Samband mellan graf och funktionsuttryck

Uppgiften handlar om den typ av funktioner som kallas exponentialfunktioner, som skrivs på formen y=C * a^x. Exponentialfunktioner beskriver procentuella förändringar utifrån ett startvärde C. Konstanten C anger rent grafiskt skärningspunkten med y-axeln, och a är förändringsfaktorn. Vi börjar med de två funktioner som skär y-axeln där y=3.

Startvärdet C = 3

Funktionerna B och C har startvärdet 3. Vi ska alltså para ihop g(x) och k(x) med två av funktionsuttrycken &B y=3 * 1,1^x &C y=3 * 0,95^x. Det som skiljer funktionsuttrycken åt är a. B har a=1,1, tolkar vi denna förändringsfaktor inser vi att det är en ökning med 10 %. C:s förändringsfaktor däremot är 0,95 vilket motsvarar en minskning med 5 %. I och med att g(x) växer, medan k(x) avtar, kan vi då para ihop graf och funktionsuttryck på följande vis. &g(x) - B y=3 * 1,1^x &k(x) - C y=3 * 0,95^x.

Startvärdet C = 6

Funktionerna f(x) och h(x) skär y-axeln där y=6, så de måste vara &A y=6 * 1,01^x &D y=6 * 1,4^x Här ser vi att båda funktionerna är växande. Men de växer olika snabbt. Tittar vi på förändringsfaktorerna ser vi att A bara växer med 1 % för varje steg i x-led, medan D växer med hela 40 %. Den graf som är brantast är den som växer fortast, vilket är den svarta grafen f(x). Den långsammare h(x) hör därför ihop med A.

Sammanfattning

Då har vi parat ihop grafer och funktionsuttryck. &h(x) - A y=6 * 1,01^x &g(x) - B y=3 * 1,1^x &k(x) - C y=3 * 0,95^x &f(x) - D y=6 * 1,4^x.

I en exponentialfunktion anger startvärdet C var grafen skär y-axeln. Genom avläsningar från figuren ser vi att det är 4 för f(x).

Med samma resonemang som i föregående deluppgift avläser vi C ur figuren och får att det är ca. 1,5 för g(x).

Även i andragradsfunktioner anger lilla c var grafen skär y-axeln. Vi avläser värdet c=-3 för h(x).

Vi repeterar att lilla c anger var grafen skär y-axeln i andragradsfunktioner. Vi avläser värdet c=5 för h(x).

För en andragradsfunktion på formen y=ax^2+bx+c gäller att om a är positiv får vi en glad mun, och om a är negativ får vi en sur mun.

Vi ser i figuren att de kurvor som har positiva koefficienter framför x^2 är A och D, medan B och C har negativa koefficienter.

Enligt samma minnesregel kan vi utläsa att en kurva med maximipunkt ska ha en negativ koefficient framför x^2-termen. Den funktion som detta gäller för är h(x)=9x-6x^2+0,3, där a=-6, som då måste vara den enda funktionen med en maximipunkt.

Kontroll med räknare

Vi kontrollerar våra slutsatser genom att låta räknaren rita graferna. Då kan vi se vilka som ser ut som en glad mun (har minimipunkt) respektive ledsen mun (har maximipunkt). Vi börjar med att skriva in funktionerna i räknaren genom att trycka på Y=.

Vi trycker på GRAPH för att rita graferna. De ritas ut i den ordning vi skrivit in dem ovan, men vi kan även växla graf genom att trycka på TRACE och sedan uppåt- eller nedåtpil. Vi ser då att det endast är den tredje grafen h(x)=9x-6x^2+0,3 som ser ut som en ledsen mun och därför har en maximipunkt. Precis som vi resonerade oss fram till.

Minimipunkten har koordinaterna (0,5;-2). Vi markerar den, och eftersom det är en minimipunkt kommer den att gå uppåt på båda sidor.

Nollställena är x=-1 och x=2 vilket betyder att grafen skär x-axeln där. Vi förlänger den blå grafen så att den skär x-axeln på rätt ställen.

Vi börjar med att markera nollställena i ett koordinatsystem.

Skärningspunkten med y-axeln är (0,2) så vi markerar den också och ritar en parabel genom punkterna.

På y-axeln är x-värdet alltid 0. Vi sätter därför in x=0 i funktionsuttrycket och beräknar y.

När x är lika med 0 är y lika med -7. Det betyder att skärningspunkten med y-axeln är (0,-7).

