Sambanden mellan begreppen sträcka och hastighet,
s′(t)=v(t)⇔s(t)=∫v(t) dt,
kan tolkas som: "hastigheten är derivatan av sträckan" och "sträckan är integralen av hastigheten". Man kan motivera detta med ett exempel. Om en bil kör med konstant hastighet
20 m/s under
t1 sekunder kan man med beräkna sträckan som bilen färdats under denna tid:
s=20⋅t1 meter.
Samma samband kan man få genom att beräkna arean under grafen till
v(t) från
0 till
t1 sekunder.
Arean under grafen,
20t1, motsvarar alltså sträckan som bilen kör. Och eftersom arean även kan tolkas som integralen av
v(t) från
0 till
t1 är sträckan
s lika med integralen:
s=∫0t1v(t)dt=∫0t120dt=20t1.
Generellt gäller att den primitiva funktionen till
v(t) är sträckafunktionen
s(t), alltså:
s(t)=∫v(t) dt. I exemplet är
v(t) en konstant funktion men sambandet gäller även då
v(t) varierar.
Sambanden mellan begreppen hastighet och acceleration,
v′(t)=a(t)⇔v(t)=∫a(t) dt,
kan tolkas som: "accelerationen är derivatan av hastigheten" och "hastigheten är integralen av accelerationen". Även detta kan motiveras med ett exempel. En bil som ökar sin hastighet med
5 m/s varje sekund har accelerationen
5 m/s
2. Hastigheten kan även beskrivas med funktionen
v(t)=5t. Derivatan blir då
v′(t)=5
dvs. samma som accelerationen. Grafiskt representeras alltså accelerationen av grafens , som är
5 i alla punkter.
Generellt gäller att derivatan av
v(t) är samma sak som accelerationen,
v′(t)=a(t), och att
v(t) är en primitiv funktionen till accelerationen:
v(t)=∫a(t) dt.