Trigonometriska funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel

Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel vv definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}

cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}

tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är 0.50.5 betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna. För att bestämma vinklar baserat på sidor använder man istället arcusfunktionerna.
Uppgift

Använd triangeln för att bestämma cos(30).\cos(30^\circ).

Lösning
Ingen av de två markerade vinklarna är 30,30^\circ, men eftersom en triangelns vinkelsumma är 180180^\circ måste toppvinkeln, som vi kallar v,v, vara det: 90+60+v=180v=30. 90^\circ+60^\circ+v=180^\circ \quad \Leftrightarrow \quad v=30^\circ. Cosinus för en vinkel är definierat som närliggande katet dividerat med hypotenusan, så vi måste ta reda på denna katet. Vi kallar den aa och beräknar längden med Pythagoras sats.
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
a2+12=22a^2+{\color{#0000FF}{1}}^2={\color{#009600}{2}}^2
a2+1=4a^2+1=4
a2=3a^2=3
a=±3a=\pm\sqrt{3}
a>0 a \gt 0
a=3a=\sqrt{3}
Närliggande katet är alltså 3\sqrt{3} och toppvinkeln 30.30^\circ.

Nu kan vi bestämma cos(30).\cos(30^\circ). cos(30)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa=32 \cos(30^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} Det exakta värdet för cos(30)\cos(30^\circ) är alltså 32.\frac{\sqrt{3}}{2}. Genom att använda räknarens verktyg för cosinus får vi reda på att det är ungefär lika med 0.87.0.87.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande. cos(30)=0.86602sin(45)=0.70710tan(60)=1.73205\begin{aligned} &\cos(30^\circ)=0.86602 \ldots\\[0.6em] &\sin(45^\circ)=0.70710 \ldots\\[0.6em] &\tan(60^\circ)=1.73205 \ldots \end{aligned} Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.

Vinkel vv 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ
sin(v) \sin(v) 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
cos(v) \cos(v) 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2}
tan(v) \tan(v) 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3}

Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan 11 (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan 1,1, som halverats (blå).

Härledning

Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangeln

För att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är 11 le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln 4545^\circ vardera.

Katetlängderna är som sagt lika långa så genom att kalla dem båda för xx kan man beräkna deras längd med Pythagoras sats.
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
x2+x2=12x^2+x^2=1^2
2x2=12x^2=1
x2=12x^2=\dfrac{1}{2}
x=±12x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}
x>0 x \gt 0
x=12x=\sqrt{\dfrac{1}{2}}
x=12x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}
Nu kan vi komplettera triangeln med dess katetlängder.

Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan 11 på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar 6060^\circ, och den halva triangeln får därför toppvinkeln 30.30^\circ. Basen halveras och får längden 12.\frac{1}{2}.

Höjden, h,h, kan beräknas med Pythagoras sats.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
h2+(12)2=12h^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=1^2
h2+14=1h^2+\dfrac{1}{4}=1
h2=114h^2=1-\dfrac{1}{4}
h2=4414h^2=\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}
h2=34h^2=\dfrac{3}{4}
h=±34h=\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}}
h>0 h \gt 0
h=34h=\sqrt{\dfrac{3}{4}}
h=32h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Höjden i den blå triangeln är alltså 32.\frac{\sqrt{3}}{2}.

Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.

Regel

Vinkeln 3030^\circ

För standardvinkeln 3030^\circ används den halva liksidiga triangeln.

Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.

Härledning

sin(30)=12\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan: sin(30)=Motstendea˚Hypotenusan=1/21=12. \sin(30^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/2}{1}=\dfrac{1}{2}.

Härledning

cos(30)=32\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: cos(30)=Nrliggandea¨Hypotenusan=3/21=32. \cos(30^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Härledning

tan(30)=13\tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: tan(30)=Motstendea˚Nrliggandea¨=1/23/2=13. \tan(30^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Närliggande}}=\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Regel

Vinkeln 4545^\circ

För att härleda de exakta trigonometriska värdena för 4545^\circ används istället den likbenta triangeln.

Det spelar ingen roll vilken av 4545^\circ-vinklarna man utgår ifrån.

Härledning

sin(45)=12\sin(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

I en rätvinklig triangel definieras sinus som motstående katet dividerat med hypotenusan: sin(45)=Motstendea˚Hypotenusan=1/21=12. \sin(45^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Härledning

cos(45)=12\cos(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: cos(45)=Nrliggandea¨Hypotenusan=1/21=12. \cos(45^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Härledning

tan(45)=1\tan(45^\circ)=1

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: tan(45)=Motstendea˚Nrliggandea¨=1/21/2=1. \tan(45^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Närliggande}}=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}=1.

Regel

Vinkeln 6060^\circ

För att ta fram de trigonometriska värdena för 6060^\circ använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.

Härledningarna liknar de för 3030^\circ-vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. sin(30)=cos(60)\sin(30^\circ)=\cos(60^\circ) och cos(30)=sin(60).\cos(30^\circ)=\sin(60^\circ).

Härledning

sin(60)=32\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan: sin(60)=Motstendea˚Hypotenusan=3/21=32. \sin(60^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Härledning

cos(60)=12\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: cos(60)=Nrliggandea¨Hypotenusan=1/21=12. \cos(60^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/2}{1}=\dfrac{1}{2}.

Härledning

tan(60)=3\tan(60^\circ)=\sqrt{3}

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: tan(60)=Motstendea˚Nrliggandea¨=3/21/2=3. \tan(60^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Närliggande}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}.

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}