1. Trigonometriska funktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
1.
Trigonometriska funktioner
Lektionen ger en omfattande översikt över trigonometriska funktioner, inklusive grundläggande begrepp som sinus, cosinus och tangens. Den förklarar hur man kan använda dessa funktioner för att lösa problem som involverar rätvinkliga trianglar, såsom att beräkna hypotenusan eller vinklarna. Sidan erbjuder också formler och metoder för att räkna ut olika delar av en triangel, som kateter och vinklar, med hjälp av trigonometri. Det finns också exempel och förklaringar som hjälper till att förstå dessa koncept. Den är användbar för studenter som vill förstå och tillämpa trigonometri i olika matematiska och verkliga sammanhang.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Trigonometriska funktioner
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Sinus
- Cosinus
- Tangens
- Arcsinus
- Arccosinus
- Arctangens
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Trigonometriska funktioner
För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.
sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa
cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa
tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm trigonometriskt värde med triangeln
Använd triangeln för att bestämma cos(30^(∘)).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"cos30^(∘)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}"]}}
Ledtråd
Börja med att hitta den saknade vinkeln i den givna triangeln. Använd sedan Pythagoras sats för att hitta den saknade sidan.
Lösning
Ingen av de två markerade vinklarna är 30^(∘), men eftersom en triangelns vinkelsumma är 180^(∘) måste toppvinkeln, som vi kallar v, vara det: 90^(∘)+60^(∘)+v=180^(∘) ⇔ v=30^(∘).
Cosinus för en vinkel är definierat som närliggande katet dividerat med hypotenusan, så vi måste ta reda på denna katet. Vi kallar den a och beräknar längden med Pythagoras sats.
a^2+b^2=c^2
SubstituteII
b= 1 och c= 2
a^2+ 1^2= 2^2
CalcPow
Beräkna potens
a^2+1=4
SubEqn
VL-1=HL-1
a^2=3
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
a=±sqrt(3)
a > 0
a=sqrt(3)
Närliggande katet är alltså sqrt(3) och toppvinkeln 30^(∘).
Nu kan vi bestämma cos(30^(∘)). cos(30^(∘))=Närliggande katet/Hypotenusa=sqrt(3)/2 Det exakta värdet för cos(30^(∘)) är alltså sqrt(3)2. Genom att använda räknarens verktyg för cosinus får vi reda på att det är ungefär lika med 0,87.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Standardvinklar i rätvinkliga trianglar
Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande. &cos(30^(∘))=0,86602 ... [0.6em] &sin(45^(∘))=0,70710 ... [0.6em] &tan(60^(∘))=1,73205 ... Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.
| Vinkel v | 30^(∘) | 45^(∘) | 60^(∘) |
|---|---|---|---|
| sin(v) | 1/2 | 1/sqrt(2) | sqrt(3)/2 |
| cos(v) | sqrt(3)/2 | 1/sqrt(2) | 1/2 |
| tan(v) | 1/sqrt(3) | 1 | sqrt(3) |
Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan 1 (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan 1, som halverats (blå).
Härledning
Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangelnFör att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är 1 le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln 45^(∘) vardera.
Katetlängderna är som sagt lika långa så genom att kalla dem båda för x kan man beräkna deras längd med Pythagoras sats.
a^2+b^2=c^2
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
x^2+x^2=1^2
SimpPowTerm
Förenkla potens & termer
2x^2=1
DivEqn
.VL /2.=.HL /2.
x^2=1/2
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x=±sqrt(1/2)
x > 0
x=sqrt(1/2)
SqrtQuot
sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)
x=1/sqrt(2)
Nu kan vi komplettera triangeln med dess katetlängder.
Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan 1 på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar 60^(∘), och den halva triangeln får därför toppvinkeln 30^(∘). Basen halveras och får längden 12.
