mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Trigonometri

Trigonometriska funktioner


För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel

Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna. För att bestämma vinklar baserat på sidor använder man istället arcusfunktionerna.
fullscreen
Uppgift

Använd triangeln för att bestämma

Visa Lösning
Lösning
Ingen av de två markerade vinklarna är men eftersom en triangelns vinkelsumma är måste toppvinkeln, som vi kallar vara det: Cosinus för en vinkel är definierat som närliggande katet dividerat med hypotenusan, så vi måste ta reda på denna katet. Vi kallar den och beräknar längden med Pythagoras sats.
Närliggande katet är alltså och toppvinkeln

Nu kan vi bestämma Det exakta värdet för är alltså Genom att använda räknarens verktyg för cosinus får vi reda på att det är ungefär lika med

Regel

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande. Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.

Vinkel

Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan som halverats (blå).

Härledning

Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangeln

För att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln vardera.

Katetlängderna är som sagt lika långa så genom att kalla dem båda för kan man beräkna deras längd med Pythagoras sats.
Nu kan vi komplettera triangeln med dess katetlängder.

Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar , och den halva triangeln får därför toppvinkeln Basen halveras och får längden

Höjden, kan beräknas med Pythagoras sats.

Höjden i den blå triangeln är alltså

Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.

Regel

Vinkeln

För standardvinkeln används den halva liksidiga triangeln.

Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.

Härledning

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:

Härledning

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:

Härledning

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:

Regel

Vinkeln

För att härleda de exakta trigonometriska värdena för används istället den likbenta triangeln.

Det spelar ingen roll vilken av -vinklarna man utgår ifrån.

Härledning

I en rätvinklig triangel definieras sinus som motstående katet dividerat med hypotenusan:

Härledning

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:

Härledning

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:

Regel

Vinkeln

För att ta fram de trigonometriska värdena för använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.

Härledningarna liknar de för -vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. och

Härledning

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:

Härledning

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:

Härledning

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward