{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Andragradsfunktioner och deras grafer
- Skissa en andragradskurva
- Bestäm funktion utifrån graf
Utforska
Maximi- och minimipunkter på grafer
I koordinatplanet visas graferna för tre funktioner och deras motsvarande ekvationer.
Titta noga på varje grafs maximi- eller minimipunkt. Kan deras koordinater identifieras enbart genom att titta på den motsvarande ekvationen?
Koncept
Andragradsfunktioner och deras grafer
Om en andragradsfunktion står på formen y=ax2+bx+c avgör a både åt vilket håll kurvan är krökt (⌣ eller ⌢) och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. 100 eller −100), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. 0,5 eller −0,5) ger bredare kurvor. Konstanten c avgör grafens skärningspunkt med y-axeln.
Metod
Skissa en andragradskurva
För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex.
y=x2−2x+1,
behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.
1
Bestäm symmetrilinjen
expand_more Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pq-formeln. Ställer man upp ekvationen x2−2x+1=0 får man
x=−2−2±(2−2)2−1.
Symmetrilinjen xs är termen framför rottecknet.
Kurvan är alltså symmetrisk runt xs=1. 2
Bestäm extrempunkten
expand_more Extrempunktens x-koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. y-koordinaten bestäms genom att sätta in detta x i funktionen.
Extrempunkten är (1,0), vilket ger den första punkten på grafen. 
y=x2−2x+1
Substitute
x=1
y=12−2⋅1+1
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
y=1−2+1
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
y=0
3
Bestäm två punkter till
expand_more För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt x-värde i funktionen och beräkna motsvarande y-värde.
Punkten (2,1) ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma y-värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten (0,1). 
y=x2−2x+1
Substitute
x=2
y=22−2⋅2+1
SimpPowProd
Förenkla potens & produkt
y=4−4+1
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
y=1
4
Sammanbind punkterna
expand_more Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.
Exempel
Använda standardformen för att rita en parabel
Linnea älskar att spela golf och försöker förbättra sin sving genom att rita parabeln som bollen kommer att skapa.
y=−2x2+6x
Rita parabeln för att hjälpa Linnea att förbättra sin sving!
Svar
Graf:
Ledtråd
Identifiera parabelns vertex. Gör grafen endast för första kvadranten.
Lösning
Börja med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pq-formeln. Förenkla först ekvationen 2x2+6x=0.
x-koordinaten för extrempunkten är känd eftersom den ligger på symmetrilinjen. y-koordinaten kan hittas genom att sätta in detta värde i funktionen.
Extrempunkten är (1,5;4,5), vilket ger den första punkten på grafen. 
För att kunna skissa grafen behövs två ytterligare punkter. En punkt bestäms genom att sätta in ett valfritt x-värde i funktionen och beräkna det motsvarande y-värdet.
Punkten (1,4) ligger därför på kurvan. Andragradssymmetri ger att grafen har en annan punkt med samma y-värde men på andra sidan av symmetrilinjen. Detta ger punkten (2,4).
Nu anslut punkterna för att få en parabel. 
−2x2+6x=0⇓x2−3x=0
Nu är pq-formeln som följer.
x=−2−3±(2−3)2−0.
Symmetrilinjen xs är termen framför radikaltecknet.
Kurvan är därför symmetrisk kring xs=1,5. y=−2x2+6x
Substitute
x=1,5
y=−2(1,5)2+6(1,5)
CalcPow
Beräkna potens
y=−2(2,25)+6(1,5)
Multiply
Multiplicera faktorer
y=−4,5+9
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
y=4,5
y=−2x2+6x
Substitute
x=2
y=−2(2)2+6(2)
CalcPow
Beräkna potens
y=−2(4)+6(2)
Multiply
Multiplicera faktorer
y=−8+12
AddTerms
Addera termer
y=4
Illustration
Skissa en andragradskurva
Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.
Koncept
Andragradsfunktion i faktorform
En andragradsfunktion med nollställen vid x=a och x=b kan skrivas som
Därmed hittas ekvationen i faktoriserad form.
y=k(x−a)(x−b),
där k är en konstant. På detta sätt skrivs en andragradsfunktion i faktoriserad form. Till exempel, betrakta en andragradsfunktion med nollställen vid x=3 och x=−1, som går genom punkten (0,−6). Börja med att sätta in värdena för a och b.
y=k(x−3)(x−(−1))⇓y=k(x−3)(x+1)
Nästa steg, för att hitta värdet av k, sätt in punkten (0,−6) i funktionen och lös för k.
y=k(x−3)(x+1)
SubstituteII
x=0 och y=−6
−6=k(0−3)(0+1)
▼
Lös ut k
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
−6=k(−3)(1)
Multiply
Multiplicera faktorer
−6=−3k
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
−3k=−6
DivEqn
VL/(−3)=HL/(−3)
k=2
y=2(x−3)(x+1)
Metod
Bestäm funktion utifrån graf
För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.
1
Bestäm antalet okända konstanter
expand_more Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är
y=C⋅ax.
Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet C och förändringsfaktorn a. 2
Läs av lika många punkter på grafen
expand_more Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.
Grafen går exempelvis igenom (1,1), och (2,3).
3
Sätt in punkterna i funktionen
expand_more Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer:
1=C⋅a1och3=C⋅a2.
4
Ställ upp ett ekvationssystem och lös det
expand_more Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem.
{1=C⋅a13=C⋅a2
Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.
{1=C⋅a13=C⋅a2(I)(II)
(I): Förenkla potens
{1=C⋅a3=C⋅a2
DivEqn
(I): VL/a=HL/a
{a1=C3=C⋅a2
RearrangeEqn
(I): Omarrangera ekvation
{C=a13=C⋅a2
Substitute
(II): C=a1
{C=a13=a1⋅a2
Multiply
(II): Multiplicera faktorer
{C=a13=aa2
SimpQuot
(II): Förenkla kvot
{C=a13=a
RearrangeEqn
(II): Omarrangera ekvation
{C=a1a=3
Substitute
(I): a=3
{C=31a=3
5
Sätt in konstanterna
expand_more Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket.
y=C⋅ax⇒y=31⋅3x
Exempel
Bestäm funktionen med hjälp av grafen
Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-0,5x^2+3x+4"]}}
Ledtråd
Använd den allmänna formeln för en andragradsekvation. Analysera den givna grafen och hitta y-skärningspunkten och koordinaterna för vertexen.
Lösning
Den allmänna formen för en andragradsfunktion är
Vi ser att y-värdet är 4 så c=4, vilket ger
Två punkter på kurvan är (2,8) och (6,4), och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten (2,8) betyder att när man sätter in x=2 är y=8. Det ger ekvationen
Nu sätter vi in värdet på a i den andra ekvationen.
a är −0,5 och b är 3. Sedan tidigare vet vi också att c=4. Detta ger funktionen
y=ax2+bx+c,
där a, b, och c är reella konstanter. Konstanten c kan vi bestämma direkt eftersom det är y-värdet där grafen skär y-axeln. y=ax2+bx+4.
Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där x- och y-koordinaterna är lätta att läsa av. a⋅22+b⋅2+4=8.
På samma sätt får man ekvationen a⋅62+b⋅6+4=4 genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.
{a⋅22+b⋅2+4=8a⋅62+b⋅6+4=4(I)(II)
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
{4a+2b+4=836a+6b+4=4
MultEqn
(I): VL⋅(−3)=HL⋅(−3)
{−12a−6b−12=−2436a+6b+4=4
SysEqnAdd
(I): Addera (II)
{−12a−6b−12+36a+6b+4=−24+436a+6b+4=4
SimpTerms
(I): Förenkla termer
{24a−8=−2036a+6b+4=4
AddEqn
(I): VL+8=HL+8
{24a=−1236a+6b+4=4
DivEqn
(I): VL/24=HL/24
{a=−0,536a+6b+4=4
{a=−0,536a+6b+4=4
Substitute
(II): a=−0,5
{a=−0,536(−0,5)+6b+4=4
MultPosNeg
(II): a(−b)=−a⋅b
{a=−0,5−18+6b+4=4
SimpTerms
(II): Förenkla termer
{a=−0,5−14+6b=4
AddEqn
(II): VL+14=HL+14
{a=−0,56b=18
DivEqn
(II): VL/6=HL/6
{a=−0,5b=3
y=−0,5x2+3x+4.
Exempel
Skriva en andragradsfunktion givet dess graf
Linnea vill skriva den faktoriserade formen av andragradsfunktionen som motsvarar den givna parabeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{3}(x+5)(x-1)","\\dfrac{1}{3}(x-1)(x+5)","\\dfrac{1}{3}(x-(-5))(x-1)","\\dfrac{1}{3}(x-1)(x-(-5))"]}}
Ledtråd
Börja med att identifiera x-skärningarna för parabeln.
Lösning
Kom ihåg formatet för den faktoriserade formen av en parabel.
Parabeln skär x-axeln vid (−5,0) och (1,0). Detta innebär att p och q är −5 och 1. Det spelar ingen roll vilket värde som tillskrivs vilken variabel, så det anses godtyckligt att p=−5 och q=1. Med denna information kan följande ekvation skrivas.
Parabelns vertex ligger vid (−2,−3). Därför kan −2 och −3 sättas in för x och y, respektive, i den partiella ekvationen. Ekvationen kan sedan lösas för a.
Det har funnits att värdet av a är 31. Med denna information kan ekvationen för den givna parabeln skrivas i faktoriserad form.
y=a(x−p)(x−q)
I det här formatet är funktionens nollställen p och q. Därför, för att ange värdena för p och q, börja med att identifiera x-skärningarna för grafen. y=a(x−(−5))(x−1)⇕y=a(x+5)(x−1)
Slutligen, för att hitta värdet av a kan vilken som helst punkt på parabeln användas. För enkelhetens skull kommer vertexen att användas. y=a(x+5)(x−1)
SubstituteII
x=−2 och y=−3
−3=a(−2+5)(−2−1)
▼
Lös ut a
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
−3=a(3)(−3)
MultPosNeg
a(−b)=−a⋅b
−3=a(−9)
DivEqn
VL/(−9)=HL/(−9)
−9−3=a
DivNegNeg
-b-a=ba
93=a
ReduceFrac
Förkorta med 3
31=a
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
a=31
y=31(x−(−5))(x−1)⇕y=31(x+5)(x−1)
Laddar innehåll