1. Trigonometriska funktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
1.
Trigonometriska funktioner
Lektionen ger en omfattande översikt över trigonometriska funktioner, inklusive grundläggande begrepp som sinus, cosinus och tangens. Den förklarar hur man kan använda dessa funktioner för att lösa problem som involverar rätvinkliga trianglar, såsom att beräkna hypotenusan eller vinklarna. Sidan erbjuder också formler och metoder för att räkna ut olika delar av en triangel, som kateter och vinklar, med hjälp av trigonometri. Det finns också exempel och förklaringar som hjälper till att förstå dessa koncept. Den är användbar för studenter som vill förstå och tillämpa trigonometri i olika matematiska och verkliga sammanhang.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Trigonometriska funktioner
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Sinus
- Cosinus
- Tangens
- Arcsinus
- Arccosinus
- Arctangens
Förkunskaper
Regel
Trigonometriska funktioner
För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.
Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel v definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.
De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är 0,5 betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna. För att bestämma vinklar baserat på sidor använder man istället arcusfunktionerna.
sin(v)=HypotenusaMotsta˚ende katet
cos(v)=HypotenusaNa¨rliggande katet
tan(v)=Na¨rliggande katetMotsta˚ende katet
Exempel
Bestäm trigonometriskt värde med triangeln
Använd triangeln för att bestämma cos(30∘).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mop\">cos<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}"]}}
Ledtråd
Börja med att hitta den saknade vinkeln i den givna triangeln. Använd sedan Pythagoras sats för att hitta den saknade sidan.
Lösning
Ingen av de två markerade vinklarna är 30∘, men eftersom en triangelns vinkelsumma är 180∘ måste toppvinkeln, som vi kallar v, vara det:
Närliggande katet är alltså 3 och toppvinkeln 30∘. 
Nu kan vi bestämma cos(30∘).
90∘+60∘+v=180∘⇔v=30∘.
Cosinus för en vinkel är definierat som närliggande katet dividerat med hypotenusan, så vi måste ta reda på denna katet. Vi kallar den a och beräknar längden med Pythagoras sats.
a2+b2=c2
SubstituteII
b=1 och c=2
a2+12=22
CalcPow
Beräkna potens
a2+1=4
SubEqn
VL−1=HL−1
a2=3
SqrtEqn
VL=HL
a=±3
a>0
a=3
cos(30∘)=HypotenusaNa¨rliggande katet=23
Det exakta värdet för cos(30∘) är alltså 23. Genom att använda räknarens verktyg för cosinus får vi reda på att det är ungefär lika med 0,87.
Regel
Standardvinklar i rätvinkliga trianglar
Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande.
Katetlängderna är som sagt lika långa så genom att kalla dem båda för x kan man beräkna deras längd med Pythagoras sats.
Nu kan vi komplettera triangeln med dess katetlängder. 
Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.
cos(30∘)=0,86602…sin(45∘)=0,70710…tan(60∘)=1,73205…
Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade. | Vinkel v | 30∘ | 45∘ | 60∘ |
|---|---|---|---|
| sin(v) | 21 | 21 | 23 |
| cos(v) | 23 | 21 | 21 |
| tan(v) | 31 | 1 | 3 |
Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan 1 (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan 1, som halverats (blå).
Härledning
Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangelnFör att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är 1 le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln 45∘ vardera.
a2+b2=c2
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
x2+x2=12
SimpPowTerm
Förenkla potens & termer
2x2=1
DivEqn
VL/2=HL/2
x2=21
SqrtEqn
VL=HL
x=±21
x>0
x=21
SqrtQuot
ba=ba
x=21
Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan 1 på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar 60∘, och den halva triangeln får därför toppvinkeln 30∘. Basen halveras och får längden 21.
Höjden, h, kan beräknas med Pythagoras sats.
a2+b2=c2
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
h2+(21)2=12
PowQuot
(ba)c=bcac
h2+41=1
SubEqn
VL−41=HL−41
h2=1−41
OneToFrac
Skriv 1 som 44
h2=44−41
SubFrac
Subtrahera bråk
h2=43
SqrtEqn
VL=HL
h=±43
h>0
h=43
SqrtQuot
ba=ba
h=23
Höjden i den blå triangeln är alltså 23.
Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.
Regel
Vinkeln 30∘
För standardvinkeln 30∘ används den halva liksidiga triangeln.
Härledning
sin(30∘)=21Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:
sin(30∘)=HypotenusanMotsta˚ende=11/2=21.
Härledning
cos(30∘)=23Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:
cos(30∘)=HypotenusanNa¨rliggande=13/2=23.
Härledning
tan(30∘)=31Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:
tan(30∘)=Na¨rliggandeMotsta˚ende=3/21/2=31.
Regel
Vinkeln 45∘
För att härleda de exakta trigonometriska värdena för 45∘ används istället den likbenta triangeln.
Det spelar ingen roll vilken av 45∘-vinklarna man utgår ifrån.
Härledning
sin(45∘)=21I en rätvinklig triangel definieras sinus som motstående katet dividerat med hypotenusan:
sin(45∘)=HypotenusanMotsta˚ende=11/2=21.
Härledning
cos(45∘)=21Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:
cos(45∘)=HypotenusanNa¨rliggande=11/2=21.
Härledning
tan(45∘)=1Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:
tan(45∘)=Na¨rliggandeMotsta˚ende=1/21/2=1.
Regel
Vinkeln 60∘
För att ta fram de trigonometriska värdena för 60∘ använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.
Härledningarna liknar de för 30∘-vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. sin(30∘)=cos(60∘) och cos(30∘)=sin(60∘).
Härledning
sin(60∘)=23Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:
sin(60∘)=HypotenusanMotsta˚ende=13/2=23.
Härledning
cos(60∘)=21Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:
cos(60∘)=HypotenusanNa¨rliggande=11/2=21.
Härledning
tan(60∘)=3Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:
tan(60∘)=Na¨rliggandeMotsta˚ende=1/23/2=3.
Exempel
Hitta det exakta värdet av de trigonometriska funktionerna
Använd en lämplig triangel för att hitta det exakta värdet av sin30∘, cos30∘, och tan30∘. 
En katet i denna triangel mäter 21, och hypotenusan mäter 1. Hitta längden på den saknade kateten med hjälp av Pythagoras sats.
Den exakta längden på den saknade kateten är 23. 
Med vinkeln 30∘ som referens mäter den närliggande kateten 23, den motstående kateten 21, och hypotenusan 1. Detta är tillräcklig information för att hitta de efterfrågade värdena.
Hitta cos30∘ på ett liknande sätt.
Slutligen, hitta tan30∘.
Med denna kunskap kan värdena nu paras ihop.
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mop\">sin<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mop\">cos<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mop\">tan<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"}],[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:2.00744em;vertical-align:-0.686em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mopen nulldelimiter\"><\/span><span class=\"mfrac\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:1.32144em;\"><span style=\"top:-2.314em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">2<\/span><\/span><\/span><span style=\"top:-3.23em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"frac-line\" style=\"border-bottom-width:0.04em;\"><\/span><\/span><span style=\"top:-3.677em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.686em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mclose nulldelimiter\"><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:2.27022em;vertical-align:-0.686em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mopen nulldelimiter\"><\/span><span class=\"mfrac\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:1.5842200000000002em;\"><span style=\"top:-2.314em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">2<\/span><\/span><\/span><span style=\"top:-3.23em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"frac-line\" style=\"border-bottom-width:0.04em;\"><\/span><\/span><span style=\"top:-3.677em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord sqrt\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.90722em;\"><span class=\"svg-align\" style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\" style=\"padding-left:0.833em;\"><span class=\"mord\">3<\/span><\/span><\/span><span style=\"top:-2.86722em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"hide-tail\" style=\"min-width:0.853em;height:1.08em;\"><svg width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702\nc-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14\nc0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54\nc44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10\ns173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429\nc69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221\nl0 -0\nc5.3,-9.3,12,-14,20,-14\nH400000v40H845.2724\ns-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7\nc-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z\nM834 80h400000v40h-400000z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.13278em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.686em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mclose nulldelimiter\"><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:2.25144em;vertical-align:-0.93em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mopen nulldelimiter\"><\/span><span class=\"mfrac\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:1.32144em;\"><span style=\"top:-2.2027799999999997em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord sqrt\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.90722em;\"><span class=\"svg-align\" style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\" style=\"padding-left:0.833em;\"><span class=\"mord\">3<\/span><\/span><\/span><span style=\"top:-2.86722em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"hide-tail\" style=\"min-width:0.853em;height:1.08em;\"><svg width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702\nc-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14\nc0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54\nc44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10\ns173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429\nc69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221\nl0 -0\nc5.3,-9.3,12,-14,20,-14\nH400000v40H845.2724\ns-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7\nc-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z\nM834 80h400000v40h-400000z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.13278em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span style=\"top:-3.23em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"frac-line\" style=\"border-bottom-width:0.04em;\"><\/span><\/span><span style=\"top:-3.677em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.93em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mclose nulldelimiter\"><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2],[0,1,2]]}
Ledtråd
Överväg att använda hälften av en liksidig triangel.