Höjden, h, kan beräknas med Pythagoras sats.
a^2+b^2=c^2
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
h^2+(1/2)^2=1^2
PowQuot
(a/b)^c=a^c/b^c
h^2+1/4=1
SubEqn
VL-1/4=HL-1/4
h^2=1-1/4
OneToFrac
Skriv 1 som 4/4
h^2=4/4-1/4
SubFrac
Subtrahera bråk
h^2=3/4
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
h=± sqrt(3/4)
h > 0
h=sqrt(3/4)
SqrtQuot
sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)
h=sqrt(3)/2
Höjden i den blå triangeln är alltså sqrt(3)2.
Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.
Regel
Vinkeln 30^(∘)
För standardvinkeln 30^(∘) används den halva liksidiga triangeln.
Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.
Härledning
sin(30^(∘))=1/2Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:
sin(30^(∘))=Motstående/Hypotenusan=1/2/1=1/2.
Härledning
cos(30^(∘))=sqrt(3)/2Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:
cos(30^(∘))=Närliggande/Hypotenusan=sqrt(3)/2/1=sqrt(3)/2.
Härledning
tan(30^(∘))=1/sqrt(3)Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:
tan(30^(∘))=Motstående/Närliggande=1/2/sqrt(3)/2=1/sqrt(3).
Regel
Vinkeln 45^(∘)
För att härleda de exakta trigonometriska värdena för 45^(∘) används istället den likbenta triangeln.
Det spelar ingen roll vilken av 45^(∘)-vinklarna man utgår ifrån.
Härledning
sin(45^(∘))=1/sqrt(2)I en rätvinklig triangel definieras sinus som motstående katet dividerat med hypotenusan:
sin(45^(∘))=Motstående/Hypotenusan=1/sqrt(2)/1=1/sqrt(2).
Härledning
cos(45^(∘))=1/sqrt(2)Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:
cos(45^(∘))=Närliggande/Hypotenusan=1/sqrt(2)/1=1/sqrt(2).
Härledning
tan(45^(∘))=1Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:
tan(45^(∘))=Motstående/Närliggande=1/sqrt(2)/1/sqrt(2)=1.
Regel
Vinkeln 60^(∘)
För att ta fram de trigonometriska värdena för 60^(∘) använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.
Härledningarna liknar de för 30^(∘)-vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. sin(30^(∘))=cos(60^(∘)) och cos(30^(∘))=sin(60^(∘)).
Härledning
sin(60^(∘))=sqrt(3)/2Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:
sin(60^(∘))=Motstående/Hypotenusan=sqrt(3)/2/1=sqrt(3)/2.
Härledning
cos(60^(∘))=1/2Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:
cos(60^(∘))=Närliggande/Hypotenusan=1/2/1=1/2.
Härledning
tan(60^(∘))=sqrt(3)Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:
tan(60^(∘))=Motstående/Närliggande=sqrt(3)/2/1/2=sqrt(3).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hitta det exakta värdet av de trigonometriska funktionerna
Använd en lämplig triangel för att hitta det exakta värdet av sin30^(∘), cos30^(∘), och tan30^(∘).
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"sin30^(∘)"},{"id":1,"text":"cos30^(∘)"},{"id":2,"text":"tan30^(∘)"}],[{"id":0,"text":"1\/2"},{"id":1,"text":"sqrt(3)\/2"},{"id":2,"text":"1\/sqrt(3)"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2],[0,1,2]]}
Ledtråd
Överväg att använda hälften av en liksidig triangel.
Lösning
En liksidig triangel av vilken storlek som helst kan användas för att hitta de efterfrågade värdena. De inre vinklarna i triangeln mäter alla 60^(∘). För enkelhetens skull, välj en triangel vars sidor alla mäter 1 enhet.
Denna triangel kan delas i två med en bisektris, vilket resulterar i två likadana rätvinkliga trianglar. Här behöver vi bara fokusera på en sida.
En katet i denna triangel mäter 12, och hypotenusan mäter 1. Hitta längden på den saknade kateten med hjälp av Pythagoras sats.
Den exakta längden på den saknade kateten är sqrt(3)2.
