Andraderivata

Vi vet att terrasspunkter måste ha andraderivatan 0 eftersom de är inflexionspunkter. En generell polynomfunktion av tredje graden har utseendet f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Vi deriverar den två gånger för att få andraderivatan.

Vi undersöker nu vilka inflexionspunkter som finns till funktionen genom att lösa ekvationen f''(x) = 0.

Det finns alltså bara en inflexionspunkt till funktionen. Beroende på hur man väljer de fyra koefficienterna i f(x) är det möjligt att denna inflexionspunkt också är en terrasspunkt, men det kan aldrig finnas mer än en eftersom det bara finns en lösning till f''(x) = 0. Tredjegradsfunktioner kan alltså maximalt ha en terrasspunkt.

I en inflexionspunkt byter andraderivatan tecken, dvs. går från att vara positiv till negativ eller vice versa. Detta sker när andraderivatans graf skär x-axeln. Om vi räknar hur många gånger grafen till f''(x) skär x-axeln får vi alltså reda på hur många inflexionspunkter funktionen f(x) har.

Vi ser att det sker 3 gånger, så funktionen f(x) har 3 inflexionspunkter.

Vi bestämmer nu för vilka x-värden förstaderivatan f'(x) har stationära punkter samt vilken karaktär de har. Vi behöver inse att förstaderivatans derivata, dvs. andraderivatan, är 0 i stationära punkter, precis som för vilken funktion som helst. Det betyder att vi kan ta reda på de x-värden där förstaderivatan har stationära punkter genom att läsa av i vilka x-värden andraderivatans graf skär x-axeln.

Vi inser att det är samma ställen som i föregående deluppgift, dvs. i x-värdena -3, -2 och -0.5. Till sist ska vi avgöra vilken karaktär respektive stationär punkt har. Vi gör det med hjälp av en teckentabell. Notera att tabellen ska innehålla f'(x) och f''(x) istället för f(x) och f'(x), som vi sett hittills. Vi börjar med att ställa upp tabellen och fylla i för vilka x-värden förstaderivatan har stationära punkter, dvs. där andraderivatan är 0.

Vi använder nu grafen för att avgöra andraderivatans tecken till vänster om x=-3, på intervallen mellan de stationära punkterna samt till höger om x=-0.5.

Vi ser att andraderivatan är positiv mellan x-värdena -3 och -2 samt för x större än -0.5. Den är negativ mellan x-värdena -2 och -0.5 samt där x är mindre än -3. Vi fyller i detta i teckentabellen.

Till sist avgör vi hur förstaderivatans graf ser ut baserat på andraderivatans tecken.

Förstaderivatan har alltså tre stationära punkter: två minpunkter i x=-3 och x=-0.5 samt en maxpunkt i x=-2.

Vi bestämmer vilken x-koordinat funktionens inflexionspunkt har genom att lösa ekvationen f''(x) = 0, vilket betyder att vi först måste bestämma andraderivatan av f(x). Vi deriverar först en gång.

Vi deriverar sen en gång till för att få andraderivatan.

Vi sätter nu f''(x) = 0 och löser ut x för att bestämma var inflexionspunkten finns.

Inflexionspunkten har alltså x-koordinaten - b3a. För att bestämma vilket x-värde som finns precis mittemellan extrempunkterna behöver vi känna till extrempunkternas egna x-koordinater. Vi tar reda på dem genom att lösa ekvationen f'(x) = 0. Vi använder pq-formeln för att göra det.

Vi ser att x-koordinaterna för de två extrempunkterna är nästan likadana, förutom tecknet framför rotuttrycket. Vi får alltså en extrempunkt som ligger ett visst avstånd till vänster om x = - b3a och en som ligger på samma avstånd till höger. Då måste mittpunkten mellan dessa vara x = - b3a. Detta är precis samma x-koordinat som i inflexionspunkten. Vi kan därför dra slutsatsen att inflexionspunkten ligger precis mittemellan de två extrempunkterna.

Uttrycket f'(6) innebör att vi ska bestämma förstaderivatans värde när x=6. Från uppgiften vet vi att f är en tredjegradskurva så derivatan f' måste vara en andragradskurva. Sådana kurvor är symmetriska runt sin symmetrilinje som är x=0 i exemplet nedan. Symmetrilinjen går också alltid genom kurvans extrempunkt.

Nu tittar vi på villkoren. Första villkoret, f'(2) = - 1, innebär att förstaderivatan går genom punkten (2,- 1). Det andra villkoret, f''(4) = 0, säger att andraderivatan är 0 när x=4. Andraderivatan är förstaderivatans derivata så detta innebär att andragradskurvans lutning är 0 när x=4. Den antar alltså en extrempunkt i x=4. Det betyder att symmetrilinjen är x=4.

Här har vi ritat kurvans extrempunkt som ett minimum, men det kan lika gärna vara ett maximum. Vi vet alltså inte i vilket y-värde som extrempunkten ligger, bara att dess x-koordinat är 4. Eftersom x=6 ligger på samma avstånd från symmetrilinjen x_s=4 som x=2 måste f'(6) ha samma y-värde som f'(2).

Detta betyder att f'(6)=- 1.

Eftersom funktionen f är av tredje graden kan den skrivs på formen f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Vi har fått villkor ställda på första- och andraderivatan, så vi börjar med att bestämma första och andraderivatan.

Då har vi ett uttryck för förstaderivatan, men innan vi använder den ser vi till att bestämma andraderivatan också.

Då har vi derivatorna på plats!

Villkor 2

Vi tittar nu på villkor 2. Eftersom andraderivatan endast innehåller två okända koefficienter är det troligare att vi får något användbart ur denna än ur förstaderivatan, därför börjar vi med andra villkoret. Vi sätter alltså in x=4 i andraderivatan, och vet att det ska bli noll. Då kan vi lösa ut a eller b .

Vi har nu ett samband mellan a och b !

Villkor 1

Nu kan vi använda resultatet b = - 12a tillsammans med det givna villkor 1 för att hitta ännu fler samband mellan våra okända.

Nu har vi ett samband mellan a och c !

f'(6)

Det sista steget är att försöka bestämma f'(6). Vi vet fortfarande inte vad de olika koefficienterna har för värde, men ibland räcker det att veta sambanden mellan dem! Vi sätter alltså in x= 6, b=- 12a och c = 36a-1 och ser om vi kommer någon vart.

Nu ser vi att f'(6) = - 1.