{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Trigonometri

Välj kurs
Matte 3c
Trigonometri
Trigonometriska funktioner

Trigonometriska funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel

Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel vv definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

sin⁡(v)=Motsta˚ende katetHypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}

cos⁡(v)=Na¨rliggande katetHypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}

tan⁡(v)=Motsta˚ende katetNa¨rliggande katet\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är 0.50.5 betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna. För att bestämma vinklar baserat på sidor använder man istället arcusfunktionerna.
Uppgift

Använd triangeln för att bestämma cos⁡(30∘).\cos(30^\circ).

Lösning
Ingen av de två markerade vinklarna är 30∘,30^\circ, men eftersom en triangelns vinkelsumma är 180∘180^\circ måste toppvinkeln, som vi kallar v,v, vara det: 90∘+60∘+v=180∘⇔v=30∘. 90^\circ+60^\circ+v=180^\circ \quad \Leftrightarrow \quad v=30^\circ. Cosinus för en vinkel är definierat som närliggande katet dividerat med hypotenusan, så vi måste ta reda på denna katet. Vi kallar den aa och beräknar längden med Pythagoras sats.
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
b=1b={\color{#0000FF}{1}}, c=2c={\color{#009600}{2}}
a2+12=22a^2+{\color{#0000FF}{1}}^2={\color{#009600}{2}}^2
Beräkna potens
a2+1=4a^2+1=4
VL−1=HL−1\text{VL}-1=\text{HL}-1
a2=3a^2=3
VL=HL\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}
a=±3a=\pm\sqrt{3}
a>0 a \gt 0
a=3a=\sqrt{3}
Närliggande katet är alltså 3\sqrt{3} och toppvinkeln 30∘.30^\circ.

Nu kan vi bestämma cos⁡(30∘).\cos(30^\circ). cos⁡(30∘)=Na¨rliggande katetHypotenusa=32 \cos(30^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} Det exakta värdet för cos⁡(30∘)\cos(30^\circ) är alltså 32.\frac{\sqrt{3}}{2}. Genom att använda räknarens verktyg för cosinus får vi reda på att det är ungefär lika med 0.87.0.87.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande. cos⁡(30∘)=0.86602…sin⁡(45∘)=0.70710…tan⁡(60∘)=1.73205…\begin{aligned} &\cos(30^\circ)=0.86602 \ldots\\[0.6em] &\sin(45^\circ)=0.70710 \ldots\\[0.6em] &\tan(60^\circ)=1.73205 \ldots \end{aligned} Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.

Vinkel vv 30∘30^\circ 45∘45^\circ 60∘60^\circ
sin⁡(v) \sin(v) 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡(v) \cos(v) 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2}
tan⁡(v) \tan(v) 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3}

Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan 11 (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan 1,1, som halverats (blå).

Härledning
Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangeln

För att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är 11 le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln 45∘45^\circ vardera.

Katetlängderna är som sagt lika långa så genom att kalla dem båda för xx kan man beräkna deras längd med Pythagoras sats.
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
Sätt in uttryck
x2+x2=12x^2+x^2=1^2
Förenkla potens & termer
2x2=12x^2=1
VL/2=HL/2\left.\text{VL}\middle/2\right.=\left.\text{HL}\middle/2\right.
x2=12x^2=\dfrac{1}{2}
VL=HL\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}
x=±12x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}
x>0 x \gt 0
x=12x=\sqrt{\dfrac{1}{2}}
ab=ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
x=12x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}
Nu kan vi komplettera triangeln med dess katetlängder.

Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan 11 på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar 60∘60^\circ, och den halva triangeln får därför toppvinkeln 30∘.30^\circ. Basen halveras och får längden 12.\frac{1}{2}.

Höjden, h,h, kan beräknas med Pythagoras sats.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
Sätt in uttryck
h2+(12)2=12h^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=1^2
(ab)c=acbc \left(\dfrac{a}{b}\right)^{c}=\dfrac{a^{c}}{b^{c}}
h2+14=1h^2+\dfrac{1}{4}=1
VL−14=HL−14\text{VL}-\dfrac{1}{4}=\text{HL}-\dfrac{1}{4}
h2=1−14h^2=1-\dfrac{1}{4}
Skriv 11 som 44\dfrac{4}{4}
h2=44−14h^2=\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}
Subtrahera bråk
h2=34h^2=\dfrac{3}{4}
VL=HL\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}
h=±34h=\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}}
h>0 h \gt 0
h=34h=\sqrt{\dfrac{3}{4}}
ab=ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
h=32h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Höjden i den blå triangeln är alltså 32.\frac{\sqrt{3}}{2}.

Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.

Regel

Vinkeln 30∘30^\circ

För standardvinkeln 30∘30^\circ används den halva liksidiga triangeln.

Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.

Härledning
sin⁡(30∘)=12\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan: sin⁡(30∘)=Motsta˚endeHypotenusan=1/21=12. \sin(30^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/2}{1}=\dfrac{1}{2}.

Härledning
cos⁡(30∘)=32\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: cos⁡(30∘)=Na¨rliggandeHypotenusan=3/21=32. \cos(30^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Härledning
tan⁡(30∘)=13\tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: tan⁡(30∘)=Motsta˚endeNa¨rliggande=1/23/2=13. \tan(30^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Närliggande}}=\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Regel

Vinkeln 45∘45^\circ

För att härleda de exakta trigonometriska värdena för 45∘45^\circ används istället den likbenta triangeln.

Det spelar ingen roll vilken av 45∘45^\circ-vinklarna man utgår ifrån.

Härledning
sin⁡(45∘)=12\sin(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

I en rätvinklig triangel definieras sinus som motstående katet dividerat med hypotenusan: sin⁡(45∘)=Motsta˚endeHypotenusan=1/21=12. \sin(45^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Härledning
cos⁡(45∘)=12\cos(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: cos⁡(45∘)=Na¨rliggandeHypotenusan=1/21=12. \cos(45^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Härledning
tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ)=1

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: tan⁡(45∘)=Motsta˚endeNa¨rliggande=1/21/2=1. \tan(45^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Närliggande}}=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}=1.

Regel

Vinkeln 60∘60^\circ

För att ta fram de trigonometriska värdena för 60∘60^\circ använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.

Härledningarna liknar de för 30∘30^\circ-vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. sin⁡(30∘)=cos⁡(60∘)\sin(30^\circ)=\cos(60^\circ) och cos⁡(30∘)=sin⁡(60∘).\cos(30^\circ)=\sin(60^\circ).

Härledning
sin⁡(60∘)=32\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan: sin⁡(60∘)=Motsta˚endeHypotenusan=3/21=32. \sin(60^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Härledning
cos⁡(60∘)=12\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: cos⁡(60∘)=Na¨rliggandeHypotenusan=1/21=12. \cos(60^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/2}{1}=\dfrac{1}{2}.

Härledning
tan⁡(60∘)=3\tan(60^\circ)=\sqrt{3}

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: tan⁡(60∘)=Motsta˚endeNa¨rliggande=3/21/2=3. \tan(60^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Närliggande}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}.

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}