4. Andraderivata
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
4.
Andraderivata
Dyk in i konceptet andraderivatan och dess roll i att bestämma formen på matematiska funktioner. Denna lektion förklarar hur andraderivatan kan användas för att bestämma om en funktion är konkav eller konvex. Du får även lära dig om inflektionspunkter, där en funktion byter från att vara konkav till konvex eller vice versa. Dessutom introduceras du till hur andraderivatan kan användas för att identifiera lokala extrempunkter och bestämma deras karaktär. Denna kunskap är viktig för att förstå och analysera funktioners beteende och form. Genom att förstå dessa koncept kan du få en djupare förståelse för matematik och dess tillämpningar i vardagen, från att lösa komplexa problem till att förstå och analysera data.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 11 sidor teori |
| | 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Andraderivata
Sida av 11
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Konvex
- Konkav
- Inflexionspunkt
- Andraderivata
- Andraderivata i stationära punkter
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Konvex och konkav
Om man vill undersöka en grafs utseende kan man studera dess lutning. Med hjälp av begreppen konvex och konkav kan man också undersöka hur lutningen förändras. Om en kurva buktar uppåt säger man att den är konkav, vilket innebär att grafens lutning minskar när man går mot större x-värden. Buktar kurvan istället nedåt är den är konvex, och då ökar kurvans lutning.
Definitionen av en konkav funktion är att om en rät linje dras mellan två godtyckliga punkter på grafen ligger alla punkter på linjen under eller på kurvan. För konvexa funktioner ligger istället alla linjer mellan två punkter ovanför eller på kurvan. Vissa funktioner är konvexa och konkava på olika intervall, exempelvis funktionen i figuren.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Inflexionspunkt
Den punkt där en kurva byter från att vara konvex till att vara konkav eller vice versa kallas för inflexionspunkt. Exempelvis är den gul punkten i figuren en inflexionspunkt.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Var är funktionen konvex och var är den konkav?
I figuren visas grafen till funktionen f(x) med inflexionspunkten markerad.
För vilka x är funktionen konkav och för vilka är den konvex?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"Konvex:","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x\\le 5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"Konkav:","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x\\ge 5"]}}
Ledtråd
I inflexionspunkter går en funktion från att vara konvex till att vara konkav eller vice versa, och eftersom den markerade punkten är en inflexionspunkt bör vi undersöka området till vänster och höger om den.
Lösning
Funktionen är konvex till vänster om inflexionspunkten eftersom den buktar nedåt där, och konkav till höger eftersom den buktar uppåt där. Om man känner sig osäker kan man alltid välja två punkter i varje område och rita ut raka sträckor mellan dem.
Sträckan i det vänstra området ligger ovanför grafen, så funktionen måste vara konvex där. I det högra området ligger den istället under vilket innebär att funktionen är konkav där. Själva inflexionspunkten ingår i båda intervallen, vilket betyder att funktionen är konvex när x ≤ 5 och konkav när x ≥ 5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Andraderivata
Andraderivatan av en funktion f(x) är derivatan av funktionens derivata. För att bestämma andraderivatan till f(x) deriverar man därför funktionen två gånger. Andraderivatan skrivs ofta f''(x), vilket utläses f bis av x.
| Funktionsuttryck | |
|---|---|
| Funktion | f(x)=x^3 |
| Förstaderivata | f'(x)=3x^2 |
| Andraderivata | f''(x)=6x |
På samma sätt som derivatan f'(x) beskriver hur lutningen på grafen till f(x) förändras, beskriver andraderivatan hur lutningen på grafen till f'(x) förändras. Där andraderivatan är negativ är grafen till f(x) konkav och där den är positiv är grafen till f(x) konvex.
f''(x) < 0 ⇒ f(x) är konkav ( )
f''(x) > 0 ⇒ f(x) är konvex (⌣)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Finding the second derivative
Use the differentiation rules for polynomial functions to find the second derivative of the given function, and evaluate it at the specified value.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Andraderivata i stationära punkter
Det finns ett samband mellan andraderivatans tecken och stationära punkters karaktär.
