Dashboard

Årskurs 9 Visa detaljer

2. Skala Åk 9

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 9 /

Kapitel 4

Skala Åk 9

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	12 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Skala Åk 9

Sida av 12

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Längskala
Areaskala
Volymskala

Förkunskaper

Teori

Längdskala

En längdskala visar förhållandet mellan avståndet på bilden och samma avstånd i verkligheten. Ofta säger man bara skala i stället för längdskala.

I kartor används längdskalor ofta. Till exempel kan en karta vara ritad i skalan 1 : 50 000. Det betyder att 1cm på kartan motsvarar 50 000cm (500m) i verkligheten.

Formeln för längdskalan

Längdskalan = Sträckan på bilden/Sträckan i verkligheten

Längdskalor används ofta på kartor, men också när man förstorar eller förminskar bilder och föremål.

Förminskning och förstoring

Om kvoten blir mindre än 1 betyder det att bilden är en förminskning. Ett exempel är skalan 0,5:1, vilket betyder att bilden är hälften så stor som verkligheten.

Om kvoten blir större än 1 betyder det att bilden är en förstoring. Då kan man till exempel ha skalan 8 : 1, vilket innebär att bilden är åtta gånger större än verkligheten.

Utforska längdskalan

Dra i reglaget för att ändra skalan.

Exempel

Längdskala och den stora sfinxen

En modell av den stora sfinxen i Giza är byggd i skala 1:10. Basen på modellen, från framtassarna till bakbenen, mäter 7,3 meter.

Beräkna den faktiska längden på den stora sfinxens bas i verkligheten.

Längdskalan är 1:10.

Sträckan på modellen är 7,3m.

Börja med att samla informationen du behöver för att räkna ut den verkliga längden.

1/10=7,3m/Sträckan i verkligheten

Du använder skalans bråkform: modellen över verkligheten. Sedan placerar du in modellens längd i formeln.

1 * (Sträckan i verkligheten) =

=7,3 * 10 m

När du korsmultiplicerar får du en ekvation där du lätt kan lösa ut längden.

Sträckan i verkligheten = 73 m

Svar: Den stora sfinxens bas är 73m lång i verkligheten.

Teori

Areaskala

När en figur förstoras eller förminskas, förändras dess area. Om en rektangel med sidorna 1cm och 3cm förstoras i längdskalan 3 : 1, får den nya rektangeln sidorna 3cm och 9cm.

Förhållandet mellan figurernas areor kallas för areaskala.

Areaskalan = Arean på bilden/Arean i verkligheten

I förstoringen ovan får vi:

Förstoringens area är 9 * 3 cm^2 = 27 cm^2.
Den ursprungliga rektangelns area är 3 * 1 cm^2 = 3 cm^2.
Areaskalan blir därför 27/3=9/1 eller 9:1.

Om längdskalan är känd kan areaskalan beräknas direkt.

Från längdskala till areaskala

Areaskalan är lika med längdskalan i kvadrat.

Areaskalan = (Längdskalan)^2

I det här fallet är längdskalan 3:1, så areaskalan blir 3^2:1^2 = 9:1.

Exempel

Beräkna arean med hjälp av skala

Ett ark A4-ark är en nedskalad version av ett ark A2-ark. Bredden på ett A4-ark är21cm, medan bredden på ett A2-ark är 42cm.

Arean av ett A4-ark är ungefär 624cm^2. Beräkna arean av ett ark A2-ark.

21:42 =1:2

Först bestämmer du längdskalan genom att jämföra bredden på A4 och A2.

(1 : 2)^2 = 1^2 : 2^2 =

=1 : 4

Sedan beräknar du areaskalan. När du skalar area måste du kvadrera längdskalan.

A_2= 4 * 624 cm^2 =

=2 496cm^2

Därefter beräknar du arean i verkligheten genom att multiplicera A4-arean med areaskalan.

Svar: Arean av ett A2-ark är 2 496cm^2

Exempel

Höjd i en skalenlig modell

En trappa har en area på 4 000 m^2 och en höjd på 8m. En skalenlig modell av trappan har en area på 1 000cm^2.

Bestäm höjden på modellen i centimeter.

Trappan har en area på 4 000 m^2.

Trappan har en höjd på 8m.

Modellen har en area på 1 000cm^2.

Börja med att skriva ner det du vet om verkligheten och modellen.

1 000cm^2 =

=1 000/10 000m^2 =

=1/10m^2

Skriv om modellens area i m^2.

areaskala = 1/10/4 000 =

=1/40 000

Bestäm areaskalan.

(a/b)^2 =1/40 000

a/b=1/200

Använd sambandet areaskala = (längdskala)^2.

Alltså är längdskalan 1 : 200.

x/8 = 1/200

x=8/200m

x =1/25m

Använd proportionen för modellens höjd x.

1/25m =

=1/25* 100 cm =

=4 cm

Skriv om höjden i centimeter.

Svar: Den mindre modellen är 4cm hög.

Övning

Öva på att hitta längdskalfaktorn med hjälp av areor

Bestäm längdskalfaktorn från figuren till höger till figuren till vänster med hjälp av de givna areorna. Avrunda ditt svar till två decimaler.

Applet som visar två figurer: 'faktisk figur' (vänster) och 'modell' (höger), var och en märkt med sin area. Appleten frågar efter längdskalefaktorn mellan dem.

Teori

Volymskala

En kub med sidan 2cm har volymen 8cm^3. Om längdskalan väljs till 4:1, blir varje sida i den avbildade kuben 8cm lång. Det ger volymen 512cm^3.

Förhållandet mellan figurernas volym kallas för volymskalan.

Volymskalan=Volymen på bilden/Volymen i verkligheten

Genom att jämföra volymerna får vi volymskalan 512/8 = 64/1 eller 64:1.

Om längdskalan är känd kan volymskalan beräknas direkt.

Från längdskala till volymskala

Volymskalan fås alltid genom att ta längdskalan upphöjd till tre.

Volymskalan = (Längdskalan)^3

I det här fallet är längdskalan 4:1, så volymskalan blir 4^3:1^3 = 64:1.

Regeln gäller för alla tredimensionella figurer, inte bara kuber.

Exempel

Resväskors volym

Två resväskor har samma form men olika storlek. Den gröna resväskan är 67,5cm hög och har en volym på 90 liter. Den orangea resväskan är 45cm hög.

Beräkna volymen för den mindre orangea resväskan. Avrunda svaret till en decimal.

Höjden på den stora resväskan är 67,5cm.

Höjden på den lilla resväskan är 45cm.

Volymen på den stora resväskan är 90 liter.

Börja med att skriva ner det du vet.

45/67,5=2/3

Längdskalan får man genom att jämföra höjderna.

(2/3)^3 = 8/27

Volymskalan får man genom att upphöja längdskalan i kubik.

V=8/27*90liter =

Volymen av den lilla väskan beräknas genom att multiplicera volymskalan med den stora väskans volym.

=720/27liter=

=26,666... liter ≈

≈ 26,7 liter

Svar: Den mindre orangea resväskan har en volym på ungefär 26,7 liter.

Exempel

Volymskala för pyramider

Två pyramider är likformiga. Längdskalan mellan pyramiderna är 1:2. Den mindre pyramiden har volymen 20cm^3.

Beräkna volymen av den större pyramiden.

Längdskalan är 1:2.

Den mindre pyramidens volym är V_1 = 20cm^3.

Börja med att skriva ner det du vet.

(1 : 2)^3 = 1^3 : 2^3 =

=1 : 8

Ta längdskalan i kubik för att få volymskalan.

V_1/V_2=1/8

Volymskalan visar förhållandet mellan volymerna.

V_2 = 8 * 20cm^3 =

=160cm^3

Sätt in V_1 = 20 och beräkna V_2.

Svar: Volymen av den större pyramiden är 160cm^3.

Övning

Öva på att hitta längdskalfaktorn med hjälp av volymer

Bestäm längdskalfaktorn från figuren till höger till figuren till vänster med hjälp av de givna volymerna. Avrunda ditt svar till två decimaler.

Two similar solids varying between prisms, cylinders, pyramids, cones and spheres.

Exempel

Skala för solsystemet

Solens volym är 1,41 * 10^(18) kubikkilometer. Jordens volym är 1,08 * 10^(12) kubikkilometer.

Jordens radie är 6 300 kilometer. Beräkna Solens radie.

V_(Solen) = 1,41 * 10^(18)

V_(Jorden) = 1,08 * 10^(12)

r = 6 300km (Jordens radie)

Börja med att skriva ner det som är känt.

\left(\dfrac{r}{R}\right)^3 = \dfrac{V_{\text{Jorden}}}{V_\text{Solen}}

Använd volymskala för att bestämma längdskalan.

(r/R)^3 =1,08 * 10^(12)/1,41 * 10^(18) =

Sätt in värdena.

= (1,08/1,41) * 10^(- 6)

r/R =sqrt(1,08/1,41) * sqrt(10^(- 6)) ≈

Ta kubikroten för att hitta längdskalan.

≈ 0,915 * 10^(- 2) = 9,15 * 10^(- 3)

R ≈ 6 300/9,15 * 10^(- 3) km≈

Beräkna Solens radie.

≈ 6,92 * 10^5km

Svar: Solens radie är ungefär 6,92 * 10^5km, alltså cirka 692 000km.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Skala Åk 9

Uppgifter

En modell är byggd i längdskalan 1 : 5. Vilken verklig längd motsvarar 8cm på modellen?

<row> <cell left="true" role="sol"> Längdskalan är 1 : 5.
Längden på modellen är 8 cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1/5=8cm/Längden i verkligheten </cell> <cell right="true" role="exp"> Du använder skalans bråkform: modellen över verkligheten. Sedan placerar du in modellens längd i formeln. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1 * (Längden i verkligheten) = 8 * 5 cm </cell> <cell right="true" role="exp"> När du korsmultiplicerar får du en ekvation där du lätt kan lösa ut längden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Längden i verkligheten = 40 cm </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den verkliga längden är 40cm. </cell> </row>

Den lilla kvadraten har arean 9cm^2.

