Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Cosinus för dubbla vinkeln


Bevis

Cosinus för dubbla vinkeln

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln 2v2v kan delas upp som differensen mellan cos2(v)\cos^2(v) och sin2(v).\sin^2(v).

cos(2v)=cos2(v)sin2(v)\cos(2v)=\cos^2(v)-\sin^2(v)

Beviset för detta utgår från additionsformeln för cosinus. Den kan användas om man först skriver om produkten 2v2v som additionen v+v.v+v.
cos(2v)\cos(2v)
cos(v+v)\cos(v+v)
cos(v)cos(v)sin(v)sin(v)\cos(v)\cos(v) - \sin(v)\sin(v)
cos2(v)sin2(v)\cos^2(v) - \sin^2(v)
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas om som cos(2v)=cos2(v)sin2(v). \text{$\cos(2v)=\cos^2(v)-\sin^2(v)$}.
Q.E.D.

Bevis

info
cos(2v)=12sin2(v)\cos(2v)=1-2\sin^2(v)
Det finns två varianter av cosinusformeln för dubbla vinkeln. I den ena har cos2(v)\cos^2(v) bytts ut så att högerledet bara använder sin2(v).\sin^2(v). Beviset använder en omskrivning av trigonometriska ettan som hittas genom att lösa ut cos2(v).\cos^2(v). sin2(v)+cos2(v)=1cos2(v)=1sin2(v)\text{$ \sin^2(v) + \cos^2(v) = 1 $} \quad \Leftrightarrow \quad \text{$ \cos^2(v) = 1 - \sin^2(v) $} Detta uttryck kan nu användas i dubbla vinkeln för cosinus.
cos(2v)=cos2(v)sin2(v)\cos(2v) = \cos^2(v) - \sin^2(v)
cos(2v)=1sin2(v)sin2(v)\cos(2v) = 1-\sin^2(v) - \sin^2(v)
cos(2v)=12sin2(v)\cos(2v) = 1-2\sin^2(v)
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså också skrivas som cos(2v)=12sin2(v). \cos(2v)=1 - 2\sin^2(v).
Q.E.D.

Bevis

info
cos(2v)=2cos2(v)1\cos(2v)=2\cos^2(v)-1
I den andra varianten har istället sin2(v)\sin^2(v) bytts ut, så att högerledet bara använder cos2(v).\cos^2(v). Det här beviset använder också trigonometriska ettan, men nu i en variant där sin2(v)\sin^2(v) lösts ut. sin2(v)+cos2(v)=1sin2(v)=1cos2(v)\text{$ \sin^2(v) + \cos^2(v) = 1 $} \quad \Leftrightarrow \quad \text{$ \sin^2(v) = 1 - \cos^2(v) $} Detta uttryck kan nu användas i dubbla vinkeln för cosinus.
cos(2v)=cos2(v)sin2(v)\cos(2v) = \cos^2(v) - \sin^2(v)
cos(2v)=cos2(v)(1cos2(v))\cos(2v) = \cos^2(v) - \left(1- \cos^2(v)\right)
cos(2v)=cos2(v)1+cos2(v)\cos(2v) = \cos^2(v) - 1 + \cos^2(v)
cos(2v)=2cos2(v)1\cos(2v) = 2\cos^2(v) - 1
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså också skrivas som cos(2v)=2cos2(v)1. \cos(2v)=2\cos^2(v) - 1.
Q.E.D.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward