Metod

Omvandla till polär form

För att skriva om ett tal från rektangulär till polär form måste man bestämma dess polära koordinater, rr och v,v, dvs. absolutbeloppet och argumentet. Exempelvis kan man skriva om z=1+3i.z=1+\sqrt{3}i.

1

Bestäm absolutbeloppet
Absolutbeloppet, r,r, för ett komplext tal kan beräknas med formeln a+bi=a2+b2.|a+bi| = \sqrt{a^2 +b^2}. I det här fallet är a=1a=1 och b=3.b=\sqrt{3}.
r=1+3ir = \left|1+\sqrt{3}i\right|
r=12+(3)2r = \sqrt{1^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2}
r=1+3r = \sqrt{1 + 3}
r=4r = \sqrt{4}
r=2r = 2
Talets absolutbelopp är alltså r=2.r=2.

2

Bestäm argumentet
Talets argument vv betecknas arg(z)\arg(z) och kan beräknas med formeln arg(z)={b0: -arccos(aa+bi)b<0: -arccos(aa+bi). \arg(z) = \begin{cases} {\color{#8C8C8C}{b\geq 0\hspace{-3pt}:}}\ \phantom{\text{-}} \arccos\left(\frac{a}{|a+bi|}\right) \\[0.5em] {\color{#8C8C8C}{b<0\hspace{-3pt}:}}\ \text{-}\arccos\left(\frac{a}{|a+bi|}\right).\end{cases} Den kan härledas med hjälp av ett komplext tals vektorrepresentation och trigonometriska samband. I det här fallet är imaginärdelen b=3,b = \sqrt{3}, dvs. ett positivt tal. Enligt formeln får man då argumentet direkt från arccos-\arccos\text{-}värdet, utan något teckenbyte.
v=arg(1+3i)v = \arg(1+\sqrt{3}i)
v=arccos(11+3i)v = \arccos\left(\dfrac{1}{\left|1+\sqrt{3}i\right|}\right)
Absolutbeloppet i nämnaren har redan beräknats i förra steget och kan alltså användas här.
v=arccos(11+3i)v = \arccos\left(\dfrac{1}{\left|1+\sqrt{3}i\right|}\right)
v=arccos(12)v = \arccos\left(\dfrac{1}{{\color{#0000FF}{2}}}\right)
v=π3v = \dfrac{\pi}{3}
Talets argument vv är alltså π3\frac{\pi}{3} radianer eller 60.60^\circ.

3

Skriv talet på polär form

Till sist sätter man in rr och vv i den polära form man vill använda, t.ex. trigonometrisk form.

z=r(cos(v)+isin(v))z = r\left( \cos(v) + i\sin(v) \right)
z=2(cos(π3)+isin(π3))z = {\color{#0000FF}{2}}\left( \cos\left({\color{#009600}{\dfrac{\pi}{3}}}\right) + i\sin\left({\color{#009600}{\dfrac{\pi}{3}}}\right) \right)
Talet z=1+3iz = 1 + \sqrt{3}i på trigonometrisk polär form skrivs alltså z=2(cos(π3)+isin(π3)). z = 2\left( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right).

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}