Trigonometriska funktioner

Vi känner till hypotenusan och den närliggande kateten till x och använder därför definitionen för cosinus. För att bestämma vinkeln använder vi arccos-knappen på räknaren.

Vinkeln x är ca 34 ^(∘).

Nu känner vi till hypotenusan och den motstående sidan till den sökta vinkeln. Då måste vi använda definitionen för sinus för att bestämma y.

I den här triangeln känner vi till den motstående och närliggande kateten till w. För att lösa ut den okända vinkeln måste vi därför använda definitionen för tangens.

Triangeln är rätvinklig så vi kan använda definitionen av sinus, cosinus eller tangens för att bestämma b. Sidan b är närliggande katet till den kända vinkeln och eftersom hypotenusan också är känd kan vi beräkna b med cosinus.

Katet b är ca 4,3 le.

Även denna triangel är rätvinklig och eftersom vi känner till en av kateterna och en vinkel kan vi använda tangens för att bestämma den andra kateten.

Katet b är alltså ca 4,1 le.

Vi kan se att husets höjd, som vi kallar h, utgör den längre av kateterna i en rätvinklig triangel.

Eftersom vi känner till längden på den mindre kateten, samt vinkeln 65^(∘), kan vi beräkna höjden med tangens.

Huset är alltså ca 69 meter högt.

Ingen 60^(∘)-vinkel är markerad, men med hjälp av triangelns vinkelsumma kan vi konstatera att den nedre högra vinkeln, som vi kallar v, måste vara det: 90^(∘)+30^(∘)+v=180^(∘) ⇔ v=60^(∘). För att bestämma tangensvärdet för vinkeln 60^(∘) måste vi bestämma längden på den okända kateten, eftersom definitionen av tangens involverar både den närliggande och motstående kateten. Vi kallar den okända kateten för a och bestämmer den med Pythagoras sats.

Den okända kateten är alltså sqrt(3).

Nu kan vi bestämma tan(60^(∘)). tan(60^(∘))=Motstående katet/Närliggande katet=sqrt(3)/1=sqrt(3)

Vi kan beräkna uttrycket genom att ersätta sin(30^(∘)) och cos(60^(∘)) med sina exakta trigonometriska värden ur tabellen och därefter förenkla.

Vi ersätter sin(45^(∘)) och tan(45^(∘)) med exakta trigonometriska värden och förenklar bråket så långt det går.

Samma sak här. Vi ersätter cos(30^(∘)) och tan(60^(∘)) med exakta trigonometriska värden och förenklar.

Eftersom triangeln är liksidig är alla sidor 16 cm och triangelns samtliga vinklar är lika stora, dvs. 180^(∘)3=60^(∘). Vi skissar triangeln och ritar in dess höjd h som är vinkelrät mot triangelns bas.

Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar med vinklar och sidor som i figuren.

För att beräkna höjden kan vi använda Pythagoras sats, men då måste vi utföra beräkningen 16^2 som kan vara jobbig att ta i huvudet. Därför väljer vi att bestämma höjden med exempelvis tangens. Vi kan då utnyttja tangensvärdet för standardvinkeln 60 ^(∘) vilket är sqrt(3).

Nu kan vi bestämma triangelns area genom att multiplicera höjden med basen, som vi vet är 16, och dela med 2: Area=8sqrt(3)* 16/2=64sqrt(3). Triangelns area är alltså 64sqrt(3) cm^2.