MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
3c
Kurs 3c Visa detaljer
2. Trigonometriska funktioner
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
Matematik 3c /
Kapitel 
2. 

Trigonometriska funktioner

Lektionen ger en omfattande översikt över trigonometriska funktioner, inklusive grundläggande begrepp som sinus, cosinus och tangens. Den förklarar hur man kan använda dessa funktioner för att lösa problem som involverar rätvinkliga trianglar, såsom att beräkna hypotenusan eller vinklarna. Sidan erbjuder också formler och metoder för att räkna ut olika delar av en triangel, som kateter och vinklar, med hjälp av trigonometri. Det finns också exempel och förklaringar som hjälper till att förstå dessa koncept. Den är användbar för studenter som vill förstå och tillämpa trigonometri i olika matematiska och verkliga sammanhang.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
3 sidor teori
15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Trigonometriska funktioner
Sida av 3
För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.
Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna. För att bestämma vinklar baserat på sidor använder man istället arcusfunktionerna.

Exempel

Bestäm trigonometriskt värde med triangeln

 fullscreen

Använd triangeln för att bestämma

Visa Lösning expand_more
Ingen av de två markerade vinklarna är men eftersom en triangelns vinkelsumma är måste toppvinkeln, som vi kallar vara det:
Cosinus för en vinkel är definierat som närliggande katet dividerat med hypotenusan, så vi måste ta reda på denna katet. Vi kallar den och beräknar längden med Pythagoras sats.
SubstituteII

och

CalcPow

Beräkna potens

SubEqn

SqrtEqn

Närliggande katet är alltså och toppvinkeln
Nu kan vi bestämma
Det exakta värdet för är alltså Genom att använda räknarens verktyg för cosinus får vi reda på att det är ungefär lika med
Regel

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande.
Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.
Vinkel

Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan som halverats (blå).

Härledning

 Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangeln

För att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln vardera.

Katetlängderna är som sagt lika långa så genom att kalla dem båda för kan man beräkna deras längd med Pythagoras sats.
SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

SimpPowTerm

Förenkla potens & termer

DivEqn

SqrtEqn

SqrtQuot

Nu kan vi komplettera triangeln med dess katetlängder.

Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar , och den halva triangeln får därför toppvinkeln Basen halveras och får längden

Höjden, kan beräknas med Pythagoras sats.

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

PowQuot

SubEqn

OneToFrac

Skriv som

SubFrac

Subtrahera bråk

SqrtEqn

SqrtQuot

Höjden i den blå triangeln är alltså

Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.

Regel

Vinkeln

För standardvinkeln används den halva liksidiga triangeln.
Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.

Härledning
Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:

Härledning
Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:

Härledning
Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:
Regel

Vinkeln

För att härleda de exakta trigonometriska värdena för används istället den likbenta triangeln.

Det spelar ingen roll vilken av -vinklarna man utgår ifrån.

Härledning
I en rätvinklig triangel definieras sinus som motstående katet dividerat med hypotenusan:

Härledning
Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:

Härledning
Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:
Regel

Vinkeln

För att ta fram de trigonometriska värdena för använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.

Härledningarna liknar de för -vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. och

Härledning
Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:

Härledning
Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:

Härledning
Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Trigonometriska funktioner
Övningar

Bestäm den okända vinkeln. Avrunda till hela grader.

Triangel med okänd vinkel och två kända sidor
Triangel med okänd vinkel och två kända sidor
Triangel med okänd vinkel och två kända sidor

Vi känner till hypotenusan och den närliggande kateten till x och använder därför definitionen för cosinus. För att bestämma vinkeln använder vi arccos-knappen på räknaren.


Vinkeln x är ca 34 ^(∘).


Nu känner vi till hypotenusan och den motstående sidan till den sökta vinkeln. Då måste vi använda definitionen för sinus för att bestämma y.



I den här triangeln känner vi till den motstående och närliggande kateten till w. För att lösa ut den okända vinkeln måste vi därför använda definitionen för tangens.


Bestäm Avrunda till en decimal.

Triangeln är rätvinklig så vi kan använda definitionen av sinus, cosinus eller tangens för att bestämma b. Sidan b är närliggande katet till den kända vinkeln och eftersom hypotenusan också är känd kan vi beräkna b med cosinus.


Katet b är ca 4.3 le.


Även denna triangel är rätvinklig och eftersom vi känner till en av kateterna och en vinkel kan vi använda tangens för att bestämma den andra kateten.


Katet b är alltså ca 4.1 le.

Bestäm husets höjd med hjälp av figuren. Svara i hela meter.

beräkna höjd på hus med trigonometri

Vi kan se att husets höjd, som vi kallar h, utgör den längre av kateterna i en rätvinklig triangel.


Eftersom vi känner till längden på den mindre kateten, samt vinkeln 65^(∘), kan vi beräkna höjden med tangens.

Huset är alltså ca 69 meter högt.

Använd triangeln för att bestämma Svara exakt.

En rätvinklig triangel med hypotenusan två och ena kateten 1.

Ingen 60^(∘)-vinkel är markerad, men med hjälp av triangelns vinkelsumma kan vi konstatera att den nedre högra vinkeln, som vi kallar v, måste vara det: 90^(∘)+30^(∘)+v=180^(∘) ⇔ v=60^(∘). För att bestämma tangensvärdet för vinkeln 60^(∘) måste vi bestämma längden på den okända kateten, eftersom definitionen av tangens involverar både den närliggande och motstående kateten. Vi kallar den okända kateten för a och bestämmer den med Pythagoras sats.

Den okända kateten är alltså sqrt(3).


Nu kan vi bestämma tan(60^(∘)). tan(60^(∘))=Motstående katet/Närliggande katet=sqrt(3)/1=sqrt(3)

Beräkna det exakta värdet av uttrycket.

Vi kan beräkna uttrycket genom att ersätta sin(30^(∘)) och cos(60^(∘)) med sina exakta trigonometriska värden ur tabellen och därefter förenkla.



Vi ersätter sin(45^(∘)) och tan(45^(∘)) med exakta trigonometriska värden och förenklar bråket så långt det går.



Samma sak här. Vi ersätter cos(30^(∘)) och tan(60^(∘)) med exakta trigonometriska värden och förenklar.


Beräkna arean av en liksidig triangel med sidan cm. Lös uppgiften utan räknare och svara exakt.

Eftersom triangeln är liksidig är alla sidor 16 cm och triangelns samtliga vinklar är lika stora, dvs. 180^(∘)3=60^(∘). Vi skissar triangeln och ritar in dess höjd h som är vinkelrät mot triangelns bas.


Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar med vinklar och sidor som i figuren.


För att beräkna höjden kan vi använda Pythagoras sats, men då måste vi utföra beräkningen 16^2 som kan vara jobbig att ta i huvudet. Därför väljer vi att bestämma höjden med exempelvis tangens. Vi kan då utnyttja tangensvärdet för standardvinkeln 60 ^(∘) vilket är sqrt(3).


Nu kan vi bestämma triangelns area genom att multiplicera höjden med basen, som vi vet är 16, och dela med 2: Area=8sqrt(3)* 16/2=64sqrt(3). Triangelns area är alltså 64sqrt(3) cm^2.

Trigonometriska funktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Laddar innehåll