Trigonometriska funktioner: Hypotenusa och katet

Vinkel $v$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin (v)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos (v)$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan (v)$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$

Vinkel

v

3 0^{\circ}

4 5^{\circ}

6 0^{\circ}

sin (v)

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

cos (v)

\frac{3}{2}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

tan (v)

\frac{1}{3}

1

3

Piratskeppet Svarta Hummern, som har ett halvklotformat skrov, har kantrat och tagit in vatten som i figuren.

Hur brett är skeppet?

Båten har formen av ett halvklot och ser ut som en halvcirkel från sidan. Vi kan därför bestämma dess bredd genom att beräkna längden på den markerade diametern d. För att göra det drar vi en radie, r, från diameterns mittpunkt rakt ner till skrovet där vattnet är som djupast. Det bildas då en rätvinklig triangel som vi kan använda för att bestämma radiens längd.

Vi lyfter ut triangeln. Hypotenusan är halva diametern, dvs. r, och eftersom höjden från vattenytan till den djupaste delen av skrovet är 5 meter så måste den kortare kateten i den rätvinkliga triangeln vara r-5 m.

Nu kan vi använda trigonometri för att lösa ut r. Sinus av vinkeln 30^(∘) ska vara lika med den motstående kateten r-5 dividerat med hypotenusan r.

Radien är 10 meter vilket då innebär att diametern är 20 meter. Svarta Hummerns skrov är alltså 20 meter brett.

En halv liksidig triangel har omkretsen

20

cm. Bestäm längden på dess kortaste katet.

Eftersom en liksidig triangel har tre vinklar som är 60^(∘) kommer en halv liksidig triangel vara en rätvinklig triangel där övriga vinklar är 30^(∘) och 60^(∘). Vi kallar hypotenusan för c, den längre av kateterna för a och den kortare för b.

Vi börjar med att skriva om triangelns sidlängder så att vi bara har en variabel. T.ex. kan vi uttrycka kateterna i termer av c genom att använda definitionen för sinus respektive cosinus. Vi börjar med att skriva om a.

Nu skriver vi om b.

Vi ställer nu upp ett uttryck för triangelns omkrets och sätter det lika med 20. c+1/2* c+sqrt(3)/2* c=20. Genom att lösa ut c ur denna ekvation får vi reda på hypotenusans längd. Vi kan därefter dividera den med 2 för att få reda på den kortare katetens längd, eftersom den korta kateten alltid är hälften så lång som hypotenusan i en halv liksidig triangel.

Nu dividerar vi hypotenusan med 2 och förenklar.

Den kortare kateten är alltså 203+sqrt(3) cm.

Bestäm ett uttryck för $x$ utan att använda räknare. Svara exakt.

Två rätvinkliga trianglar med olika baser men samma höjd

För att bestämma x behöver vi höjden AB. Genom att använda definitionen av sinus i den stora triangeln ABC och genom att titta i tabellen med exakta trigonometriska värden kan vi beräkna AB.

Inuti den större triangeln syns en mindre rätvinklig triangel, ABD, där vinkel D är 45^(∘). Eftersom triangelns vinkelsumma är 180^(∘) måste den sista vinkeln i denna triangel vara 180^(∘)-90^(∘)-45^(∘)=45^(∘). Eftersom två av vinklarna är 45^(∘) så måste den mindre triangeln vara en likbent triangel med lika långa katetlängder, dvs. AB=4 och AD=4.

Sidan AC är alltså 4+x. Med hjälp av t.ex. cosinus kan vi nu bestämma x.

Längden x är alltså (4sqrt(3)-4) le. Om man vill kan man också bryta ut 4 och skriva det som 4(sqrt(3)-1) le..

Stämmer det att

sin (v) = cos (9 0^{\circ} - v) ?

Motivera!

Låt oss börja med att rita en rätvinklig triangel med kateterna a och b samt hypotenusan c. Triangeln har en rät vinkel och övriga två vinklar kallar vi v och u.

Definitionen av sinus för vinkeln v ger att sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa=a/c. För att undersöka om sin(v)=cos(90^(∘)-v) måste vi alltså komma fram till att cos(90^(∘)-v) också är lika med a/c. Med definitionen för cosinus får vi att cos(u) är lika med sin(v): cos(u)=Närliggande katet/Hypotenusa=a/c. Triangelns vinkelsumma är 180^(∘), vilket ger oss ett samband som vi kan lösa ut u ur.

Nu ser vi att u=90^(∘)-v vilket innebär att sin(v)=cos(90^(∘)-v). Alltså stämmer likheten.

Trigonometriska funktioner

Exempel

Bestäm trigonometriskt värde med triangeln

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Härledning

Vinkeln $3 0^{\circ}$

Härledning

Härledning

Härledning

Vinkeln $4 5^{\circ}$

Härledning

Härledning

Härledning

Vinkeln $6 0^{\circ}$

Härledning

Härledning

Härledning

Trigonometriska funktioner

Rekommenderade uppgifter

	3 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.