Lösning
En liksidig triangel av vilken storlek som helst kan användas för att hitta de efterfrågade värdena. De inre vinklarna i triangeln mäter alla 60∘. För enkelhetens skull, välj en triangel vars sidor alla mäter 1 enhet.
Denna triangel kan delas i två med en bisektris, vilket resulterar i två likadana rätvinkliga trianglar. Här behöver vi bara fokusera på en sida.
sin(v)=HypotenusaMotsta˚ende katet
SubstituteValues
Sätt in värden
sin30∘=121
DivByOne
1a=a
sin30∘=21
cos(v)=HypotenusaNa¨rliggande katet
SubstituteValues
Sätt in värden
cos30∘=123
DivByOne
1a=a
cos30∘=23
tan(v)=Na¨rliggande katetMotsta˚ende katet
SubstituteValues
Sätt in värden
tan30∘=2321
DivFracByFracD
c/da/b=ba⋅cd
tan30∘=21⋅32
MultFrac
Multiplicera bråk
tan30∘=31
sin30∘cos30∘tan30∘=21=23=31
Regel
Arcusfunktioner
Om man känner till förhållandet mellan två sidor i en rätvinklig triangel, dvs. sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för en vinkel, kan man använda arcusfunktionerna för att beräkna denna vinkel. En vanlig arcusfunktion är arcussinus (arcsin), vilken kan ses som motsats till sinus.
På samma sätt är arcuscosinus (arccos) motsats till cosinus och arcustangens (arctan) motsats till tangens.
Villkor
VinklarDet finns oändligt många vinklar med samma sinus-, cosinus- eller tangensvärde. Man måste därför välja vilken som ska returneras då värdet sätts in i motsvarande arcusfunktion. För arccos, arcsin och arctan gäller följande intervall.
- arccos ger en vinkel v inom 0∘≤v≤180∘
- arcsin ger en vinkel v inom −90∘≤v≤90∘
- arctan ger en vinkel v inom −90∘<v<90∘
Man kan jämföra detta problem med när man drar kvadratroten ur ett tal, där man har valt att definiera 4 som 2 och inte −2.
Exempel
Hitta vinkeln med hjälp av arcusfunktioner
Betrakta följande rätvinkliga triangel.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">v<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["37.2"]}}
Ledtråd
Ta reda på vilken trigonometrisk funktion som relaterar de kända sidorna med vinkeln v som referens. Använd dess motsvarande arcusfunktion.
Lösning
Den givna rätvinkliga triangeln visar måtten på båda sina kateter.
tan(v)=Na¨rliggande katetMotsta˚ende katet
Ersätt de kända värdena och använd den inversa tangensfunktionen, tan−1.
tan(v)=Na¨rliggande katetMotsta˚ende katet
SubstituteValues
Sätt in värden
tanv=2519
ArcTanEqn
arctan(VL)=arctan(HL)
v=tan−1(2519)
UseCalc
Slå in på räknare
v=37,234833…∘
RoundDec
Avrunda till 1 decimal(er)
v≈37,2∘
Övning
Träna på att bestämma vinklar med hjälp av arcusfunktioner
I varje av de följande rätvinkliga trianglarna är två sidor givna. Använd ett passande arcusfunktioner för att bestämma m∠θ. Avrunda ditt svar till närmaste grad.
