Produktregeln

Det första av dessa gränsvärden kan man nu skriva om och dela upp som produkten av två andra gränsvärden. Dessa kommer att motsvara första delen av produktregeln:

f^{'} (x) \cdot g (x) .

h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) \cdot g ( x + h ) - f ( x ) \cdot g ( x + h )}{h} + h \to 0 lim \frac{f ( x ) \cdot g ( x + h ) - f ( x ) \cdot g ( x )}{h}

Bryt ut $g (x + h)$

h \to 0 lim \frac{( f ( x + h ) - f ( x ) ) \cdot g ( x + h )}{h} + h \to 0 lim \frac{f ( x ) \cdot g ( x + h ) - f ( x ) \cdot g ( x )}{h}

$\frac{a \cdot b}{c} = \frac{a}{c} \cdot b$

h \to 0 lim (\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} \cdot g (x + h)) + h \to 0 lim \frac{f ( x ) \cdot g ( x + h ) - f ( x ) \cdot g ( x )}{h}

Dela upp gränsvärde

h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} \cdot h \to 0 lim g (x + h) + h \to 0 lim \frac{f ( x ) \cdot g ( x + h ) - f ( x ) \cdot g ( x )}{h}

Det första gränsvärdet är definitionen för derivatan av

f (x)

och kan alltså ersättas med

f^{'} (x) .

Det andra gränsvärdet är lika med

g (x)

eftersom

g (x + h)

går mot

g (x)

när

h

går mot

0 .

Detta ger

D (f (x) \cdot g (x)) = f^{'} (x) \cdot g (x) + h \to 0 lim \frac{f ( x ) \cdot g ( x + h ) - f ( x ) \cdot g ( x )}{h} .

Det andra gränsvärdet måste då motsvara den andra delen av produktregeln,

f (x) \cdot g^{'} (x) .

För att visa detta börjar man med att bryta ut

f (x)

ur täljaren. Eftersom den funktionen inte påverkas av att

h

går mot

0

kan den placeras utanför gränsvärdet.

f^{'} (x) \cdot g (x) + h \to 0 lim \frac{f ( x ) \cdot g ( x + h ) - f ( x ) \cdot g ( x )}{h}

Bryt ut $f (x)$

f^{'} (x) \cdot g (x) + h \to 0 lim \frac{f ( x ) \cdot ( g ( x + h ) - g ( x ) )}{h}

$x \to a lim (k \cdot f (x)) = k \cdot x \to a lim f (x)$

f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot h \to 0 lim \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h}

Det gränsvärde som finns kvar är definitionen för derivatan av

g (x) .

Genom att byta ut gränsvärdet mot

g^{'} (x)

får man till sist produktregeln:

D (f (x) \cdot g (x)) = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x) .