Med vinkeln 30^(∘) som referens mäter den närliggande kateten sqrt(3)2, den motstående kateten 12, och hypotenusan 1. Detta är tillräcklig information för att hitta de efterfrågade värdena.
sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa
SubstituteValues
Sätt in värden
sin30^(∘) = 12/1
DivByOne
a/1=a
sin30^(∘) = 1/2
Hitta cos30^(∘) på ett liknande sätt.
cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa
SubstituteValues
Sätt in värden
cos30^(∘) = sqrt(3)2/1
DivByOne
a/1=a
cos30^(∘) = sqrt(3)/2
Slutligen, hitta tan30^(∘).
tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet
SubstituteValues
Sätt in värden
tan30^(∘) = 12/sqrt(3)2
DivFracByFracD
.a /b./.c /d.=a/b*d/c
tan30^(∘) = 1/2 * 2/sqrt(3)
MultFrac
Multiplicera bråk
tan30^(∘) = 1/sqrt(3)
Med denna kunskap kan värdena nu paras ihop. sin30^(∘) &= 1/2 [0.8em] cos30^(∘) &= sqrt(3)/2 [0.8em] tan30^(∘) &= 1/sqrt(3)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Arcusfunktioner
Om man känner till förhållandet mellan två sidor i en rätvinklig triangel, dvs. sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för en vinkel, kan man använda arcusfunktionerna för att beräkna denna vinkel. En vanlig arcusfunktion är arcussinus (arcsin), vilken kan ses som motsats till sinus.
På samma sätt är arcuscosinus (arccos) motsats till cosinus och arcustangens (arctan) motsats till tangens.
Man kan alltså gå fram och tillbaka mellan en vinkel och motsvarande tangens-, sinus- och cosinusvärde. Detta illustreras nedan med några cosinusvärden.
Villkor
VinklarDet finns oändligt många vinklar med samma sinus-, cosinus- eller tangensvärde. Man måste därför välja vilken som ska returneras då värdet sätts in i motsvarande arcusfunktion. För arccos, arcsin och arctan gäller följande intervall.
- arccos ger en vinkel v inom 0^(∘) ≤ v ≤ 180^(∘)
- arcsin ger en vinkel v inom - 90^(∘) ≤ v ≤ 90^(∘)
- arctan ger en vinkel v inom - 90^(∘) < v < 90^(∘)
Man kan jämföra detta problem med när man drar kvadratroten ur ett tal, där man har valt att definiera sqrt(4) som 2 och inte -2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hitta vinkeln med hjälp av arcusfunktioner
Betrakta följande rätvinkliga triangel.
Hitta vinkeln v. Avrunda svaret till 1 decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"v=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["37.2"]}}
Ledtråd
Ta reda på vilken trigonometrisk funktion som relaterar de kända sidorna med vinkeln v som referens. Använd dess motsvarande arcusfunktion.
Lösning
Den givna rätvinkliga triangeln visar måtten på båda sina kateter.
Med vinkeln v som referens mäter den motstående kateten 19 cm, och den närliggande kateten 25 cm. Tangensfunktionen relaterar dessa kateter. tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet Ersätt de kända värdena och använd den inversa tangensfunktionen, tan^(-1).
tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet
SubstituteValues
Sätt in värden
tanv = 19/25
ArcTanEqn
arctan(VL) = arctan(HL)
v = tan^(-1)( 19/25 )
UseCalc
Slå in på räknare
v = 37,234833...^(∘)
RoundDec
Avrunda till 11tiondelar 12hundradelar 13tusendelar 14tiotusendelar 15hundratusendelar 16miljontedelar 17hundramiljontedelar 18miljardtedelar
v ≈ 37,2^(∘)
Vinkeln v är ungefär 37,2^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Träna på att bestämma vinklar med hjälp av arcusfunktioner
I varje av de följande rätvinkliga trianglarna är två sidor givna. Använd ett passande arcusfunktioner för att bestämma m∠ θ. Avrunda ditt svar till närmaste grad.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Trigonometriska funktioner
Uppgift 3.1
Piratskeppet Svarta Hummern, som har ett halvklotformat skrov, har kantrat och tagit in vatten som i figuren.
Hur brett är skeppet?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"meter","answer":{"text":["20"]}}
security
report
code
security
report
code
Båten har formen av ett halvklot och ser ut som en halvcirkel från sidan. Vi kan därför bestämma dess bredd genom att beräkna längden på den markerade diametern d. För att göra det drar vi en radie, r, från diameterns mittpunkt rakt ner till skrovet där vattnet är som djupast. Det bildas då en rätvinklig triangel som vi kan använda för att bestämma radiens längd.
Vi lyfter ut triangeln. Hypotenusan är halva diametern, dvs. r, och eftersom höjden från vattenytan till den djupaste delen av skrovet är 5 meter så måste den kortare kateten i den rätvinkliga triangeln vara r-5 m.
Nu kan vi använda trigonometri för att lösa ut r. Sinus av vinkeln 30^(∘) ska vara lika med den motstående kateten r-5 dividerat med hypotenusan r.
Radien är 10 meter vilket då innebär att diametern är 20 meter. Svarta Hummerns skrov är alltså 20 meter brett.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En halv liksidig triangel har omkretsen 20cm. Bestäm längden på dess kortaste katet.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["\\dfrac{20}{3+\\sqrt{3}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom en liksidig triangel har tre vinklar som är 60^(∘) kommer en halv liksidig triangel vara en rätvinklig triangel där övriga vinklar är 30^(∘) och 60^(∘). Vi kallar hypotenusan för c, den längre av kateterna för a och den kortare för b.
Vi börjar med att skriva om triangelns sidlängder så att vi bara har en variabel. T.ex. kan vi uttrycka kateterna i termer av c genom att använda definitionen för sinus respektive cosinus. Vi börjar med att skriva om a.
Nu skriver vi om b.
Vi ställer nu upp ett uttryck för triangelns omkrets och sätter det lika med 20. c+1/2* c+sqrt(3)/2* c=20. Genom att lösa ut c ur denna ekvation får vi reda på hypotenusans längd. Vi kan därefter dividera den med 2 för att få reda på den kortare katetens längd, eftersom den korta kateten alltid är hälften så lång som hypotenusan i en halv liksidig triangel.
Nu dividerar vi hypotenusan med 2 och förenklar.
Den kortare kateten är alltså 20/3+sqrt(3)cm.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm ett uttryck för x utan att använda räknare. Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["4\\sqrt{3}-4","4(\\sqrt{3}-1)"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma x behöver vi höjden AB. Genom att använda definitionen av sinus i den stora triangeln ABC och genom att titta i tabellen med exakta trigonometriska värden kan vi beräkna AB.
Inuti den större triangeln syns en mindre rätvinklig triangel, ABD, där vinkel D är 45^(∘). Eftersom triangelns vinkelsumma är 180^(∘) måste den sista vinkeln i denna triangel vara
180^(∘)-90^(∘)-45^(∘)=45^(∘).
Eftersom två av vinklarna är 45^(∘) så måste den mindre triangeln vara en likbent triangel med lika långa katetlängder, dvs. AB=4 och AD=4.
Sidan AC är alltså 4+x. Med hjälp av t.ex. cosinus kan vi nu bestämma x.
Längden x är alltså (4sqrt(3)-4) le. Om man vill kan man också bryta ut 4 och skriva det som 4(sqrt(3)-1) le..
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Stämmer det att sin(v)=cos(90^(∘)-v)? Motivera!
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Låt oss börja med att rita en rätvinklig triangel med kateterna a och b samt hypotenusan c. Triangeln har en rät vinkel och övriga två vinklar kallar vi v och u.
Definitionen av sinus för vinkeln v ger att sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa=a/c. För att undersöka om sin(v)=cos(90^(∘)-v) måste vi alltså komma fram till att cos(90^(∘)-v) också är lika med a/c. Med definitionen för cosinus får vi att cos(u) är lika med sin(v): cos(u)=Närliggande katet/Hypotenusa=a/c. Triangelns vinkelsumma är 180^(∘), vilket ger oss ett samband som vi kan lösa ut u ur.
Nu ser vi att u=90^(∘)-v vilket innebär att sin(v)=cos(90^(∘)-v). Alltså stämmer likheten.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Trigonometriska funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll