Bevis

Produktregeln

Om två funktioner f(x)f(x) och g(x)g(x) multipliceras ihop skapas en ny funktion, f(x)g(x).f(x)\cdot g(x). För att derivera funktioner som är produkter av andra funktioner använder man den så kallade produktregeln. Den säger att varje funktion ska multipliceras med derivatan av den andra funktionen och att dessa produkter ska adderas.

Bevis

D(f(x)g(x)))=f(x)g(x)+f(x)g(x)D\left(f(x)\cdot g(x))\right)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)
Man kan bevisa formeln med utgångspunkt i derivatans definition: D(f(x))=limh0f(x+h)f(x)h.\begin{aligned} D(f(x)) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}. \end{aligned} För funktionen f(x)g(x),f(x)\cdot g(x), där f(x)f(x) och g(x)g(x) är deriverbara funktioner, får man D(f(x)g(x))=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h.\begin{aligned} D\left(f(x)\cdot g(x)\right)=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}. \end{aligned} Hur skriver man om detta gränsvärde som summan i produktregeln? Till att börja med lägger man till och drar bort f(x)g(x+h)f(x)\cdot g(x+h) i täljaren. Då kommer man nämligen kunna dela upp gränsvärdet som en summa av två gränsvärden, vilket är ett steg närmare målet.
limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)+f(x)g(x+h)f(x)g(x+h)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)+{\color{#0000FF}{f(x)\cdot g(x+h)}}-{\color{#0000FF}{f(x)\cdot g(x+h)}}}{h}
limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)+f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
limh0(f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)h+f(x)g(x+h)f(x)g(x)h)\lim \limits_{h \to 0}\left(\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)}{h}+\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}\right)
limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)h+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)}{h}+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
Det första av dessa gränsvärden kan man nu skriva om och dela upp som produkten av två andra gränsvärden. Dessa kommer att motsvara första delen av produktregeln: f(x)g(x).f'(x)\cdot g(x).
limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)h+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)}{h}+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
limh0(f(x+h)f(x))g(x+h)h+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{(f(x+h)-f(x))\cdot g(x+h)}{h}+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
limh0(f(x+h)f(x)hg(x+h))+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\left(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h)\right)+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
Dela upp gränsvärde
limh0f(x+h)f(x)hlimh0g(x+h)+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot\lim \limits_{h \to 0} g(x+h)+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
Det första gränsvärdet är definitionen för derivatan av f(x)f(x) och kan alltså ersättas med f(x).f'(x). Det andra gränsvärdet är lika med g(x)g(x) eftersom g(x+h)g(x+h) går mot g(x)g(x) när hh går mot 0.0. Detta ger D(f(x)g(x))=f(x)g(x)+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)h. D\left(f(x)\cdot g(x)\right)=f'(x)\cdot g(x)+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}. Det andra gränsvärdet måste då motsvara den andra delen av produktregeln, f(x)g(x).f(x)\cdot g'(x). För att visa detta börjar man med att bryta ut f(x)f(x) ur täljaren. Eftersom den funktionen inte påverkas av att hh går mot 00 kan den placeras utanför gränsvärdet.
f(x)g(x)+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)hf'(x)\cdot g(x)+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
f(x)g(x)+limh0f(x)(g(x+h)g(x))hf'(x)\cdot g(x)+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot (g(x+h)-g(x))}{h}
f(x)g(x)+f(x)limh0g(x+h)g(x)hf'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}
Det gränsvärde som finns kvar är definitionen för derivatan av g(x).g(x). Genom att byta ut gränsvärdet mot g(x)g'(x) får man till sist produktregeln: D(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x). D\left(f(x)\cdot g(x)\right)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}