Trigonometrisk polär form

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Polär form

För ett komplext talrektangulär form, z=a+bi,z = a+bi, kan man använda real- och imaginärdelen för att beskriva talets koordinater i det komplexa talplanet. Men hur kan talet skrivas om man istället känner till dess polära koordinater, rr och v?v?

Om man ritar en cirkel centrerad i origo och som går genom zz får den radien r.r. Denna cirkel kan jämföras med enhetscirkeln, där punkter på randen har x-x\text{-}koordinaten cos(v)\cos(v) och y-y\text{-}koordinaten sin(v).\sin(v). Nu är dock radien r,r, vilket innebär att koordinaterna för punkten kommer att vara rcos(v)r\cos(v) respektive rsin(v).r\sin(v).

Det komplexa talet som representeras av punkten har då realdelen a=rcos(v)a=r\cos(v) och imaginärdelen b=rsin(v),b=r\sin(v), vilket innebär att det kan skrivas som z=rcos(v)+rsin(v)i.z=r\cos(v) + r\sin(v)\cdot i. Bryter man ut rr får man talet på så kallad trigonometrisk form.

z=r(cos(v)+isin(v))z = r\left( \cos(v) + i\sin(v) \right)

När man skriver komplexa tal med polära koordinater säger man att de är på polär form. Trigonometrisk form är en sådan, men det finns även andra sätt att skriva komplexa tal på polär form.
Metod

Omvandla till polär form

För att skriva om ett tal från rektangulär till polär form måste man bestämma dess polära koordinater, rr och v,v, dvs. absolutbeloppet och argumentet. Exempelvis kan man skriva om z=1+3i.z=1+\sqrt{3}i.

1

Bestäm absolutbeloppet
Absolutbeloppet, r,r, för ett komplext tal kan beräknas med formeln a+bi=a2+b2.|a+bi| = \sqrt{a^2 +b^2}. I det här fallet är a=1a=1 och b=3.b=\sqrt{3}.
r=1+3ir = \left|1+\sqrt{3}i\right|
r=12+(3)2r = \sqrt{1^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2}
r=1+3r = \sqrt{1 + 3}
r=4r = \sqrt{4}
r=2r = 2
Talets absolutbelopp är alltså r=2.r=2.

2

Bestäm argumentet
Talets argument vv betecknas arg(z)\arg(z) och kan beräknas med formeln arg(z)={b0: -arccos(aa+bi)b<0: -arccos(aa+bi). \arg(z) = \begin{cases} {\color{#8C8C8C}{b\geq 0\hspace{-3pt}:}}\ \phantom{\text{-}} \arccos\left(\frac{a}{|a+bi|}\right) \\[0.5em] {\color{#8C8C8C}{b<0\hspace{-3pt}:}}\ \text{-}\arccos\left(\frac{a}{|a+bi|}\right).\end{cases} Den kan härledas med hjälp av ett komplext tals vektorrepresentation och trigonometriska samband. I det här fallet är imaginärdelen b=3,b = \sqrt{3}, dvs. ett positivt tal. Enligt formeln får man då argumentet direkt från arccos-\arccos\text{-}värdet, utan något teckenbyte.
v=arg(1+3i)v = \arg(1+\sqrt{3}i)
v=arccos(11+3i)v = \arccos\left(\dfrac{1}{\left|1+\sqrt{3}i\right|}\right)
Absolutbeloppet i nämnaren har redan beräknats i förra steget och kan alltså användas här.
v=arccos(11+3i)v = \arccos\left(\dfrac{1}{\left|1+\sqrt{3}i\right|}\right)
v=arccos(12)v = \arccos\left(\dfrac{1}{{\color{#0000FF}{2}}}\right)
v=π3v = \dfrac{\pi}{3}
Talets argument vv är alltså π3\frac{\pi}{3} radianer eller 60.60^\circ.

3

Skriv talet på polär form

Till sist sätter man in rr och vv i den polära form man vill använda, t.ex. trigonometrisk form.

z=r(cos(v)+isin(v))z = r\left( \cos(v) + i\sin(v) \right)
r=2r={\color{#0000FF}{2}}, v=π3v={\color{#009600}{\dfrac{\pi}{3}}}
z=2(cos(π3)+isin(π3))z = {\color{#0000FF}{2}}\left( \cos\left({\color{#009600}{\dfrac{\pi}{3}}}\right) + i\sin\left({\color{#009600}{\dfrac{\pi}{3}}}\right) \right)
Talet z=1+3iz = 1 + \sqrt{3}i på trigonometrisk polär form skrivs alltså z=2(cos(π3)+isin(π3)). z = 2\left( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right).
Regel

Räkneregler för komplexa tal på polär form

Att multiplicera och dividera komplexa tal på rektangulär form kan ibland vara krångligt och kräva många beräkningssteg. Då kan det vara enklare att göra uträkningen på polär form.

Regel

Multiplikation

För att bestämma resultatet när man multiplicerar två tal på polär form multiplicerar man absolutbeloppen och adderar argumenten.

z1z2=z1z2|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)

Man kan visa detta genom att multiplicera ihop två komplexa tal på trigonometrisk form och använda trigonometriska samband för att förenkla produkten. Nedan finns ett exempel där resultatet av multiplikationen z1z2z_1 z_2 visas tillsammans med de ursprungliga talen.

Om ett komplext tal på trigonometrisk form, z1=r1(cos(v1)+isin(v1)),z_1=r_1\left(\cos(v_1)+i\sin(v_1)\right), multipliceras med ett annat tal, z2=r2(cos(v2)+isin(v2)),z_2=r_2\left(\cos(v_2)+i\sin(v_2)\right), kan produkten därför skrivas på följande sätt.

z1z2=r1r2(cos(v1+v2)+isin(v1+v2))z_1 z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1 + v_2) + i\sin(v_1 + v_2) \right)

Regel

Division

När man dividerar två komplexa tal på polär form dividerar man absolutbeloppen och subtraherar argumenten.

z1z2=z1z2\left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}
arg(z1z2)=arg(z1)arg(z2)\arg\left( \dfrac{z_1}{z_2} \right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)

För att bevisa detta dividerar man två komplexa tal på trigonometrisk form. Med hjälp av trigonometriska ettan och andra trigonometriska samband kan man sedan förenkla uttrycket. Ett exempel visas nedan med resultatet av divisionen z1z2\frac{z_1}{z_2} samt de ursprungliga talen.

Om ett komplext tal på trigonometrisk form, z1=r1(cos(v1)+isin(v1)),z_1=r_1\left(\cos\left(v_1\right)+i\sin\left(v_1\right)\right), divideras med ett annat tal, z2=r2(cos(v2)+isin(v2)),z_2=r_2\left(\cos(v_2)+i\sin(v_2)\right), kan kvoten därför skrivas på följande sätt.

z1z2=r1r2(cos(v1v2)+isin(v1v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \left(\cos(v_1 - v_2) + i\sin(v_1 - v_2) \right)

Uppgift

Beräkna absolutbelopp och argument för z1z2z3,\dfrac{z_1 z_2}{z_3}, där de komplexa talen ges av z1=21(cos(47)+isin(47))z2=15(cos(219)+isin(219))z3=35(cos(125)+isin(125)).\begin{aligned} &z_1 = 21\left( \cos(47^\circ) + i\sin(47^\circ) \right)\\ &z_2 = 15\left( \cos(219^\circ) + i\sin(219^\circ) \right)\\ &z_3 = 35\left( \cos(125^\circ) + i\sin(125^\circ) \right). \end{aligned}

Lösning

Vi bestämmer absolutbelopp och argument, var för sig.

Exempel

Absolutbelopp

Absolutbeloppet av täljaren, z1z2,z_1z_2, får man genom multiplicera absolutbeloppen för z1z_1 och z2.z_2. z1z2=z1z2=2115=315 |z_1 z_2| = |z_1|\cdot |z_2| = 21 \cdot 15 = 315 När man dividerar komplexa tal delas även absolutbeloppen. Vi dividerar alltså z1z2|z_1 z_2| med z3.|z_3|. z1z2z3=z1z2z3=31535=9 \left| \dfrac{z_1z_2}{z_3} \right| = \dfrac{|z_1z_2|}{|z_3|} = \dfrac{315}{35} = 9 Det nya talets absolutbelopp är alltså 9.9.

