1. Trigonometriska funktioner
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
1.
Trigonometriska funktioner
Lektionen ger en omfattande översikt över trigonometriska funktioner, inklusive grundläggande begrepp som sinus, cosinus och tangens. Den förklarar hur man kan använda dessa funktioner för att lösa problem som involverar rätvinkliga trianglar, såsom att beräkna hypotenusan eller vinklarna. Sidan erbjuder också formler och metoder för att räkna ut olika delar av en triangel, som kateter och vinklar, med hjälp av trigonometri. Det finns också exempel och förklaringar som hjälper till att förstå dessa koncept. Den är användbar för studenter som vill förstå och tillämpa trigonometri i olika matematiska och verkliga sammanhang.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 8 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Trigonometriska funktioner
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Sinus
- Cosinus
- Tangens
- Arcsinus
- Arccosinus
- Arctangens
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Trigonometriska funktioner
För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.
sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa
cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa
tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm trigonometriskt värde med triangeln
Använd triangeln för att bestämma cos(30^(∘)).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"cos30^(∘)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}"]}}
Ledtråd
Börja med att hitta den saknade vinkeln i den givna triangeln. Använd sedan Pythagoras sats för att hitta den saknade sidan.
Lösning
Ingen av de två markerade vinklarna är 30^(∘), men eftersom en triangelns vinkelsumma är 180^(∘) måste toppvinkeln, som vi kallar v, vara det: 90^(∘)+60^(∘)+v=180^(∘) ⇔ v=30^(∘).
Cosinus för en vinkel är definierat som närliggande katet dividerat med hypotenusan, så vi måste ta reda på denna katet. Vi kallar den a och beräknar längden med Pythagoras sats.
a^2+b^2=c^2
SubstituteII
b= 1 och c= 2
a^2+ 1^2= 2^2
CalcPow
Beräkna potens
a^2+1=4
SubEqn
VL-1=HL-1
a^2=3
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
a=±sqrt(3)
a > 0
a=sqrt(3)
Närliggande katet är alltså sqrt(3) och toppvinkeln 30^(∘).
Nu kan vi bestämma cos(30^(∘)). cos(30^(∘))=Närliggande katet/Hypotenusa=sqrt(3)/2 Det exakta värdet för cos(30^(∘)) är alltså sqrt(3)2. Genom att använda räknarens verktyg för cosinus får vi reda på att det är ungefär lika med 0,87.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Standardvinklar i rätvinkliga trianglar
Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande. &cos(30^(∘))=0,86602 ... [0.6em] &sin(45^(∘))=0,70710 ... [0.6em] &tan(60^(∘))=1,73205 ... Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.
| Vinkel v | 30^(∘) | 45^(∘) | 60^(∘) |
|---|---|---|---|
| sin(v) | 1/2 | 1/sqrt(2) | sqrt(3)/2 |
| cos(v) | sqrt(3)/2 | 1/sqrt(2) | 1/2 |
| tan(v) | 1/sqrt(3) | 1 | sqrt(3) |
Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan 1 (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan 1, som halverats (blå).
Härledning
Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangelnFör att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är 1 le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln 45^(∘) vardera.
Katetlängderna är som sagt lika långa så genom att kalla dem båda för x kan man beräkna deras längd med Pythagoras sats.
a^2+b^2=c^2
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
x^2+x^2=1^2
SimpPowTerm
Förenkla potens & termer
2x^2=1
DivEqn
.VL /2.=.HL /2.
x^2=1/2
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x=±sqrt(1/2)
x > 0
x=sqrt(1/2)
SqrtQuot
sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)
x=1/sqrt(2)
Nu kan vi komplettera triangeln med dess katetlängder.
Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan 1 på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar 60^(∘), och den halva triangeln får därför toppvinkeln 30^(∘). Basen halveras och får längden 12.
Höjden, h, kan beräknas med Pythagoras sats.
a^2+b^2=c^2
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
h^2+(1/2)^2=1^2
PowQuot
(a/b)^c=a^c/b^c
h^2+1/4=1
SubEqn
VL-1/4=HL-1/4
h^2=1-1/4
OneToFrac
Skriv 1 som 4/4
h^2=4/4-1/4
SubFrac
Subtrahera bråk
h^2=3/4
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
h=± sqrt(3/4)
h > 0
h=sqrt(3/4)
SqrtQuot
sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)
h=sqrt(3)/2
Höjden i den blå triangeln är alltså sqrt(3)2.
Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.
Regel
Vinkeln 30^(∘)
För standardvinkeln 30^(∘) används den halva liksidiga triangeln.
Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.
Härledning
sin(30^(∘))=1/2Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:
sin(30^(∘))=Motstående/Hypotenusan=1/2/1=1/2.
Härledning
cos(30^(∘))=sqrt(3)/2Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:
cos(30^(∘))=Närliggande/Hypotenusan=sqrt(3)/2/1=sqrt(3)/2.
Härledning
tan(30^(∘))=1/sqrt(3)Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:
tan(30^(∘))=Motstående/Närliggande=1/2/sqrt(3)/2=1/sqrt(3).
Regel
Vinkeln 45^(∘)
För att härleda de exakta trigonometriska värdena för 45^(∘) används istället den likbenta triangeln.
Det spelar ingen roll vilken av 45^(∘)-vinklarna man utgår ifrån.
Härledning
sin(45^(∘))=1/sqrt(2)I en rätvinklig triangel definieras sinus som motstående katet dividerat med hypotenusan:
sin(45^(∘))=Motstående/Hypotenusan=1/sqrt(2)/1=1/sqrt(2).
Härledning
cos(45^(∘))=1/sqrt(2)Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:
cos(45^(∘))=Närliggande/Hypotenusan=1/sqrt(2)/1=1/sqrt(2).
Härledning
tan(45^(∘))=1Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:
tan(45^(∘))=Motstående/Närliggande=1/sqrt(2)/1/sqrt(2)=1.
Regel
Vinkeln 60^(∘)
För att ta fram de trigonometriska värdena för 60^(∘) använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.
Härledningarna liknar de för 30^(∘)-vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. sin(30^(∘))=cos(60^(∘)) och cos(30^(∘))=sin(60^(∘)).
Härledning
sin(60^(∘))=sqrt(3)/2Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:
sin(60^(∘))=Motstående/Hypotenusan=sqrt(3)/2/1=sqrt(3)/2.
Härledning
cos(60^(∘))=1/2Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:
cos(60^(∘))=Närliggande/Hypotenusan=1/2/1=1/2.
Härledning
tan(60^(∘))=sqrt(3)Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:
tan(60^(∘))=Motstående/Närliggande=sqrt(3)/2/1/2=sqrt(3).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hitta det exakta värdet av de trigonometriska funktionerna
Använd en lämplig triangel för att hitta det exakta värdet av sin30^(∘), cos30^(∘), och tan30^(∘).
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"sin30^(∘)"},{"id":1,"text":"cos30^(∘)"},{"id":2,"text":"tan30^(∘)"}],[{"id":0,"text":"1\/2"},{"id":1,"text":"sqrt(3)\/2"},{"id":2,"text":"1\/sqrt(3)"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2],[0,1,2]]}
Ledtråd
Överväg att använda hälften av en liksidig triangel.
Lösning
En liksidig triangel av vilken storlek som helst kan användas för att hitta de efterfrågade värdena. De inre vinklarna i triangeln mäter alla 60^(∘). För enkelhetens skull, välj en triangel vars sidor alla mäter 1 enhet.
Denna triangel kan delas i två med en bisektris, vilket resulterar i två likadana rätvinkliga trianglar. Här behöver vi bara fokusera på en sida.
En katet i denna triangel mäter 12, och hypotenusan mäter 1. Hitta längden på den saknade kateten med hjälp av Pythagoras sats.
Den exakta längden på den saknade kateten är sqrt(3)2.
Med vinkeln 30^(∘) som referens mäter den närliggande kateten sqrt(3)2, den motstående kateten 12, och hypotenusan 1. Detta är tillräcklig information för att hitta de efterfrågade värdena.
sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa
SubstituteValues
Sätt in värden
sin30^(∘) = 12/1
DivByOne
a/1=a
sin30^(∘) = 1/2
Hitta cos30^(∘) på ett liknande sätt.
cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa
SubstituteValues
Sätt in värden
cos30^(∘) = sqrt(3)2/1
DivByOne
a/1=a
cos30^(∘) = sqrt(3)/2
Slutligen, hitta tan30^(∘).
tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet
SubstituteValues
Sätt in värden
tan30^(∘) = 12/sqrt(3)2
DivFracByFracD
.a /b./.c /d.=a/b*d/c
tan30^(∘) = 1/2 * 2/sqrt(3)
MultFrac
Multiplicera bråk
tan30^(∘) = 1/sqrt(3)
Med denna kunskap kan värdena nu paras ihop. sin30^(∘) &= 1/2 [0.8em] cos30^(∘) &= sqrt(3)/2 [0.8em] tan30^(∘) &= 1/sqrt(3)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Arcusfunktioner
Om man känner till förhållandet mellan två sidor i en rätvinklig triangel, dvs. sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för en vinkel, kan man använda arcusfunktionerna för att beräkna denna vinkel. En vanlig arcusfunktion är arcussinus (arcsin), vilken kan ses som motsats till sinus.
På samma sätt är arcuscosinus (arccos) motsats till cosinus och arcustangens (arctan) motsats till tangens.
Man kan alltså gå fram och tillbaka mellan en vinkel och motsvarande tangens-, sinus- och cosinusvärde. Detta illustreras nedan med några cosinusvärden.
Villkor
VinklarDet finns oändligt många vinklar med samma sinus-, cosinus- eller tangensvärde. Man måste därför välja vilken som ska returneras då värdet sätts in i motsvarande arcusfunktion. För arccos, arcsin och arctan gäller följande intervall.
- arccos ger en vinkel v inom 0^(∘) ≤ v ≤ 180^(∘)
- arcsin ger en vinkel v inom - 90^(∘) ≤ v ≤ 90^(∘)
- arctan ger en vinkel v inom - 90^(∘) < v < 90^(∘)
Man kan jämföra detta problem med när man drar kvadratroten ur ett tal, där man har valt att definiera sqrt(4) som 2 och inte -2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hitta vinkeln med hjälp av arcusfunktioner
Betrakta följande rätvinkliga triangel.
Hitta vinkeln v. Avrunda svaret till 1 decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"v=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["37.2"]}}
Ledtråd
Ta reda på vilken trigonometrisk funktion som relaterar de kända sidorna med vinkeln v som referens. Använd dess motsvarande arcusfunktion.
Lösning
Den givna rätvinkliga triangeln visar måtten på båda sina kateter.
Med vinkeln v som referens mäter den motstående kateten 19 cm, och den närliggande kateten 25 cm. Tangensfunktionen relaterar dessa kateter. tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet Ersätt de kända värdena och använd den inversa tangensfunktionen, tan^(-1).
tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet
SubstituteValues
Sätt in värden
tanv = 19/25
ArcTanEqn
arctan(VL) = arctan(HL)
v = tan^(-1)( 19/25 )
UseCalc
Slå in på räknare
v = 37,234833...^(∘)
RoundDec
Avrunda till 11tiondelar 12hundradelar 13tusendelar 14tiotusendelar 15hundratusendelar 16miljontedelar 17hundramiljontedelar 18miljardtedelar
v ≈ 37,2^(∘)
Vinkeln v är ungefär 37,2^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Träna på att bestämma vinklar med hjälp av arcusfunktioner
I varje av de följande rätvinkliga trianglarna är två sidor givna. Använd ett passande arcusfunktioner för att bestämma m∠ θ. Avrunda ditt svar till närmaste grad.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Trigonometriska funktioner
Uppgift 2.1
Vad är triangelns area? Avrunda svaret till heltal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"a.e.","answer":{"text":["9"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna triangelns area behöver vi känna till dess bas och höjd. Vi drar höjden från hörn B ner mot triangelns bas AC, så att det bildas en rät vinkel mellan basen och höjden.
Höjden utgör motstående katet till vinkel 37^(∘) i den rätvinkliga triangeln BCD och eftersom vi känner till hypotenusan i denna triangel kan vi lösa ut h med definitionen för sinus.
