Trigonometriska funktioner: Hypotenusa och katet

Vinkel $v$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin (v)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos (v)$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan (v)$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$

Vinkel

v

3 0^{\circ}

4 5^{\circ}

6 0^{\circ}

sin (v)

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

cos (v)

\frac{3}{2}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

tan (v)

\frac{1}{3}

1

3

Vad är triangelns area? Avrunda svaret till heltal.

För att beräkna triangelns area behöver vi känna till dess bas och höjd. Vi drar höjden från hörn B ner mot triangelns bas AC, så att det bildas en rät vinkel mellan basen och höjden.

Höjden utgör motstående katet till vinkel 37^(∘) i den rätvinkliga triangeln BCD och eftersom vi känner till hypotenusan i denna triangel kan vi lösa ut h med definitionen för sinus.

Höjden är alltså 5sin(37^(∘)). För att minimera avrundningsfel så väljer vi att behålla höjden i exakt form. Nu kan vi bestämma triangelns area genom att multiplicera basen med höjden och dela med 2. A=5sin(37^(∘))* 6/2=9.02722...≈ 9. Triangelns area är alltså ca 9 a.e.

I en halv liksidig triangel är den längsta sidan

10

le. Bestäm den längre av de två övriga sidorna och svara exakt.

Låt oss börja med att rita en hel liksidig triangel. En liksidig triangel har tre lika långa sidor som vi kallar x och tre lika stora vinklar. Eftersom en triangels vinkelsumma är 180^(∘) måste varje vinkel vara 180^(∘)3=60^(∘).

Om vi delar triangeln på mitten får vi en halv liksidig triangel, som är rätvinklig. Om en vinkel är rät och en är 60^(∘) måste den sista vinkeln vara 180^(∘)-90^(∘)-60^(∘)=30^(∘). Eftersom den längsta sidan i en rätvinklig triangel alltid är hypotenusan kan vi konstatera att det är denna sida som är 10 le.

Höjden är uppenbarligen längre än basen för triangeln. Därför är vi endast intresserade av att bestämma sidan BD. Om vi utgår ifrån vinkeln 60^(∘) kan vi använda sinus för att beräkna BD.

Den längre av de två resterande sidorna är alltså 5sqrt(3) le.

Jean-Claude säger att

tan (3 0^{\circ}) = \frac{1}{3}

medan hans kompis Corinne menar att han har helt fel och att

tan (3 0^{\circ}) = \frac{3}{3} .

Vem har rätt? Motivera.

För att ta reda på värdet av tan(30^(∘)) kan vi göra en avläsning av tabellen för standardvinklar.

Vinkel v	30^(∘)	45^(∘)	60^(∘)
sin(v)	1/2	1/sqrt(2)	sqrt(3)/2
cos(v)	sqrt(3)/2	1/sqrt(2)	1/2
tan(v)	1/sqrt(3)	1	sqrt(3)

Vi ser då att tan(30^(∘)) är angivet som 1sqrt(3). Vid första anblick verkar det alltså som att Jean-Claude har rätt. Men vad händer om vi förlänger detta bråk med sqrt(3)?

Vi får då samma värde som Corinne angav. Och eftersom värdet av ett bråk inte förändras när man förlänger det betyder det att både Jean-Claude och Corinne har alltså rätt.

Beräkna det exakta värdet av uttrycket.

\frac{tan ( 3 0 ^{\circ} ) \cdot ( sin ( 6 0 ^{\circ} ) ) ^{3}}{( cos ( 3 0 ^{\circ} ) ) ^{2}}

(sin (3 0^{\circ}) \cdot sin (4 5^{\circ}))^{c o s (6 0^{\circ})}

Vi börjar med att ersätta de trigonometriska funktionerna med det exakta värdet för respektive standardvinkel. Det ger oss följande uttryck. .(1/sqrt(3)* (sqrt(3)/2)^3) /(sqrt(3)/2)^2. Vi förenklar uttrycket. Notera att vi inte måste beräkna potenserna, utan kan förkorta bråket med( sqrt(3)2)^2.

Vi börjar på samma sätt som i föregående deluppgift, dvs. ersätter de trigonometriska uttrycken med motsvarande exakta värden. Vi får då (sqrt(1/2)*1/sqrt(2))^(.1 /2.). Till sist förenklar vi uttrycket.

Punkten $M$ är cirkelns medelpunkt. Beräkna omkretsen $O$ om man vet att kordan $A B$ är $8$ cm. Svara exakt.

Cirkel med två punkter på randen och triangel dragen mellan dessa och mittpunkten

För att beräkna cirkelns omkrets måste vi veta dess diameter. Tittar vi på figuren inser vi att triangelns sidor som utgår från cirkelns mittpunkt även utgör cirkelns radie.

Genom att bestämma radien och multiplicera med 2 kan vi beräkna cirkelns diameter. Så hur kan vi då ta reda på radien? Om vi delar den likbenta triangeln i två rätvinkliga trianglar kan vi använda trigonometri för att bestämma radien som utgör de rätvinkliga trianglarnas hypotenusa. Vi vet dessutom att trianglarnas baser måste vara 4 cm eftersom kordan AB är 8 cm.

Vi ska alltså bestämma hypotenusan och eftersom vi känner till en vinkel samt dess närliggande katet kan vi använda cosinus.

Eftersom vi ska svara exakt låter vi bli att slå in sista steget på räknaren. Vi vet nu radiens längd och multiplicerar den med 2 för att bestämma cirkelns diameter: Diameter=2* 4/cos(63^(∘))=8/cos(63^(∘)). Till sist beräknar vi omkretsen genom att multiplicera diametern med π: O=8π/cos(63^(∘))cm.

Trigonometriska funktioner

Exempel

Bestäm trigonometriskt värde med triangeln

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Härledning

Vinkeln $3 0^{\circ}$

Härledning

Härledning

Härledning

Vinkeln $4 5^{\circ}$

Härledning

Härledning

Härledning

Vinkeln $6 0^{\circ}$

Härledning

Härledning

Härledning

Trigonometriska funktioner

Rekommenderade uppgifter

	3 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.