- Om andraderivatan i en stationär punkt är negativ är funktionen konkav där och punkten är en maximipunkt.
- Är andraderivatan istället positiv är funktionen konvex och den stationära punkten en minimipunkt.
I inflexionspunkter, t.ex. terrasspunkter, är andraderivatan 0, men det kan den även vara i extrempunkter. Så om andraderivatan är 0 i en stationär punkt säger det ingenting om dess karaktär. Den måste därför avgöras på något annat sätt, t.ex. genom att ställa upp en teckentabell.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bestämma extrempunkter med första- och andraderivata
Med hjälp av förstaderivatan och andraderivatan kan man bestämma en funktions lokala extrempunkter och avgöra deras karaktär. Man kan t.ex. göra det för funktionen f(x)=0,25x^4-2x^3+4,5x^2+3.
1
Derivera funktionen
expand_more För att hitta extrempunkter börjar man med att derivera funktionen.
f(x)=0,25x^4-2x^3+4,5x^2+3
Derive
Derivera funktion
f'(x)=D(0,25x^4)-D(2x^3)+D(4,5x^2)+D(3)
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
f'(x)=x^3-6x^2+9x+D(3)
DeriveConst
D(a) = 0
f'(x)=x^3-6x^2+9x
2
Bestäm derivatans nollställen
expand_more Funktionens stationära punkter finns där derivatan är lika med 0. För att hitta dessa punkter sätter man alltså f'(x) lika med 0 och löser ekvationen.
x^3-6x^2+9x=0
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
x* x^2-x* 6x+x* 9=0
FactorOut
Bryt ut x
x(x^2-6x+9)=0
ZeroProdProp
Använd nollproduktmetoden
lx=0 x^2-6x+9=0
Den andra ekvationen kan lösas med pq-formeln.
x^2-6x+9=0
UsePQ
Använd pq-formeln: p = -6, q= 9
x=- -6/2± sqrt((-6/2)^2- 9)
CalcQuot
Beräkna kvot
x=-(-3)±sqrt((-3)^2-9)
NegNeg
- (- a)=a
x=3±sqrt((-3)^2-9)
CalcPow
Beräkna potens
x=3±sqrt(9-9)
SubTerm
Subtrahera term
x=3±sqrt(0)
SimpRadicalTerm
Förenkla rot & termer
x=3
Derivatan har två nollställen: x=0 och x=3.
3
Bestäm de stationära punkternas karaktär med andraderivata
expand_more Nu bestämmer man andraderivatan f''(x) genom att derivera en gång till.
f'(x)=x^3-6x^2+9x
Derive
Derivera funktion
f''(x)=D(x^3)-D(6x^2)+D(9x)
DeriveMonom
D(x^n) = nx^(n-1)
f''(x)=3x^2-D(6x^2)+D(9x)
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
f''(x)=3x^2-12x+D(9x)
DeriveXCo
D(ax) = a
f''(x)=3x^2-12x+9
Därefter sätter man in x-värdena för de stationära punkterna i f''(x), vilka man beräknade i förra steget, för att bestämma andraderivatans tecken i dessa.
f''(x)=3x^2-12x+9
Substitute
x= 0
f''( 0)=3* 0^2-12* 0+9
CalcPow
Beräkna potens
f''(0)=3*0-12*0+9
Multiply
Multiplicera faktorer
f''(0)=9
När x är 0 är andraderivatan 9, alltså positiv, vilket innebär att f(x) har en minimipunkt där.
f''(x)=3x^2-12x+9
Substitute
x= 3
f''( 3)=3* 3^2-12* 3+9
CalcPow
Beräkna potens
f''(3)=3*9-12*3+9
Multiply
Multiplicera faktorer
f''(3)=27-36+9
AddSubTerms
Addera och subtrahera termerna
f''(3)=0
När x=3 är andraderivatan 0. Det säger inget om vilken sorts stationär punkt som finns där. Det kan vara en terrasspunkt, men det kan också vara en maximi- eller minimipunkt.