Höjden är alltså 5sin(37^(∘)). För att minimera avrundningsfel så väljer vi att behålla höjden i exakt form. Nu kan vi bestämma triangelns area genom att multiplicera basen med höjden och dela med 2. A=5sin(37^(∘))* 6/2=9,02722...≈ 9. Triangelns area är alltså ca 9 a.e.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
I en halv liksidig triangel är den längsta sidan 10 le. Bestäm den längre av de två övriga sidorna och svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["5\\sqrt{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Låt oss börja med att rita en hel liksidig triangel. En liksidig triangel har tre lika långa sidor som vi kallar x och tre lika stora vinklar. Eftersom en triangels vinkelsumma är 180^(∘) måste varje vinkel vara 180^(∘)3=60^(∘).
Om vi delar triangeln på mitten får vi en halv liksidig triangel, som är rätvinklig. Om en vinkel är rät och en är 60^(∘) måste den sista vinkeln vara 180^(∘)-90^(∘)-60^(∘)=30^(∘). Eftersom den längsta sidan i en rätvinklig triangel alltid är hypotenusan kan vi konstatera att det är denna sida som är 10 le.
Höjden är uppenbarligen längre än basen för triangeln. Därför är vi endast intresserade av att bestämma sidan BD. Om vi utgår ifrån vinkeln 60^(∘) kan vi använda sinus för att beräkna BD.
Den längre av de två resterande sidorna är alltså 5sqrt(3) le.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Jean-Claude säger att tan(30^(∘))=1/sqrt(3) medan hans kompis Corinne menar att han har helt fel och att tan(30^(∘))=sqrt(3)/3. Vem har rätt? Motivera.
{"type":"choice","form":{"alts":["Jean-Claude","Corinne","B\u00e5da","Ingen"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
För att ta reda på värdet av tan(30^(∘)) kan vi göra en avläsning av tabellen för standardvinklar.
| Vinkel v | 30^(∘) | 45^(∘) | 60^(∘) |
|---|---|---|---|
| sin(v) | 1/2 | 1/sqrt(2) | sqrt(3)/2 |
| cos(v) | sqrt(3)/2 | 1/sqrt(2) | 1/2 |
| tan(v) | 1/sqrt(3) | 1 | sqrt(3) |
Vi ser då att tan(30^(∘)) är angivet som 1sqrt(3). Vid första anblick verkar det alltså som att Jean-Claude har rätt. Men vad händer om vi förlänger detta bråk med sqrt(3)?
Vi får då samma värde som Corinne angav. Och eftersom värdet av ett bråk inte förändras när man förlänger det betyder det att både Jean-Claude och Corinne har alltså rätt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{2}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att ersätta de trigonometriska funktionerna med det exakta värdet för respektive standardvinkel. Det ger oss följande uttryck. .(1/sqrt(3)* (sqrt(3)/2)^3) /(sqrt(3)/2)^2. Vi förenklar uttrycket. Notera att vi inte måste beräkna potenserna, utan kan förkorta bråket med(sqrt(3)/2)^2.
Vi börjar på samma sätt som i föregående deluppgift, dvs. ersätter de trigonometriska uttrycken med motsvarande exakta värden. Vi får då
(sqrt(1/2)*1/sqrt(2))^(.1 /2.).
Till sist förenklar vi uttrycket.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Punkten M är cirkelns medelpunkt. Beräkna omkretsen O om man vet att kordan AB är 8cm. Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"O=","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["\\dfrac{8\\pi}{\\cos(63)}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna cirkelns omkrets måste vi veta dess diameter. Tittar vi på figuren inser vi att triangelns sidor som utgår från cirkelns mittpunkt även utgör cirkelns radie.
Genom att bestämma radien och multiplicera med 2 kan vi beräkna cirkelns diameter. Så hur kan vi då ta reda på radien? Om vi delar den likbenta triangeln i två rätvinkliga trianglar kan vi använda trigonometri för att bestämma radien som utgör de rätvinkliga trianglarnas hypotenusa. Vi vet dessutom att trianglarnas baser måste vara 4cm eftersom kordan AB är 8cm.
Vi ska alltså bestämma hypotenusan och eftersom vi känner till en vinkel samt dess närliggande katet kan vi använda cosinus.
Eftersom vi ska svara exakt låter vi bli att slå in sista steget på räknaren. Vi vet nu radiens längd och multiplicerar den med 2 för att bestämma cirkelns diameter: Diameter=2* 4/cos 63^(∘)=8/cos 63^(∘). Till sist beräknar vi omkretsen genom att multiplicera diametern med π: O=8π/cos 63^(∘)cm.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Trigonometriska funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll