Samband mellan graf och funktionsuttryck

Vi börjar med att konstatera att kurvan har en negativ koefficient, -1, framför x^2 vilket innebär att den har en maximipunkt. Vi hittar först symmetrilinjen med pq-formeln. Genom att sätta funktionsuttrycket lika med 0 får vi ekvationen - x^2-x+2=0, som vi skriver på pq-form genom att byta tecken på alla termer: x^2+x-2=0. Vi ställer upp pq-formlen och läser av symmetrilinjen. x=-1/2±sqrt((1/2)^2-(-2)). Symmetrilinjen är termen framför ±-tecknet.

Symmetrilinjen är x_s=0,5. Nu kan vi bestämma maximipunkten genom att sätta in detta x-värde i ursprungsfunktionen, eftersom symmetrilinjen alltid går genom andragradskurvans extrempunkt.

Andragradskurvans extrempunkt ligger i (-0,5;2,25), vilket vi ritar in tillsammans med symmetrilinjen i ett koordinatsystem.

Vi vet att kurvan kommer att skära x-axeln på två ställen. För att kunna rita kurvan korrekt behöver vi veta dessa nollställen. Vi gör detta genom att förenkla klart uttrycket vi ställde upp med pq-formeln tidigare.

Punkterna (-2,0) och (1,0) ligger också på kurvan. Dessutom vet vi att c=2, så kurvan skär y-axeln där y=2. Nu kan vi sammanbinda punkterna och bilda oss en uppfattning om andragradskurvans utseende.

Kontroll med räknare

Genom att trycka på knappen Y= kan vi skriva in funktionen.

Vi trycker nu på GRAPH för att rita upp grafen.

Form, nollställen och skärning med y-axeln verkar stämma överens. Vår egen skiss bör alltså vara korrekt.

Den här kurvan har en minimipunkt. Vi gör på samma sätt, bestämmer symmetrilinjen genom att använda pq-formeln. Genom att likställa funktionen med 0 och dividera med 2 får vi pq-form: x^2-2x-3=0. Vi ställer upp pq-formlen och läser av symmetrilinjen. x=--2/2±sqrt((-2/2)^2-(-3)). Symmetrilinjen är termen framför ±-tecknet.

Symmetrilinjen är alltså x_s=1. Nu bestämmer vi minimipunkten genom att sätta in det i ursprungsfunktionen.

Andragradskurvans extrempunkt ligger i (1,-8). Nu ritar vi det vi vet i ett koordinatsystem.

Även här är det lämpligt att bestämma nollställena med hjälp av pq-formeln.

Punkterna (-1,0) och (3,0) ligger också på kurvan. Dessutom vet vi att c=-6, så kurvan skär y-axeln där y=-6. Nu kan vi sammanbinda punkterna för att ge en uppfattning om andragradskurvans utseende.

Kontroll med räknare

Vi skriver in grafen på räknare som i tidigare deluppgift och trycker på GRAPH.

Vi kan även nu konstatera att vår egen skiss var korrekt ritad.

För att kunna skissa kurvan kan vi använda symmetrilinjen. En metod är att ställa upp pq-formeln, vilket går utmärkt. Men vi kommer ändå att behöva veta två punkter till, exempelvis nollställena. Eftersom ekvationen vi får, om vi sätter funktionen lika med 0, 5x-x^2=0, snabbt kan lösas med nollproduktmetoden börjar vi med att bestämma nollställena och sedan symmetrilinjen som ligger mittemellan dessa.

Funktionens skär alltså x-axeln då x=0 och x=5. Symmetrilinjen ligger mittemellan dessa: x_s=0+5/2=2,5. Kurvan har en maximipunkt eftersom x^2-termen har ett minustecken framför sig. Vi beräknar dennas y-koordinat genom att sätta in symmetrilinjens x-värde.

Nu vet vi att grafen har nollställena x=0 och x=5. Vi har också beräknat att den har en maximipunkt i (2,5;6,25). Då har vi allt för att kunna skissa den.

Kontroll med räknare

Genom att trycka på knappen Y= kan vi skriva in funktionen i fråga.

Vi trycker nu på GRAPH för att rita upp grafen.

Här ser vi nu att grafen vi skissade ser ut som räknarens. Formen, nollställena och maximipunkten verkar stämma. Vill man kontrollera maximipunkten exakt kan man använda räknarens verktyg för detta.

Vi kan använda pq-formeln, men eftersom 0,25x^2-4=0 går att lösa med balansmetoden kan vi lika gärna resonera på liknande sätt som i förra deluppgiften och först hitta nollställena och därefter extrempunkten, som i detta fall är en minimipunkt.

Funktionens graf skär x-axeln i x=4 och x=-4. Symmetrilinjen ligger mittemellan, alltså x=0. Vi använder den för att beräkna det minsta värdet.

