Samband mellan graf och funktionsuttryck

Om funktionerna skär varandra i en punkt betyder det att de har samma funktionsvärde i den punkten, dvs. det finns ett x-värde som uppfyller f(x)=g(x). Det ger oss en ekvation.

Vi vet att funktionerna skär varandra i exakt en punkt. Det betyder att ekvationen endast har en lösning. En andragradsekvation har en lösning om diskriminanten är 0. Det ger oss en ny ekvation med c som okänd.

c är alltså - 3,5.

För att bestämma skärningspunkten ska vi lösa ekvationen f(x)=g(x). Det var den vi ställde upp i förra deluppgiften och fick x=--1/2±sqrt((-1/2)^2-(-3+c/2)). Nu sätter vi in vårt c som vi beräknade och löser ekvationen helt.

Vi får alltså en rot: x=0,5. Det är inte så konstigt att vi bara fick en lösning — vi bestämde ju c så att diskriminanten skulle bli 0, och då får man bara en rot till ekvationen. Funktionerna skär alltså varandra när x är 0,5. För att beräkna y-koordinaten sätter vi in x-värdet i någon av funktionerna.

Skärningspunkten är alltså (0,5,-1,75). Kontrollera gärna med grafräknare att detta stämmer.

Vi kan börja med att skissa en andragradskurva som uppfyller villkoren. Extrempunkten ligger på den negativa y-axeln, vilket betyder att den ligger under x-axeln och på y-axeln.

Vi vet också att extrempunkten är ett minimum, så grafen går uppåt på båda sidor av punkten. Att grafen har en minimipunkt betyder också att koefficienten framför x^2 är positiv, vilket ger oss villkoret att a är större än noll: a > 0.

Konstanten c är skärningspunkten med y-axeln. Grafen skär y-axeln på den negativa delen så c måste vara negativt, dvs. vi får villkoret c < 0.

Vad finns det för villkor på b? En andragradsfunktions extrempunkt ligger alltid på symmetrilinjen. Eftersom den ligger på y-axeln är den x_s=0. Detta kan vi använda för att bestämma b. Vi ställer upp y=0 och använder pq-formeln.

Symmetrilinjen är den första termen. Eftersom vi vet att den är x_s=0 kan vi ställa upp ekvationen -b/a/2=0. Vi löser ut b.

b är alltså lika med 0. Nu har vi tagit fram alla villkor för konstanterna: a>0, b=0 och c<0.

Ett nollställe är ett x-värde där funktionsvärdet är 0. För att hitta dem löser man ekvationen f(x)=0. Vi ställer upp funktionen och använder pq-formeln.

Om funktionen endast ska ha ett nollställe ska denna ekvationen endast ha en lösning. Det har den när diskriminanten är 0. Vi undersöker för vilka b det sker.

Funktionen har ett endast ett nollställe om b=-2 eller b=2.

Oavsett hur andragradskurvan ser ut kommer maximipunkten ligga på samma x-värde som symmetrilinjen. Vi bestämmer symmetrilinjen för f(x). Det gör vi genom att ställa upp f(x)=0 och använda pq-formeln. Det gjorde vi i förra deluppgiften och fick då x=--2b/2±sqrt((- 2b/2)^2-4). Symmetrilinjen ges av den första termen.

Oavsett vilket b man väljer kommer symmetrilinjen att vara x=b. Exempelvis blir symmetrilinjen x_s=2 om b=2 och x_s=-1 om b=-1. Om vi sätter in x=b i f(x) får vi reda på vad maximipunkternas y-värde är för ett generellt b.

Funktionsvärdena för maximipunkterna varierar alltså med b enligt 0,5b^2-2. Och det är ju precis det som g ska beskriva: g(b)=0,5b^2-2. I f är b en konstant medan den i g är en variabel. Det betyder att f(b) är värdet på f när x=b. Vi kan därför byta ut b mot x, vilket ger g(x)=0,5x^2-2.

Vi vet att alla maxpunkter på f(x) kommer att vara punkter som ligger på g(x). Om vi kan hitta tre olika maxmimipunkter för f(x) kan vi använda dem för att bestämma g(x). I förra deluppgiften beräknade vi att f(x) har ett nollställe om b=± 2. Det måste betyda att f(x) precis nuddar x-axeln, dvs. maximivärdet är 0.

Vi hittar dessa punkter genom att lösa ekvationerna f(x)=0 för b=-2 och b=2. Vi börjar med b=-2.

Maximipunkten är alltså (-2,0) när b=-2. Det betyder att denna punkt ligger på g(x). Om man gör motsvarande beräkningar för b=2 får man maximipunkten (2,0). Nu behöver vi bara en punkt till. Titta på den funktion med den lägsta maximipunkten.

Där ligger maximipunkten punkten på y-axeln dvs. när x=0. Vi sätter in det för att beräkna y.

Den minsta maximipunkten är alltså (0,- 2). Det betyder att g(x) skär y-axeln i y=-2 så dess konstantterm måste vara -2: g(x)=ax^2+cx-2. För att bestämma konstanterna a och c använder vi punkterna (-2,0) och (2,0) för att ta fram ett ekvationssystem: a(-2)^2+c(-2)-2=0 a*2^2+c*2-2=0. Vi löser det med additionsmetoden.

a är alltså 0,5 och c är 0. Det ger g(x)=0,5x^2-2.