Andragradsekvationer

Låt oss kalla antalet besökare i början av perioden för x. År två hade detta ökat med 37 % så då hade hemsidan x* 1,37 =1,37x besökare. Ökningen är lika stor varje år så vi kan beskriva den årliga ökningen med en förändringsfaktor, a. Efter första året måste antalet besökare då vara x * a och efter två år är antalet besökare x * a * a. Det ger oss ekvationen x * a * a = 1,37x ⇔ a^2x = 1,37x Vi löser ut a för att bestämma den årliga förändringsfaktorn.

En förändringsfaktor är alltid större än 0 så vi kan bortse från den negativa lösningen.

Den årliga förändringsfaktorn var alltså cirka 1,17 vilket motsvarar en ökning med 17 %.

Vi kallar den ursprungliga rektangelns höjd för x. Eftersom basen är 30 % större än höjden kan vi skapa ett uttryck för basen genom att multiplicera x med förändringsfaktorn 1,3. Den ursprungliga rektangeln har alltså arean: 1,3x* x = 1,3x^2. I den nya rektangeln har höjden ökat med 20 %, dvs. med förändringsfaktorn 1,2. Vi multiplicerar alltså x med 1,2 vilket ger 1,2x. Basen är däremot 90 % av den gamla rektangelns bas, dvs. 1,3x* 0,9 = 1,17x. Nu kan vi skapa ett uttryck för den nya arean: 1,17x* 1,2x=1,404x^2. Slutligen vet vi att den nya arean, 1,404x^2, är 8,424 areaenheter större än den gamla som var på 1,3x^2. Detta ger oss ekvationen 1,404x^2=1,3x^2+8,424. Vi får då två lösningar, men eftersom en sträcka måste vara positiv förkastar vi den negativa lösningen.

Den ursprungliga rektangelns höjd var alltså 9 le.

Faktorn x^2 finns i båda termer så vi kan bryta ut den.

Nu har vi en produkt som är lika med 0, så vi kan använda nollproduktmetoden. Det spelar ingen roll att den ena faktorn är x^2.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och faktoriserar innan vi använder nollproduktmetoden.

Nu har vi en produkt som är lika med 0 så vi använder nollproduktmetoden.

Vi fortsätter som vanligt och faktoriserar innan vi använder nollproduktmetoden. x^(1000) kan skrivas som x^(999)* x.

Om x=-3 och x=4 betyder det att om man sätter in de x-värdena i ekvationen kommer likheten att gälla. Vi sätter därför in x-värdena, ett i taget.

Nu har vi ett samband mellan a och b. Vi sätter in den andra roten och kommer då att få ytterligare ett samband mellan konstanterna.

Nu har vi två samband mellan a och b. Båda måste gälla samtidigt så vi kan hitta värdet på dem genom att lösa ekvationssystemet 18+3a+b=0 32-4a+b=0. Vi löser det med substitutionsmetoden.

Nu vet vi att a är lika med 2, så vi sätter in det i den andra ekvationen för att bestämma b.

a är lika med 2 och b är lika med -24. Detta ger oss kvoten b/a=-12.

Här kan nollproduktmetoden användas, men först måste vi faktorisera. Båda termer innehåller faktorn (x-4), så man kan bryta ut den. Om man tycker det är svårt att bryta ut en hel parentes kan man tillfälligt kalla den för t.ex. k.

Nu byter vi tillbaka k mot den utbytta parentesen och använder nollproduktmetoden.

Ekvationens lösningar är alltså x=-2 och x=4.

Vi flyttar först över den ena termen så att en ledet blir 0. Därefter kan vi bryta ut parentesen (5+x) på samma sätt som tidigare.

Nu har vi en produkt av två parenteser i vänsterledet och en nolla i högerledet, så vi löser ekvationen med nollproduktmetoden.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och faktoriserar genom att bryta ut parentesen (8-3x). Vi kallar den tillfälligt för k och byter sedan tillbaka den.

Nu har vi en kvadrat i vänsterledet och en nolla i högerledet. Vi drar kvadratroten ur båda led för att bli av med potensen.

När bollen når marken inne i målburen innebär det att höjden över marken är lika med noll, dvs. h(t)=0. Genom att sätta in detta i funktionen får vi en andragradsekvation: 0=at^2+bt. Lösningarna till denna anger hur lång tid efter skottet som bollen är i markhöjd. Vi löser ekvationen genom att faktorisera den och sedan använda nollproduktmetoden.

För att högerledet ska bli noll måste antingen t eller at + b vara lika med noll.

Ekvationens lösningar är t=0 och t=- ba och bollen är alltså på marken vid två tillfällen, som vi ser i figuren.

Den första lösningen innebär att bollen är på marken i skottögonblicket, dvs. vid tiden 0 sekunder. Det är en korrekt lösning, men inte intressant för oss. Vi är ute efter den andra lösningen t=-b/a sekunder. Detta är alltså tiden det tar för bollen att komma tillbaka till marken efter att ha varit uppe i luften.

Eftersom bråken beskriver samma tal kan de likställas. Vi gör detta och löser ut b.

Nu har vi en andragradsekvation där ena ledet är 0. I det andra innehåller alla termer faktorn 5b så vi kan bryta ut den och använda nollproduktmetoden.

Vi får två lösningar till ekvationen: b=0 och b=2. Men om man sätter in b=0 i någon av uttrycken för det sökta talet får vi 0 i nämnaren, vilket inte är tillåtet. Därför måste b vara lika med 2. Vi sätter in det i en av ursprungsuttrycken.

Det sökta talet är 5.

Vi börjar med att skissa situationen genom att markera punkterna i ett koordinatsystem. Vi vet inte vilket y-värde a motsvarar men vi vet att det är ett positivt värde, eftersom a>0. Dessutom vet vi att det bildas en rät vinkel mellan de tre punkterna då de utgör hörnen i en rätvinklig triangel, så figuren ser ut ungefär såhär.

Så hur bestämmer vi a? Jo, vi kan använda att produkten av två vinkelräta linjers riktningskoefficienter är -1. Vi förlänger de blå sidorna i triangeln till linjer och kallar dem y_1 och y_2.

Linjernas riktningskoefficienter kan vi bestämma med k-formeln eftersom vi känner till uttryck 2 punkter på varje linje. Vi börjar med att bestämma lutningen för linje y_1, vilken vi kallar k_1.

Nu bestämmer vi lutningen för den andra linjen, som vi kallar k_2.

Nu har vi två uttryck för linjernas lutning, och båda innehåller a. Genom att använda att k_1* k_2=-1 för vinkelräta linjer får vi följande ekvation som vi kan lösa ut a ur. a/-6*a/2=-1 Vi multiplicerar ihop bråken och löser ekvationen genom att dra kvadratroten ur båda led.

Eftersom a är större än 0 bortser vi från den negativa roten, så det exakta värdet på a är sqrt(12).