Grafens minimipunkt är alltså (0,-4) och nollställena är x=-4 och x=4. Nu kan vi skissa kurvan.

Kontroll med räknare

Vi kontrollerar på samma sätt som i föregående deluppgift.

Vi ser att skissen var välritad även i detta fall.

Eftersom kurvan skär positiva y-axeln är C positivt. Vi ser att kurvan är växande, dvs. antar större och större y-värden. Det betyder att det är en procentuell ökning, så förändringsfaktorn a måste vara större än 1: a > 1.

Även här är C positivt, men kurvan är avtagande. Det innebär att funktionsvärdet minskar, alltså att förändringsfaktorn är mindre än 1. Villkoret blir a < 1.

Nu har vi en exponentialfunktion med ett negativt startvärde. Ju större x blir desto mindre blir y. Förändringsfaktorn a måste vara positiv och funktionen går mot större och större negativa värden. Därför måste a^x bli större och större. Där a är större än 1: a>1.

Vi måste först ta reda på vilken graf som hör till vilken funktion. Den blå kurvan har en minimipunkt, medan den röda inte har någon extrempunkt alls. Andragradskurvor har alltid en extrempunkt så g(x) måste vara den blå grafen.

Vi läser av en punkt på grafen.

Punkten (1,5) ligger på grafen, så om vi sätter in x=1 och y=5 i g(x) kan vi bestämma b.

b är alltså lika med 2.

Nu läser vi av en punkt på den röda kurvan.

Punkten (1,3) ligger på den röda kurvan så vi sätter in den i f(x) för att bestämma a.

a är alltså 1,5.

En exponentialfunktion på allmän form skrivs y=C* a^x, där C och a är konstanter. Det finns två okända konstanter så vi behöver två punkter från grafen.

Vi läser av punkterna (1,1) och (2,2). Insättning av dessa i funktionen ger oss två ekvationer som bildar ett ekvationssystem: 1=C* a^1 2=C* a^2. Vi kan lösa det med t.ex. substitutionsmetoden.

C är 0,5 och a är 2, vilket ger funktionen f(x)=0,5* 2^x.

Kurvan skär y-axeln i y=-3. Det betyder att konstanttermen är -3, vilket ger f(x)=ax^2+bx-3, där a och b är reella konstanter. För att bestämma de andra behöver vi två punkter på grafen.

Vi läser av punkterna (1,-7) och (3,-3) och sätter in dem i funktionen. Det ger två nya ekvationer som bildar ett ekvationssystem: -7=a* 1^2+b*1-3 -3=a* 3^2+b*3-3. Vi löser det med t.ex. substitutionsmetoden.

Nu har vi löst ut a. Då sätter vi in det i den andra ekvationen.

a är 2 och b är -6 vilket ger funktionen f(x)=2x^2-6x-3.

Vi ritar graferna med en grafräknare och börjar med att skriva in funktionerna genom att trycka på Y=.

Vi trycker nu på knappen GRAPH för att se graferna ritas ut i ett koordinatsystem. Koordinatsystemets axlar kan behöva ställas in. Graferna ritas ut i den ordning vi skrivit in funktionerna i listan ovan. Vi inser då att f(x)=x^2 är grafen i mitten, g(x)=(x+3)^2 den till vänster och h(x)=(x-2)^2 den längst åt höger. Det går också att se vilken graf markören står på genom att trycka på TRACE. Växla graf med uppåt- och nedåtpil.

Vi ser att alla funktioner vänder vid x-axeln, dvs. de har endast ett nollställe. De har dessutom samma form som f(x), men både g(x) och h(x) har förflyttats i sidled. g(x) har flyttats 3 steg åt vänster medan h(x) har flyttats 2 steg åt höger.

Funktionen k(x)=(x-8)^2 följer samma form som de andra funktionerna. Den kommer därför att vara förskjuten i sidled jämfört med f(x). Eftersom h(x)=(x-2)^2 var förskjuten två steg åt höger kan vi förvänta oss att k(x)=(x-8)^2 kommer att vara förskjuten åtta steg åt höger. Vi kan kontrollera våra slutsatser genom att rita grafen till funktionen på räknaren, på samma sätt som tidigare. Vi låter f(x)=x^2 vara utritad som jämförelse även nu.

Vår beskrivning stämmer!

Tyrolf har rätt i att skärningen med y-axeln är en lättavläst punkt, men eftersom denna punkt motsvarar konstanten 6 i exponentialfunktionen f(x)=6* a^x kommer den inte leda till att vi kan lösa ut a. Vi visar vad som händer när vi sätter in (0,6) i funktionen.

När vi sätter in skärningspunkten med y-axeln blir potensens värde 1 så vi får helt enkelt en likhet mellan två sexor. De måste alltså välja någon annan punkt längs grafen för att kunna lösa ut a. Nefertiti har rätt.