Bestäm den okända vinkeln. Avrunda till hela grader.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.48312em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["34"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.6775599999999999em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["38"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.48312em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.02691em;\">w<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["74"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi känner till hypotenusan och den närliggande kateten till x och använder därför definitionen för cosinus. För att bestämma vinkeln använder vi arccos-knappen på räknaren.
Vinkeln x är ca 34 ^(∘).
Nu känner vi till hypotenusan och den motstående sidan till den sökta vinkeln. Då måste vi använda definitionen för sinus för att bestämma y.
I den här triangeln känner vi till den motstående och närliggande kateten till w. För att lösa ut den okända vinkeln måste vi därför använda definitionen för tangens.
security
report
code
Bestäm b. Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">b<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["4.3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">b<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["4.1"]}}
security
report
code
security
report
code
Triangeln är rätvinklig så vi kan använda definitionen av sinus, cosinus eller tangens för att bestämma b. Sidan b är närliggande katet till den kända vinkeln och eftersom hypotenusan också är känd kan vi beräkna b med cosinus.
Katet b är ca 4,3 le.
Även denna triangel är rätvinklig och eftersom vi känner till en av kateterna och en vinkel kan vi använda tangens för att bestämma den andra kateten.
Katet b är alltså ca 4,1 le.
security
report
code
Bestäm husets höjd med hjälp av figuren. Svara i hela meter.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"meter","answer":{"text":["69"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan se att husets höjd, som vi kallar h, utgör den längre av kateterna i en rätvinklig triangel.
Eftersom vi känner till längden på den mindre kateten, samt vinkeln 65^(∘), kan vi beräkna höjden med tangens.
Huset är alltså ca 69 meter högt.
security
report
code
Använd triangeln för att bestämma tan(60∘). Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mop\">tan<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">6<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Ingen 60^(∘)-vinkel är markerad, men med hjälp av triangelns vinkelsumma kan vi konstatera att den nedre högra vinkeln, som vi kallar v, måste vara det: 90^(∘)+30^(∘)+v=180^(∘) ⇔ v=60^(∘). För att bestämma tangensvärdet för vinkeln 60^(∘) måste vi bestämma längden på den okända kateten, eftersom definitionen av tangens involverar både den närliggande och motstående kateten. Vi kallar den okända kateten för a och bestämmer den med Pythagoras sats.
Den okända kateten är alltså sqrt(3).
Nu kan vi bestämma tan(60^(∘)). tan(60^(∘))=Motstående katet/Närliggande katet=sqrt(3)/1=sqrt(3)
security
report
code
Beräkna det exakta värdet av uttrycket.
sin(30∘)⋅cos(60∘)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{4}"]}}
tan(45∘)2sin(45∘)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{2}"]}}
cos(30∘)+tan(60∘)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan beräkna uttrycket genom att ersätta sin(30^(∘)) och cos(60^(∘)) med sina exakta trigonometriska värden ur tabellen och därefter förenkla.
Vi ersätter sin(45^(∘)) och tan(45^(∘)) med exakta trigonometriska värden och förenklar bråket så långt det går.
Samma sak här. Vi ersätter cos(30^(∘)) och tan(60^(∘)) med exakta trigonometriska värden och förenklar.
security
report
code
Beräkna arean av en liksidig triangel med sidan 16 cm. Lös uppgiften utan räknare och svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["64\\sqrt{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom triangeln är liksidig är alla sidor 16 cm och triangelns samtliga vinklar är lika stora, dvs. 180^(∘)3=60^(∘). Vi skissar triangeln och ritar in dess höjd h som är vinkelrät mot triangelns bas.
Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar med vinklar och sidor som i figuren.
För att beräkna höjden kan vi använda Pythagoras sats, men då måste vi utföra beräkningen 16^2 som kan vara jobbig att ta i huvudet. Därför väljer vi att bestämma höjden med exempelvis tangens. Vi kan då utnyttja tangensvärdet för standardvinkeln 60 ^(∘) vilket är sqrt(3).
Nu kan vi bestämma triangelns area genom att multiplicera höjden med basen, som vi vet är 16, och dela med 2:
Area=8sqrt(3)* 16/2=64sqrt(3).
Triangelns area är alltså 64sqrt(3) cm^2.
security
report
code
Trigonometriska funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll