Bevis

Cosinus för dubbla vinkeln

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln 2v2v kan delas upp som differensen mellan cos2(v)\cos^2(v) och sin2(v).\sin^2(v).

cos(2v)=cos2(v)sin2(v)\cos(2v)=\cos^2(v)-\sin^2(v)

Beviset för detta utgår från additionsformeln för cosinus. Den kan användas om man först skriver om produkten 2v2v som additionen v+v.v+v.
cos(2v)\cos(2v)
cos(v+v)\cos(v+v)
cos(v)cos(v)sin(v)sin(v)\cos(v)\cos(v) - \sin(v)\sin(v)
cos2(v)sin2(v)\cos^2(v) - \sin^2(v)
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas om som cos(2v)=cos2(v)sin2(v). \text{$\cos(2v)=\cos^2(v)-\sin^2(v)$}.
Q.E.D.

Bevis

cos(2v)=12sin2(v)\cos(2v)=1-2\sin^2(v)
Det finns två varianter av cosinusformeln för dubbla vinkeln. I den ena har cos2(v)\cos^2(v) bytts ut så att högerledet bara använder sin2(v).\sin^2(v). Beviset använder en omskrivning av trigonometriska ettan som hittas genom att lösa ut cos2(v).\cos^2(v). sin2(v)+cos2(v)=1cos2(v)=1sin2(v)\text{$ \sin^2(v) + \cos^2(v) = 1 $} \quad \Leftrightarrow \quad \text{$ \cos^2(v) = 1 - \sin^2(v) $} Detta uttryck kan nu användas i dubbla vinkeln för cosinus.
cos(2v)=cos2(v)sin2(v)\cos(2v) = \cos^2(v) - \sin^2(v)
cos(2v)=1sin2(v)sin2(v)\cos(2v) = 1-\sin^2(v) - \sin^2(v)
cos(2v)=12sin2(v)\cos(2v) = 1-2\sin^2(v)
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså också skrivas som cos(2v)=12sin2(v). \cos(2v)=1 - 2\sin^2(v).
Q.E.D.

Bevis

cos(2v)=2cos2(v)1\cos(2v)=2\cos^2(v)-1
I den andra varianten har istället sin2(v)\sin^2(v) bytts ut, så att högerledet bara använder cos2(v).\cos^2(v). Det här beviset använder också trigonometriska ettan, men nu i en variant där sin2(v)\sin^2(v) lösts ut. sin2(v)+cos2(v)=1sin2(v)=1cos2(v)\text{$ \sin^2(v) + \cos^2(v) = 1 $} \quad \Leftrightarrow \quad \text{$ \sin^2(v) = 1 - \cos^2(v) $} Detta uttryck kan nu användas i dubbla vinkeln för cosinus.
cos(2v)=cos2(v)sin2(v)\cos(2v) = \cos^2(v) - \sin^2(v)
cos(2v)=cos2(v)(1cos2(v))\cos(2v) = \cos^2(v) - \left(1- \cos^2(v)\right)
cos(2v)=cos2(v)1+cos2(v)\cos(2v) = \cos^2(v) - 1 + \cos^2(v)
cos(2v)=2cos2(v)1\cos(2v) = 2\cos^2(v) - 1
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså också skrivas som cos(2v)=2cos2(v)1. \cos(2v)=2\cos^2(v) - 1.
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}