Bestäm den stora kvadratens area om areaskalan är 1:16.

<row> <cell left="true" role="sol"> Den lilla kvadraten har arean 9cm^2.
Areaskalan är 1:16. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Areaskalan 1:16 betyder att den stora kvadratens area är 16 gånger så stor som den lilla kvadratens area. </cell> <cell right="true" role="exp"> Areaskalan visar hur många gånger större den ena arean är jämfört med den andra. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 9cm^2 * 16 = 144cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera den lilla kvadratens area med 16. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den stora kvadratens area är 144cm^2. </cell> </row>

En liten modell av en kub är byggd i skalan 1:2. Den riktiga kubens volym är 64dm^3. Bestäm modellens volym. Förklara ditt resonemang.

<row> <cell left="true" role="sol"> Längdskalan är 1:2.
Den riktiga kubens volym är 64dm^3. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Volymskalan är 1^3:2^3 = 1:8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymskalan är längdskalans kub. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 64/8dm^3 = 8dm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dela den riktiga kubens volym med 8 för att få modellens volym. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Modellens volym är 8dm^3 eftersom volymskalan 1:8 betyder att modellen är 8 gånger mindre i volym. </cell> </row>

Ett tåg är 150m långt i verkligheten.

Hur långt blir tåget på ritningen vid skalan 1 : 400? Ge svaret i centimeter.

<row> <cell left="true" role="sol"> Tåget är 150m långt i verkligheten.
Skalan är 1 : 400. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 150m = 15 000cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Omvandla längden till centimeter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1/400 = tåget i ritningen/15 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du använder skalans bråkform: modellen över verkligheten. Sedan placerar du in modellens längd i formeln. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1* 15 000=400* (tåget i ritningen) </cell> <cell right="true" role="exp"> När du korsmultiplicerar får du en ekvation där du lätt kan lösa ut längden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> tåget i ritningen=15 000/400cm =
=37,5cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Dela båda sidorna av ekvationen med 400. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Tåget blir 37,5cm långt på ritningen. </cell> </row>

Elias tog ett foto av sin nya segelbåt, ramade in det och hängde det på väggen. Han tycker att bilden är för liten och vill skriva ut en ny som är tre gånger längre och bredare.

Inramad-båt.svg

Hur många gånger större blir ytan av den nya bilden jämfört med originalet?

<row> <cell left="true" role="sol"> Den nya bilden ska vara 3 gånger längre och 3 gånger bredare än originalet. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Längdskalan är 3:1. </cell> <cell right="true" role="exp"> Längdskalan är 1 : 3, vilket innebär att varje centimeter i originalet motsvarar 3 centimeter i den nya bilden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Areaskalan = (Längdskalan)^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Areaskalan bestäms genom att kvadrera längdskalan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Areaskalan = (3:1)^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in längdskalan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Areaskalan = (3/1)^2 = 3^2 = 9 </cell> <cell right="true" role="exp">

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den nya bildens yta är 9 gånger större än originalets. </cell> </row>

Du har tre skalor: 1:3, 1:9 och 1:27. Vilken av skalorna är volymskalanl? Förklara ditt val.

<row> <cell left="true" role="sol"> De tre skalorna är 1:3, 1:9 och 1:27. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 9 = 3^2 och 27 = 3^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Undersök sambandet mellan talen 3, 9 och 27. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Längdskalan: 1:3
Areaskalan: 1^2:3^2 = 1:9
Volymskalan: 1^3:3^3 = 1:27 </cell> <cell right="true" role="exp"> Areaskalan är längdskalans kvadrat och volymskalan är längdskalans kub. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymskalan är 1:27, eftersom volymen skalar med kuben av längdskalan, det vill säga (1:3)^3 = 1:27. </cell> </row>

Kan en längdskala vara 5 : 3? Förklara ditt resonemang.

<row> <cell left="true" role="sol"> Skalan 5 : 3 betyder att 5 enheter på modellen motsvarar 3 enheter i verkligheten. </cell> <cell right="true" role="exp"> Tolka vad skalan 5 : 3 innebär. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Modellen är större än det verkliga objektet eftersom 5 > 3. </cell> <cell right="true" role="exp"> Jämför modellens storlek med verkligheten. Är det en förminskning eller en förstoring? </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ja, en längdskala kan vara 5 : 3. Det representerar en förstoring. </cell> </row>

Ett torn är 12cm på en modell och 18m i verkligheten. Bestäm längdskalan. Skriv svaret som ett förenklat bråk.

<row> <cell left="true" role="sol"> Tornet är 12cm på modellen och 18m i verkligheten. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 18 m = 1 800 cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Omvandla längden till centimeter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 12 : 1 800 </cell> <cell right="true" role="exp"> Bestäm skalan genom att skriva förhållandet mellan modellens längd och den verkliga längden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 12/12 : 1 800/12 = 1 : 150 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förkorta förhållandet så att första talet blir 1. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Längdskalan är 1 : 150 eller 1/150. </cell> </row>

Skala Åk 9

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan