För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.
Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel v definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.
sin(v)=HypotenusaMotsta˚ende katet
cos(v)=HypotenusaNa¨rliggande katet
tan(v)=Na¨rliggande katetMotsta˚ende katet
Använd triangeln för att bestämma cos(30∘).
Nu kan vi bestämma cos(30∘). cos(30∘)=HypotenusaNa¨rliggande katet=23 Det exakta värdet för cos(30∘) är alltså 23. Genom att använda räknarens verktyg för cosinus får vi reda på att det är ungefär lika med 0.87.
Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande. cos(30∘)=0.86602…sin(45∘)=0.70710…tan(60∘)=1.73205… Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.
Vinkel v | 30∘ | 45∘ | 60∘ |
---|---|---|---|
sin(v) | 21 | 21 | 23 |
cos(v) | 23 | 21 | 21 |
tan(v) | 31 | 1 | 3 |
Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan 1 (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan 1, som halverats (blå).
För att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är 1 le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln 45∘ vardera.
Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan 1 på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar 60∘, och den halva triangeln får därför toppvinkeln 30∘. Basen halveras och får längden 21.
Höjden, h, kan beräknas med Pythagoras sats.
Höjden i den blå triangeln är alltså 23.
Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.
För standardvinkeln 30∘ används den halva liksidiga triangeln.
Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan: sin(30∘)=HypotenusanMotsta˚ende=11/2=21.
Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: cos(30∘)=HypotenusanNa¨rliggande=13/2=23.
Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: tan(30∘)=Na¨rliggandeMotsta˚ende=3/21/2=31.
För att härleda de exakta trigonometriska värdena för 45∘ används istället den likbenta triangeln.
Det spelar ingen roll vilken av 45∘-vinklarna man utgår ifrån.
I en rätvinklig triangel definieras sinus som motstående katet dividerat med hypotenusan: sin(45∘)=HypotenusanMotsta˚ende=11/2=21.
Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: cos(45∘)=HypotenusanNa¨rliggande=11/2=21.
Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: tan(45∘)=Na¨rliggandeMotsta˚ende=1/21/2=1.
För att ta fram de trigonometriska värdena för 60∘ använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.
Härledningarna liknar de för 30∘-vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. sin(30∘)=cos(60∘) och cos(30∘)=sin(60∘).
Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan: sin(60∘)=HypotenusanMotsta˚ende=13/2=23.
Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: cos(60∘)=HypotenusanNa¨rliggande=11/2=21.
Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: tan(60∘)=Na¨rliggandeMotsta˚ende=1/23/2=3.