Vi gör på samma sätt och sätter in x=0.

y är lika med c när x är 0. Det betyder att skärningspunkten är (0,c). Detta är generellt och man kan alltid läsa av en funktions skärning med y-axeln som konstanttermen i funktionsuttrycket.

Andragradsfunktioner skrivs på formen y=ax^2+bx+c. Vi vet att a bestämmer bredd och om grafen är glad eller sur, samt att c anger skärningen med y-axeln. Vi kan börja med graferna f(x) och h(x), som har positivt värde på koefficienten a.

Positivt a

Funktionerna B och C har positiva koefficienter framför x^2. Vi ska alltså para ihop f(x) och h(x) med &B y=0,6x^2+3x+3 &C y=1,1x^2-2,5x+3. Vi ser att f(x) är något bredare än h(x), vilket i det här fallet innebär att den har ett mindre värde på a. Eftersom 0,6 är mindre än 1,1 kan vi avgöra hur funktionsuttrycken passar med graferna: &f(x) - B y=0,6x^2+3x+3 &h(x) - C y=1,1x^2-2,5x+3.

Negativt a

Funktionerna A och D har negativa koefficienter framför x^2. Vi ska alltså para ihop g(x) och k(x) med två av &A y=- x^2+7x-10 &D y=-4 x^2-12x-11. Här ser vi att k(x) är betydligt bredare än g(x), vilket innebär att den bör ha ett mindre negativt a-värde än g(x). Då kan vi se att k(x) måste höra ihop med A och g(x) med D.

Sammanfattning

Då har vi parat ihop grafer och funktionsuttryck på följande sätt. &f(x) → B y=0,6x^2+3x+3 &g(x) → D y=-4 x^2-12x-11 &h(x) → C y=1,1x^2-2,5x+3 &k(x) → A y=- x^2+7x-10.

En andragradsfunktion skrivs generellt på formen y=ax^2+bx+c, men vi får veta att våra funktioner är på formen y=ax^2+c. Värdet på konstanttermen c innebär dock fortfarande samma sak, dvs. där grafen skär y-axeln. För den blå grafen f(x) är därför c=2 och för g(x) är c=- 1.

Eftersom c=2 vet vi redan att funktionsuttrycket kommer se ut så här: f(x)=ax^2+2. Vi kan även avgöra att a ska vara positivt eftersom vi har en "glad" graf. Men för att bestämma det exakta värde på a använder vi metoden för att hitta funktionsuttrycket utifrån graf. Vi har alltså en okänd konstant, a, så vi behöver avläsa en punkt på grafen, t.ex. punkten (1,4).

Punkten (1,4) innebär att då x=1 är y=4. Vi sätter in detta i funktionsuttrycket.

Nu vet vi även att a=2. Det ger oss funktionsuttrycket f(x)=2x^2+2.

Tidigare kom vi fram till att c=-1 för g(x). Den röda grafen skrivs på formen: g(x)=ax^2-1. För att bestämma a läser vi av en punkt på samma sätt som i förra deluppgiften.

Vi sätter in punkten (2,-3) i funktionsuttrycket.

Nu vet vi även att a=- 0,5. Funktionsuttrycket är alltså g(x)=-0,5x^2-1.

En exponentialfunktion skrivs på formen y=C * a^x, där C är startvärdet, dvs. där grafen skär y-axeln. För den blå grafen f(x) är därför C=4 och för g(x) är C=16.

Vi använder metoden för att bestämma en funktion utifrån dess graf. Eftersom startvärdet är C=4 måste uttrycket vara på formen f(x)=4 * a^x, där vi saknar förändringsfaktorn a. Vi har alltså en okänd konstant, och enligt metoden behöver vi då en punkt. Vi läser av t.ex. punkten (1,6).

Punkten (1,6) innebär att då x=1 är y=6. Vi sätter in detta i funktionsuttrycket.

Nu vet vi även att a=1,5. Det ger oss funktionsuttrycket f(x)=4 * 1,5^x.

Vi använder metoden för att bestämma en funktion utifrån dess graf igen. I föregående deluppgift kom vi fram till att C=16 för g(x), vilket betyder att den röda grafen skrivs på formen: g(x)=16 * a^x. För att bestämma a läser vi av en punkt på samma sätt som i förra deluppgiften.

Vi sätter Punkten (1,12) i funktionsuttrycket.

Nu vet vi även att a=0,75. Funktionsuttrycket är alltså g(x)=16 * 0,75^x.