4
Gör en teckentabell för eventuella stationära punkter där f''(x)=0
expand_more Om någon stationär punkt har andraderivatan 0 kan denna vara antingen en terrass-, maximi- eller minimipunkt. För att avgöra karaktären kan man göra en teckentabell kring den. x-värdena man väljer får inte ligga på andra sidan om övriga stationära punkter. Här innebär det att man ska välja ett x-värde på intervallet 0 < x < 3 och ett på intervallet x > 3.
| x | 3 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | - | + | 0 | + | |
| f(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
Förstaderivatan är positiv både till höger och vänster om x=3. Det finns alltså en terrasspunkt där.
5
Uteslut eventuella terrasspunkter
expand_more Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter utesluter man dessa, i det här fallet punkten där x=3.
6
Bestäm extrempunkternas koordinater
expand_more Slutligen bestämmer man funktionsvärdena för extrempunkterna. Här finns det en extrempunkt där x=0, och detta x-värde sätter man in i funktionsuttrycket.
f(x)=0,25x^4-2x^3+4,5x^2+3
Substitute
x= 0
f( 0)=0,25* 0^4-2* 0^3+4,5* 0^2+3
CalcPow
Beräkna potens
f(0)=0,25*0-2*0+4,5*0+3
Multiply
Multiplicera faktorer
f(0)=3
Funktionen har alltså ett minimum i (0,3).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Determining Extreme Points with the First and Second Derivatives
Consider the following polynomial function. f(x) = 1/4x^4 - 1/3x^3 - 9/2x^2+9x Determine the extremum points and their character.
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"valueTypes":["Local Minimum","Local Maximum"],"point":true},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":1,"text":["1","0"]},{"type":0,"text":["-3","0"]},{"type":0,"text":["3","0"]}]}}
Ledtråd
Compute f'(x) and find its zeros. Then, evaluate the zeros at the second derivative and analyze the sign of the results.
Lösning
To find the extreme points, first find the derivative of f(x).
f(x) = 1/4x^4 - 1/3x^3 - 9/2x^2+9x
Derive
Derivera funktion
f'(x) = D(1/4x^4) - 1/3x^3 - 9/2x^2+9x
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
f'(x) = x^3 - x^2 - 9x + 9
The stationary points of the function are the values where the derivative is 0. Then, find the zeros of the derivative by setting f'(x) equal to 0.
f'(x)=0
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
x^3 - x^2 - 9x + 9 = 0
FactorOut
Bryt ut x^2 & -9
x^2(x-1) - 9(x-1) = 0
FactorOut
Bryt ut (x-1)
(x-1)(x^2-9)=0
▼
Ange lösningar
ZeroProdProp
Använd nollproduktmetoden
lx-1=0 x^2-9=0
AddEqn
(I): VL+1=HL+1
lx=1 x^2-9=0
AddEqn
(II): VL+9=HL+9
lx=1 x^2=9
SqrtEqn
(II): sqrt(VL)=sqrt(HL)
lx=1 x=±sqrt(9)
CalcRoot
(II): Beräkna rot
lx=1 x=± 3
The derivative is equal to 0 at x=1, x=-3, and x=3. Now, find the second derivative of the function by deriving f'(x).
f'(x) = x^3 - x^2 - 9x + 9
Derive
Derivera funktion
f''(x) = D(x^3) - D(x^2) - D(9x) + D(9)
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
f''(x) = 3x^2 - 2x - 9
The next step is to substitute the zeros of the derivative into f''(x) and pay attention to the sign of the result. The substitutions are summarized in the following table.
| x-value | f''(x)=3x^2-2x-9 | Sign |
|---|---|---|
| 1 | f''(1)=3(1)^2-2(1)-9 = -8 | - |
| 3 | f''(3)=3(3)^2-2(3)-9 = 12 | + |
| -3 | f''(-3)=3(-3)^2-2(-3)-9 = 24 | + |
The second derivative is negative at x=1 which means that f(x) reaches a local maximum at this x-value. On the other hand, the second derivative is positive at x=3 and x=-3, which means that the function f(x) reaches local minimums at these x-values. Finally, evaluate these x-values into the function to determine the extreme points.
