Bestäm funktion utifrån graf

För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.

För att bestämma funktionsuttrycket behöver man minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form.

Bestäm antalet okända konstanter

Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är

y = C \cdot a^{x} .

Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet

C

a .

Läs av lika många punkter på grafen

Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.

Grafen går exempelvis igenom $(1, 1),$ och $(2, 3) .$

Sätt in punkterna i funktionen

Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer:

1 = C \cdot a^{1} och 3 = C \cdot a^{2} .

Ställ upp ett ekvationssystem och lös det

Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem.

{1 = C \cdot a^{1} 3 = C \cdot a^{2}

Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.

{1 = C \cdot a^{1} 3 = C \cdot a^{2} (I) (II)

$(I):$ Förenkla potens

{1 = C \cdot a 3 = C \cdot a^{2}

$(I):$ $VL / a = HL / a$

{\frac{1}{a} = C 3 = C \cdot a^{2}

$(I):$ Omarrangera ekvation

{C = \frac{1}{a} 3 = C \cdot a^{2}

$(II):$ $C = \frac{1}{a}$

{C = \frac{1}{a} 3 = \frac{1}{a} \cdot a^{2}

$(II):$ Multiplicera faktorer

{C = \frac{1}{a} 3 = \frac{a ^{2}}{a}

$(II):$ Förenkla kvot

{C = \frac{1}{a} 3 = a

$(II):$ Omarrangera ekvation

{C = \frac{1}{a} a = 3

$(I):$ $a = 3$

{C = \frac{1}{3} a = 3

Sätt in konstanterna

Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket.

y = C \cdot a^{x} \Rightarrow y = \frac{1}{3} \cdot 3^{x}