{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Analytisk geometri

Samband mellan graf och funktionsuttryck

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden

Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

Om en andragradsfunktion står på formen avgör både åt vilket håll kurvan är krökt och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. eller ), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. eller ) ger bredare kurvor. Konstanten avgör grafens skärningspunkt med -axeln.

Metod

Skissa en andragradskurva

För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex.
behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.
1
Bestäm symmetrilinjen
expand_more
Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med -formeln. Ställer man upp ekvationen får man
Symmetrilinjen är termen framför rottecknet.

Kurvan är alltså symmetrisk runt


2
Bestäm extrempunkten
expand_more

Extrempunktens -koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. -koordinaten bestäms genom att sätta in detta i funktionen.

Extrempunkten är vilket ger den första punkten på grafen.

3
Bestäm två punkter till
expand_more

För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt -värde i funktionen och beräkna motsvarande -värde.

Punkten ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma -värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten

4
Sammanbind punkterna
expand_more

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.

Metod

Bestäm funktion utifrån graf

För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.

För att bestämma funktionsuttrycket behöver man minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form.
1
Bestäm antalet okända konstanter
expand_more
Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är
Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet och förändringsfaktorn
2
Läs av lika många punkter på grafen
expand_more

Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.

Grafen går exempelvis igenom och .

3
Sätt in punkterna i funktionen
expand_more
Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer:
4
Ställ upp ett ekvationssystem och lös det
expand_more
Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem.
Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.

Förenkla potens

5
Sätt in konstanterna
expand_more
Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket.

Exempel

Bestäm funktionen med hjälp av grafen

fullscreen

Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?

Visa Lösning expand_more
Den allmänna formen för en andragradsfunktion är
där och är reella konstanter. Konstanten kan vi bestämma direkt eftersom det är -värdet där grafen skär -axeln.
Vi ser att -värdet är 4 så vilket ger
Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där - och -koordinaterna är lätta att läsa av.
Två punkter på kurvan är och och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten betyder att när man sätter in är Det ger ekvationen
På samma sätt får man ekvationen genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.

Nu sätter vi in värdet på i den andra ekvationen.

är och är 3. Sedan tidigare vet vi också att Detta ger funktionen
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community