| x-value | f(x) = 1/4x^4 - 1/3x^3 - 9/2x^2+9x | Point | Character |
|---|---|---|---|
| 1 | f(1) = 1/4(1)^4 - 1/3(1)^3 - 9/2(1)^2+9(1) = 53/12 | (1,53/12) | Local maximum |
| 3 | f(3) = 1/4(3)^4 - 1/3(3)^3 - 9/2(3)^2+9(3) = -9/4 | (3,-9/4) | Local minimum |
| -3 | f(-3) = 1/4(-3)^4 - 1/3(-3)^3 - 9/2(-3)^2+9(-3) = -153/4 | (-3,-153/4) | Local minimum |
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata
Bestäm extrempunkterna till funktionen f(x)=-0,4x^4 + 2x^3 + 3 med hjälp av dess första- och andraderivata. Avrunda till två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"valueTypes":["Maximipunkt","Maximipunkt"],"point":true},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["3.75","29.37"]}]}}
Ledtråd
Beräkna f'(x) och hitta dess nollställen. Utvärdera sedan nollställena i den andra derivatan och analysera tecknet på resultaten. Använd en teckentabell om det behövs.
Lösning
Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.
f(x)=-0,4x^4+2x^3+3
Derive
Derivera funktion
f'(x)=D(-0,4x^4)+D(2x^3)+D(3)
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
f'(x)=-1,6x^3+6x^2+D(3)
DeriveConst
D(a) = 0
f'(x)=-1,6x^3+6x^2
Vi sätter nu derivatan lika med 0 och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi x-värdena till funktionens stationära punkter.
Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut x^2.
-1,6x^3+6x^2=0
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
x^2(-1,6x)+x^2* 6=0
FactorOut
Bryt ut x^2
x^2(-1,6x+6)=0
ZeroProdProp
Använd nollproduktmetoden
lcx^2=0 & (I) -1,6x+6=0 & (II)
SqrtEqn
(I): sqrt(VL)=sqrt(HL)
lx=±sqrt(0) -1,6x+6=0
SimpRadicalTerm
(I): Förenkla rot & termer
lx=0 -1,6x+6=0
SubEqn
(II): VL-6=HL-6
lx=0 -1,6x=-6
DivEqn
(II): .VL /(-1,6).=.HL /(-1,6).
lx=0 x=-6/-1,6
UseCalc
(II): Slå in på räknare
lx_1=0 x_2=3,75
Lösningarna till f'(x)=0 är alltså x=0 och x=3,75, och det är för dessa x-värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.
f'(x)=-1,6x^3+6x^2
Derive
Derivera funktion
f''(x)=D(-1,6x^3)+D(6x^2)
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
f''(x)=-4,8x^2+12x
Vi sätter nu in x-värdena 0 och 3,75 för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.
f''(x)=-4,8x^2+12x
Substitute
x= 0
f''( 0)=-4,8* 0^2+12* 0
CalcPow
Beräkna potens
f''(0)=-4,8* 0+12* 0
Multiply
Multiplicera faktorer
f''(0)=0
När x=0 är alltså andraderivatan 0. Vi räknar sedan ut andraderivatan för x=3,75.
f''(x)=-4,8x^2+12x
Substitute
x= 3,75
f''( 3,75)=-4,8* 3,75^2+12* 3,75
UseCalc
Slå in på räknare
f''(3,75)=-22,5
Andraderivatan är alltså negativ när x=3,75, vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När x=0 är andraderivatan istället 0, och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt x=0. Vi väljer ett x-värde som är lägre än 0, t.ex. -1, och ett som ligger mellan x = 0 och x = 3,75, t.ex. 1 och undersöker derivatans tecken för dem.
| x | f'(x) | = | Tecken |
|---|---|---|---|
| -1 | -1,6*( -1)^3+6*( -1)^2 | 7,6 | + |
| 1 | -1,6 * 1^3+6 * 1^2 | 4,4 | + |
Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där x är 0, och kan sammanställa detta i en teckentabell.
| x | 0 | ||
|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | + |
| f(x) | ↗ | Ter. | ↗ |
Funktionen har alltså en terrasspunkt där x är 0. Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i x=3,75. För att bestämma y-värdet sätter vi in x = 3,75 i funktionen f(x)=-0,4x^4+2x^3+3.
f(x)=-0,4x^4+2x^3+3
Substitute
x= 3,75
f( 3,75)=-0,4* 3,75^4+2* 3,75^3+3
UseCalc
Slå in på räknare
f(3,75)=29,3671875
RoundDec
Avrunda till 21tiondelar 22hundradelar 23tusendelar 24tiotusendelar 25hundratusendelar 26miljontedelar 27hundramiljontedelar 28miljardtedelar
f(3,75)≈ 29,37
Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna (3,75;29,37).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Finding stationary points of a function
In the following applet, a polynomial function is given. Determine the required stationary point.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Andraderivata
Uppgift 3.1
Hur många terrasspunkter kan en tredjegradsfunktion maximalt ha? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["En","Tv\u00e5","Inga"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att terrasspunkter måste ha andraderivatan 0 eftersom de är inflexionspunkter. En generell polynomfunktion av tredje graden har utseendet f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Vi deriverar den två gånger för att få andraderivatan.
Vi undersöker nu vilka inflexionspunkter som finns till funktionen genom att lösa ekvationen f''(x) = 0.
Det finns alltså bara en inflexionspunkt till funktionen. Beroende på hur man väljer de fyra koefficienterna i f(x) är det möjligt att denna inflexionspunkt också är en terrasspunkt, men det kan aldrig finnas mer än en eftersom det bara finns en lösning till f''(x) = 0. Tredjegradsfunktioner kan alltså maximalt ha en terrasspunkt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"st","answer":{"text":["3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-3","-0,5","-2"]}}
security
report
code
security
report
code
I en inflexionspunkt byter andraderivatan tecken, dvs. går från att vara positiv till negativ eller vice versa. Detta sker när andraderivatans graf skär x-axeln. Om vi räknar hur många gånger grafen till f''(x) skär x-axeln får vi alltså reda på hur många inflexionspunkter funktionen f(x) har.
Vi ser att det sker 3 gånger, så funktionen f(x) har 3 inflexionspunkter.
Vi bestämmer nu för vilka x-värden förstaderivatan f'(x) har stationära punkter samt vilken karaktär de har. Vi behöver inse att förstaderivatans derivata, dvs. andraderivatan, är 0 i stationära punkter, precis som för vilken funktion som helst. Det betyder att vi kan ta reda på de x-värden där förstaderivatan har stationära punkter genom att läsa av i vilka x-värden andraderivatans graf skär x-axeln.
Vi inser att det är samma ställen som i föregående deluppgift, dvs. i x-värdena -3, -2 och -0,5. Till sist ska vi avgöra vilken karaktär respektive stationär punkt har. Vi gör det med hjälp av en teckentabell. Notera att tabellen ska innehålla f'(x) och f''(x) istället för f(x) och f'(x), som vi sett hittills. Vi börjar med att ställa upp tabellen och fylla i för vilka x-värden förstaderivatan har stationära punkter, dvs. där andraderivatan är 0.
| x | -3 | -2 | -0,5 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f''(x) | 0 | 0 | 0 | ||||
| f'(x) |
Vi använder nu grafen för att avgöra andraderivatans tecken till vänster om x=-3, på intervallen mellan de stationära punkterna samt till höger om x=-0,5.
Vi ser att andraderivatan är positiv mellan x-värdena -3 och -2 samt för x större än -0,5. Den är negativ mellan x-värdena -2 och -0,5 samt där x är mindre än -3. Vi fyller i detta i teckentabellen.
| x | -3 | -2 | -0,5 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f''(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
| f'(x) |
Till sist avgör vi hur förstaderivatans graf ser ut baserat på andraderivatans tecken.
| x | -3 | -2 | -0,5 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f''(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
| f'(x) | ↘ | Min | ↗ | Max | ↘ | Min | ↗ |
Förstaderivatan har alltså tre stationära punkter: två minpunkter i x=-3 och x=-0,5 samt en maxpunkt i x=-2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Det är givet att polynomfunktionen f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d har två extrempunkter. Är x-koordinaten av inflexionspunkten densamma som x-värdet mitt emellan dessa två extrempunkterna? Motivera ditt svar utförligt.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi bestämmer vilken x-koordinat funktionens inflexionspunkt har genom att lösa ekvationen f''(x) = 0, vilket betyder att vi först måste bestämma andraderivatan av f(x). Vi deriverar först en gång.