Exempel

Argument

På samma sätt som tidigare börjar vi med täljaren. När två komplexa tal multipliceras lägger man ihop argumenten. arg(z1)+arg(z2)=47+219=266 \arg(z_1)+\arg(z_2)=47^\circ + 219^\circ = 266^\circ För komplexa tal som divideras subtraherar man nämnarens argument från täljarens. Vi subtraherar därför 125125^\circ från 266.266^\circ. arg(z1z2)arg(z3)=266125=141 \arg(z_1z_2)-\arg(z_3)=266^\circ - 125^\circ = 141^\circ Det nya argumentet är 141.141^\circ.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv talet zz i trigonometrisk polär form, givet att z=2.5|z|=2.5 och arg(z)=60.\arg(z)=60^\circ.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande tal på rektangulär form. Svara exakt på enklaste form.

a
2(cos(120)+isin(120))2(\cos(120^\circ) + i \sin(120^\circ))
b
2(cos(π6)+isin(π6))\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)
c
4(cos(-2π3)+isin(-2π3))4\left(\cos\left(\text{-} \dfrac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\text{-} \dfrac{2\pi}{3}\right)\right)
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Låt z1=3(cos(10)+isin(10))z_1=3(\cos(10^\circ)+i\sin(10^\circ)) och z2=4.5(cos(95)+isin(95))z_2=4.5(\cos(95^\circ)+i\sin(95^\circ)) och bestäm följande.

a

z2|z_2|

b

arg(z1)\arg(z_1)

c

z1z2z_1 z_2

d

z2z1\dfrac{z_2}{z_1}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd talen z=7(cos(π6)+isin(π6))w=2(cos(2π3)+isin(2π3))\begin{aligned} z&=7\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \\ w&=2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) \end{aligned} och skriv följande tal på polär form.

a

2zw2zw

b

wz\dfrac{w}{z}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande tal på trigonometrisk polär form. Ange argumenten i radianer.

a
33i3 - 3i
b
-1+3i\text{-} 1 + \sqrt{3}i
c
-3+3i2\text{-} \dfrac{3 + \sqrt{3}i}{2}
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bestäm arg(z)\arg(z) och arg(zˉ)\arg(\bar{z}) om z=3+i.z=3+i.

b

Bestäm arg(z)\arg(z) och arg(zˉ)\arg(\bar{z}) om z=4+2i.z=4+2i.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka är talen zz och ww om zw=8(cos(74)+isin(74))zw= 8(\cos(74^\circ)+i\sin(74^\circ)) och zw=2(cos(30)+isin(30))?\frac{z}{w}=2(\cos(30^\circ)+i\sin(30^\circ))?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I hela grader, ange den minsta vinkeln mellan vektorerna som pekar på de komplexa talen zz och ww

a
z=2+iz = 2 + i och w=-1+iw = \text{-} 1 + i
b
z=3+63iz = \sqrt{3} + \dfrac{6}{\sqrt{3}}i och w=-36i.w = \text{-} 3 - 6i.
c
z=2iz = 2i och w=-3iw = \text{-} 3 - i
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att komplexkonjugatet för ett tal har samma argument som talet men med ombytt tecken.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Markera området i det komplexa talplanet med alla komplexa tal zz som uppfyller

a

45arg(z)13545^\circ\leq\arg(z)\leq135^\circ

b

-π4<arg(z)<4π3\text{-}\dfrac{\pi}{4}<\arg(z)<\dfrac{4\pi}{3}

c

0z2.50\leq|z|\leq2.5

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Låt z=a(cos(v)+isin(v))z=a(\cos(v)+i\sin(v)) och w=b(cos(u)+isin(u))w=b(\cos(u)+i\sin(u)) och visa att

a

zw=ab(cos(v+u)+isin(v+u))zw=ab(\cos(v+u)+i\sin(v+u))

b

zw=ab(cos(vu)+isin(vu))\dfrac{z}{w}=\dfrac{a}{b}(\cos(v-u)+i\sin(v-u))

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För en samling komplexa tal med absolutbeloppet aa och argumentet xx (i radianer) gäller det att a(cos(x)+isin(x))=x+ix.a(\cos(x)+i\sin(x))=x+ix. Bestäm alla möjliga värden på a.a. Tips: Undersök likheten för positiva och negativa värden på xx separat.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}