Trigonometriska funktioner

För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel

Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel $v$ definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

$\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}$

$\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}$

$\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}$

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är

0.5

betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna. För att bestämma vinklar baserat på sidor använder man istället arcusfunktionerna.

Bestäm trigonometriskt värde med triangeln

Uppgift

Använd triangeln för att bestämma $\cos(30^\circ).$

Lösning

Ingen av de två markerade vinklarna är $30^\circ,$ men eftersom en triangelns vinkelsumma är $180^\circ$ måste toppvinkeln, som vi kallar $v,$ vara det: $90^\circ+60^\circ+v=180^\circ \quad \Leftrightarrow \quad v=30^\circ.$ Cosinus för en vinkel är definierat som närliggande katet dividerat med hypotenusan, så vi måste ta reda på denna katet. Vi kallar den $a$ och beräknar längden med Pythagoras sats.

a^2+b^2=c^2

b={\color{#0000FF}{1}}

,

c={\color{#009600}{2}}

a^2+{\color{#0000FF}{1}}^2={\color{#009600}{2}}^2

Beräkna potens

a^2+1=4

\text{VL}-1=\text{HL}-1

a^2=3

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

a=\pm\sqrt{3}

a \gt 0

a=\sqrt{3}

Närliggande katet är alltså $\sqrt{3}$ och toppvinkeln $30^\circ.$

Nu kan vi bestämma $\cos(30^\circ).$ $\cos(30^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ Det exakta värdet för $\cos(30^\circ)$ är alltså $\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Genom att använda räknarens verktyg för cosinus får vi reda på att det är ungefär lika med $0.87.$

Visa lösning

Regel

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande. $\begin{aligned} &\cos(30^\circ)=0.86602 \ldots\\[0.6em] &\sin(45^\circ)=0.70710 \ldots\\[0.6em] &\tan(60^\circ)=1.73205 \ldots \end{aligned}$ Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.

Vinkel $v$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin(v)$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos(v)$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{2}$
$\tan(v)$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan $1$ (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan $1,$ som halverats (blå).

Härledning
Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangeln

För att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är $1$ le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln $45^\circ$ vardera.

Katetlängderna är som sagt lika långa så genom att kalla dem båda för $x$ kan man beräkna deras längd med Pythagoras sats.

a^2+b^2=c^2

Sätt in uttryck

x^2+x^2=1^2

Förenkla potens & termer

2x^2=1

\left.\text{VL}\middle/2\right.=\left.\text{HL}\middle/2\right.

x^2=\dfrac{1}{2}

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}

x \gt 0

x=\sqrt{\dfrac{1}{2}}

\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Nu kan vi komplettera triangeln med dess katetlängder.

Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan $1$ på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar $60^\circ$ , och den halva triangeln får därför toppvinkeln $30^\circ.$ Basen halveras och får längden $\frac{1}{2}.$

Höjden, $h,$ kan beräknas med Pythagoras sats.

a^2+b^2=c^2

Sätt in uttryck

h^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=1^2

\left(\dfrac{a}{b}\right)^{c}=\dfrac{a^{c}}{b^{c}}

h^2+\dfrac{1}{4}=1

\text{VL}-\dfrac{1}{4}=\text{HL}-\dfrac{1}{4}

h^2=1-\dfrac{1}{4}

Skriv

1

som

\dfrac{4}{4}

h^2=\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}

Subtrahera bråk

h^2=\dfrac{3}{4}

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

h=\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}}

h \gt 0

h=\sqrt{\dfrac{3}{4}}

\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Höjden i den blå triangeln är alltså $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.

Regel

Vinkeln $30^\circ$

För standardvinkeln $30^\circ$ används den halva liksidiga triangeln.

Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.

Härledning
$\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}$

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan: $\sin(30^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/2}{1}=\dfrac{1}{2}.$

Härledning
$\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: $\cos(30^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Härledning
$\tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: $\tan(30^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Närliggande}}=\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

Regel

Vinkeln $45^\circ$

För att härleda de exakta trigonometriska värdena för $45^\circ$ används istället den likbenta triangeln.

Det spelar ingen roll vilken av $45^\circ$ -vinklarna man utgår ifrån.

Härledning
$\sin(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

I en rätvinklig triangel definieras sinus som motstående katet dividerat med hypotenusan: $\sin(45^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$

Härledning
$\cos(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: $\cos(45^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$

Härledning
$\tan(45^\circ)=1$

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: $\tan(45^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Närliggande}}=\dfrac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}=1.$

Regel

Vinkeln $60^\circ$

För att ta fram de trigonometriska värdena för $60^\circ$ använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.

Härledningarna liknar de för $30^\circ$ -vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. $\sin(30^\circ)=\cos(60^\circ)$ och $\cos(30^\circ)=\sin(60^\circ).$

Härledning
$\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan: $\sin(60^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Härledning
$\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}$

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan: $\cos(60^\circ)=\dfrac{\text{Närliggande}}{\text{Hypotenusan}}=\dfrac{1/2}{1}=\dfrac{1}{2}.$

Härledning
$\tan(60^\circ)=\sqrt{3}$

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande: $\tan(60^\circ)=\dfrac{\text{Motstående}}{\text{Närliggande}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}.$

Trigonometriska funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Exempel

Bestäm trigonometriskt värde med triangeln

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Härledning

Vinkeln $30^\circ$

Härledning

Härledning

Härledning

Vinkeln $45^\circ$

Härledning

Härledning

Härledning

Vinkeln $60^\circ$

Härledning

Härledning

Härledning

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}