Vi deriverar sen en gång till för att få andraderivatan.
Vi sätter nu f''(x) = 0 och löser ut x för att bestämma var inflexionspunkten finns.
Inflexionspunkten har alltså x-koordinaten - b/3a. För att bestämma vilket x-värde som finns precis mittemellan extrempunkterna behöver vi känna till extrempunkternas egna x-koordinater. Vi tar reda på dem genom att lösa ekvationen f'(x) = 0. Vi använder pq-formeln för att göra det.
Vi ser att x-koordinaterna för de två extrempunkterna är nästan likadana, förutom tecknet framför rotuttrycket. Vi får alltså en extrempunkt som ligger ett visst avstånd till vänster om x = - b/3a och en som ligger på samma avstånd till höger. Då måste mittpunkten mellan dessa vara x = - b/3a. Detta är precis samma x-koordinat som i inflexionspunkten. Vi kan därför dra slutsatsen att inflexionspunkten ligger precis mittemellan de två extrempunkterna.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
För tredjegradsfunktionen f gäller att
- f'(2)=- 1
- f''(4)=0
Bestäm f'(6).
Nationella provet HT12 3b/3c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(6)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-1"]}}
security
report
code
security
report
code
Uttrycket f'(6) innebör att vi ska bestämma förstaderivatans värde när x=6. Från uppgiften vet vi att f är en tredjegradskurva så derivatan f' måste vara en andragradskurva. Sådana kurvor är symmetriska runt sin symmetrilinje som är x=0 i exemplet nedan. Symmetrilinjen går också alltid genom kurvans extrempunkt.
Nu tittar vi på villkoren. Första villkoret, f'(2) = - 1, innebär att förstaderivatan går genom punkten (2,- 1) . Det andra villkoret, f''(4) = 0 , säger att andraderivatan är 0 när x=4. Andraderivatan är förstaderivatans derivata så detta innebär att andragradskurvans lutning är 0 när x=4 . Den antar alltså en extrempunkt i x=4. Det betyder att symmetrilinjen är x=4.
Här har vi ritat kurvans extrempunkt som ett minimum, men det kan lika gärna vara ett maximum. Vi vet alltså inte i vilket y-värde som extrempunkten ligger, bara att dess x -koordinat är 4. Eftersom x=6 ligger på samma avstånd från symmetrilinjen x_s=4 som x=2 måste f'(6) ha samma y-värde som f'(2).
Detta betyder att f'(6)=- 1.
Eftersom funktionen f är av tredje graden kan den skrivs på formen
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.
Vi har fått villkor ställda på första- och andraderivatan, så vi börjar med att bestämma första och andraderivatan.
Då har vi ett uttryck för förstaderivatan, men innan vi använder den ser vi till att bestämma andraderivatan också.
Då har vi derivatorna på plats!
Villkor 2
Vi tittar nu på villkor 2. Eftersom andraderivatan endast innehåller två okända koefficienter är det troligare att vi får något användbart ur denna än ur förstaderivatan, därför börjar vi med andra villkoret. Vi sätter alltså in x=4 i andraderivatan, och vet att det ska bli noll. Då kan vi lösa ut a eller b .
Vi har nu ett samband mellan a och b !
Villkor 1
Nu kan vi använda resultatet b = - 12a tillsammans med det givna villkor 1 för att hitta ännu fler samband mellan våra okända.
Nu har vi ett samband mellan a och c !
f'(6)
Det sista steget är att försöka bestämma f'(6) . Vi vet fortfarande inte vad de olika koefficienterna har för värde, men ibland räcker det att veta sambanden mellan dem! Vi sätter alltså in x= 6 , b=- 12a och c = 36a-1 och ser om vi kommer någon vart.
Nu ser vi att f'(6) = - 1.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Andraderivata
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll