(t), hastighet v(t)v(t) och acceleration a(t).a(t).

samband sträcka hastighet acceleration

Man kan utgå från en hastighetsfunktion v(t)v(t) för att illustrera principen. Om man deriverar v(t)v(t) får man en funktion som beskriver hur hastigheten förändras, vilket är samma sak som acceleration a.a. Om v(t)v(t) istället integreras kan det tolkas som arean under grafen på ett visst intervall, dvs. som summan av rektanglar med arean A=ho¨jdbredd=vt,A=\text{höjd} \cdot \text{bredd}=v \cdot t, och är därför detsamma som en sträcka ss (eftersom s=vts=v\cdot t).

samband sträcka hastighet acceleration

Sambanden mellan de olika begreppen sammanfattas i figuren nedan.

samband sträcka hastighet acceleration

Regel

info
Sträcka, hastighet och acceleration


Regel

Samband mellan sträcka och hastighet

Sambanden mellan begreppen sträcka och hastighet, s(t)=v(t)s(t)=v(t) dt, s'(t)=v(t) \quad \Leftrightarrow \quad s(t)=\int v(t)\text{ d}t, kan tolkas som: "hastigheten är derivatan av sträckan" och "sträckan är integralen av hastigheten". Man kan motivera detta med ett exempel. Om en bil kör med konstant hastighet 2020 m/s under t1t_1 sekunder kan man med svtsvt-formeln beräkna sträckan som bilen färdats under denna tid: s=20t1 meter. s=20\cdot t_1 \text{ meter.} Samma samband kan man få genom att beräkna arean under grafen till v(t)v(t) från 00 till t1t_1 sekunder.

Arean under grafen, 20t1,20t_1, motsvarar alltså sträckan som bilen kör. Och eftersom arean även kan tolkas som integralen av v(t)v(t) från 00 till t1t_1 är sträckan ss lika med integralen: s=0t1v(t)dt=0t120dt=20t1. s=\displaystyle\int_0^{t_1} v(t)\, \text{d}t=\displaystyle\int_0^{t_1} 20\, \text{d}t=20t_1. Generellt gäller att den primitiva funktionen till v(t)v(t) är sträckafunktionen s(t),s(t), alltså: s(t)=v(t) dt.s(t)=\int v(t)\text{ d}t. I exemplet är v(t)v(t) en konstant funktion men sambandet gäller även då v(t)v(t) varierar.

Regel

Samband mellan hastighet och acceleration

Sambanden mellan begreppen hastighet och acceleration, v(t)=a(t)v(t)=a(t) dt, v'(t)=a(t) \quad \Leftrightarrow \quad v(t)=\int a(t)\text{ d}t, kan tolkas som: "accelerationen är derivatan av hastigheten" och "hastigheten är integralen av accelerationen". Även detta kan motiveras med ett exempel. En bil som ökar sin hastighet med 55 m/s varje sekund har accelerationen 55 m/s2.^2. Hastigheten kan även beskrivas med funktionen v(t)=5t.v(t)=5t. Derivatan blir då v(t)=5 v'(t)=5 dvs. samma som accelerationen. Grafiskt representeras alltså accelerationen av grafens lutning, som är 55 i alla punkter.


Generellt gäller att derivatan av v(t)v(t) är samma sak som accelerationen, v(t)=a(t),v'(t)=a(t), och att v(t)v(t) är en primitiv funktionen till accelerationen: v(t)=a(t) dt. v(t)=\int a(t)\text{ d}t.