Bevis

Cosinus för dubbla vinkeln

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln 2v kan delas upp som differensen mellan cos^2(v) och sin^2(v).

cos(2v)=cos^2(v)-sin^2(v)

Beviset för detta utgår från additionsformeln för cosinus. Den kan användas om man först skriver om produkten 2v som additionen v+v.

cos(2v)

ProdToSumTwoTerms

2a=a+a

cos(v+v)

CosAdd

cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v)

cos(v)cos(v) - sin(v)sin(v)

ProdToPowTwoFac

a* a=a^2

cos^2(v) - sin^2(v)

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas om som $cos(2v)=cos^2(v)-sin^2(v)$.

Q.E.D.

Bevis

cos(2v)=1-2sin^2(v)

Det finns två varianter av cosinusformeln för dubbla vinkeln. I den ena har cos^2(v) bytts ut så att högerledet bara använder sin^2(v). Beviset använder en omskrivning av trigonometriska ettan som hittas genom att lösa ut cos^2(v). $ sin^2(v) + cos^2(v) = 1 $ ⇔ $ cos^2(v) = 1 - sin^2(v) $ Detta uttryck kan nu användas i dubbla vinkeln för cosinus.

cos(2v) = cos^2(v) - sin^2(v)

PythTrigIdII

cos^2(v) = 1 - sin^2(v)

cos(2v) = 1-sin^2(v) - sin^2(v)

SimpTerms

Förenkla termerna

cos(2v) = 1-2sin^2(v)

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså också skrivas som cos(2v)=1 - 2sin^2(v).

Q.E.D.

Bevis

cos(2v)=2cos^2(v)-1

I den andra varianten har istället sin^2(v) bytts ut, så att högerledet bara använder cos^2(v). Det här beviset använder också trigonometriska ettan, men nu i en variant där sin^2(v) lösts ut. $ sin^2(v) + cos^2(v) = 1 $ ⇔ $ sin^2(v) = 1 - cos^2(v) $ Detta uttryck kan nu användas i dubbla vinkeln för cosinus.

cos(2v) = cos^2(v) - sin^2(v)

PythTrigIdIII

sin^2(v) = 1 - cos^2(v)

cos(2v) = cos^2(v) - (1- cos^2(v))

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

cos(2v) = cos^2(v) - 1 + cos^2(v)

SimpTerms

Förenkla termerna

cos(2v) = 2cos^2(v) - 1

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså också skrivas som cos(2v)=2cos^2(v) - 1.

Q.E.D.

Bevis

Bevis

Rekommenderade uppgifter