Andraderivatan: Utforska Konkavitet och Konvexitet i Funktioner

Begrepp

Konvex och konkav

Om man vill undersöka en grafs utseende kan man studera dess lutning. Med hjälp av begreppen konvex och konkav kan man också undersöka hur lutningen förändras. Om en kurva buktar uppåt säger man att den är konkav, vilket innebär att grafens lutning minskar när man går mot större $x$ -värden. Buktar kurvan istället nedåt är den är konvex, och då ökar kurvans lutning.

Definitionen av en konkav funktion är att om en rät linje dras mellan två godtyckliga punkter på grafen ligger alla punkter på linjen under eller på kurvan. För konvexa funktioner ligger istället alla linjer mellan två punkter ovanför eller på kurvan. Vissa funktioner är konvexa och konkava på olika intervall, exempelvis funktionen i figuren.

Begrepp

Inflexionspunkt

Den punkt där en kurva byter från att vara konvex till att vara konkav eller vice versa kallas för inflexionspunkt. Exempelvis är den vita punkten i figuren en inflexionspunkt.

I en terrasspunkt byter kurvor konkavitet, och därför är terrasspunkter alltid inflexionspunkter.

Var är funktionen konvex och var är den konkav?

fullscreen

I figuren visas grafen till funktionen $f (x)$ med inflexionspunkten markerad.

För vilka $x$ är funktionen konkav och för vilka är den konvex?

Visa Lösning

Funktionen är konvex till vänster om inflexionspunkten eftersom den buktar nedåt där, och konkav till höger eftersom den buktar uppåt där. Om man känner sig osäker kan man alltid välja två punkter i varje område och rita ut raka sträckor mellan dem.

Sträckan i det vänstra området ligger ovanför grafen, så funktionen måste vara konvex där. I det högra området ligger den istället under vilket innebär att funktionen är konkav där. Själva inflexionspunkten ingår i båda intervallen, vilket betyder att funktionen är konvex när $x \leq 5$ och konkav när $x \geq 5 .$

Begrepp

Andraderivata

Andraderivatan av en funktion $f (x)$ är derivatan av funktionens derivata. För att bestämma andraderivatan till $f (x)$ deriverar man därför funktionen två gånger. Andraderivatan skrivs ofta $f^{''} (x),$ vilket utläses f bis av x.

På samma sätt som derivatan $f^{'} (x)$ beskriver hur lutningen på grafen till $f (x)$ förändras, beskriver andraderivatan hur lutningen på grafen till $f^{'} (x)$ förändras. Där andraderivatan är negativ är grafen till $f (x)$ konkav och där den är positiv är grafen till $f (x)$ konvex.

$f^{''} (x) < 0 \Rightarrow f (x)$ är konkav $(⌢)$

$f^{''} (x) > 0 \Rightarrow f (x)$ är konvex $(⌣)$

Förutom skrivsättet

f^{''} (x)

är

\frac{d ^{2} f}{d x ^{2}}

ett vanligt sätt att beteckna andraderivata.

Regel

Andraderivata i stationära punkter

Det finns ett samband mellan andraderivatans tecken och stationära punkters karaktär.

Regel

Andraderivatan är negativ eller positiv

Om andraderivatan i en stationär punkt är negativ är funktionen konkav där och punkten är en maximipunkt. Är andraderivatan istället positiv är funktionen konvex och den stationära punkten en minimipunkt.

Stationära punkter med positiv respektive negativ andraderivata

Regel

Andraderivatan är $0$

I inflexionspunkter, t.ex. terrasspunkter, är andraderivatan

0,

men det kan den även vara i extrempunkter. Så om andraderivatan är

0

i en stationär punkt säger det ingenting om dess karaktär. Den måste därför avgöras på något annat sätt, t.ex. genom att ställa upp en teckentabell.

Metod

Bestämma extrempunkter med första- och andraderivata

Med hjälp av förstaderivatan och andraderivatan kan man bestämma en funktions lokala extrempunkter och avgöra deras karaktär. Man kan t.ex. göra det för funktionen $f (x) = 0.25 x^{4} - 2 x^{3} + 4.5 x^{2} + 3 .$

Derivera funktionen

För att hitta extrempunkter börjar man med att derivera funktionen.

f (x) = 0.25 x^{4} - 2 x^{3} + 4.5 x^{2} + 3

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (0.25 x^{4}) - D (2 x^{3}) + D (4.5 x^{2}) + D (3)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + D (3)

DeriveConst

$D (a) = 0$

f^{'} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

Bestäm derivatans nollställen

Funktionens stationära punkter finns där derivatan är lika med $0 .$ För att hitta dessa punkter sätter man alltså $f^{'} (x)$ lika med $0$ och löser ekvationen.

x^{3} - 6 x^{2} + 9 x = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x \cdot x^{2} - x \cdot 6 x + x \cdot 9 = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (x^{2} - 6 x + 9) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x = 0 x^{2} - 6 x + 9 = 0

Den andra ekvationen kan lösas med $p q$ -formeln.

x^{2} - 6 x + 9 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 6, q = 9$

x = - \frac{- 6}{2} \pm (\frac{- 6}{2})^{2} - 9

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - (- 3) \pm (- 3)^{2} - 9

NegNeg

$- (- a) = a$

x = 3 \pm (- 3)^{2} - 9

CalcPow

Beräkna potens

x = 3 \pm 9 - 9

SubTerm

Subtrahera term

x = 3 \pm 0

SimpRadicalTerm

Förenkla rot & termer

x = 3

Derivatan har två nollställen:

x = 0

och

x = 3 .

Bestäm de stationära punkternas karaktär med andraderivata

Nu bestämmer man andraderivatan

f^{''} (x)

genom att derivera en gång till.

f^{'} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

Derive

Derivera funktion

f^{''} (x) = D (x^{3}) - D (6 x^{2}) + D (9 x)

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = 3 x^{2} - D (6 x^{2}) + D (9 x)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + D (9 x)

DeriveXCo

$D (a x) = a$

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9

Därefter sätter man in $x$ -värdena för de stationära punkterna i $f^{''} (x),$ vilka man beräknade i förra steget, för att bestämma andraderivatans tecken i dessa.

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9

Substitute

$x = 0$

f^{''} (0) = 3 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0 + 9

CalcPow

Beräkna potens

f^{''} (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{''} (0) = 9

När $x$ är $0$ är andraderivatan $9,$ alltså positiv, vilket innebär att $f (x)$ har en minimipunkt där.

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9

Substitute

$x = 3$

f^{''} (3) = 3 \cdot 3^{2} - 12 \cdot 3 + 9

CalcPow

Beräkna potens

f^{''} (3) = 3 \cdot 9 - 12 \cdot 3 + 9

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{''} (3) = 27 - 36 + 9

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

f^{''} (3) = 0

När $x = 3$ är andraderivatan $0 .$ Det säger inget om vilken sorts stationär punkt som finns där. Det kan vara en terrasspunkt, men det kan också vara en maximi- eller minimipunkt.

Gör en teckentabell för eventuella stationära punkter där

f^{''} (x) = 0

Om någon stationär punkt har andraderivatan $0$ kan denna vara antingen en terrass-, maximi- eller minimipunkt. För att avgöra karaktären kan man göra en teckentabell kring den. $x$ -värdena man väljer får inte ligga på andra sidan om övriga stationära punkter. Här innebär det att man ska välja ett $x$ -värde på intervallet $0 < x < 3$ och ett på intervallet $x > 3 .$

$x$	$0$		$3$
$f^{'} (x)$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	Min	$↗$	Ter.	$↗$

Förstaderivatan är positiv både till höger och vänster om $x = 3 .$ Det finns alltså en terrasspunkt där.

Uteslut eventuella terrasspunkter

Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter utesluter man dessa, i det här fallet punkten där $x = 3 .$

Bestäm extrempunkternas koordinater

Slutligen bestämmer man funktionsvärdena för extrempunkterna. Här finns det en extrempunkt där

x = 0,

och detta

x

-värde sätter man in i funktionsuttrycket.

f (x) = 0.25 x^{4} - 2 x^{3} + 4.5 x^{2} + 3

Substitute

$x = 0$

f (0) = 0.25 \cdot 0^{4} - 2 \cdot 0^{3} + 4.5 \cdot 0^{2} + 3

CalcPow

Beräkna potens

f (0) = 0.25 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 4.5 \cdot 0 + 3

Multiply

Multiplicera faktorer

f (0) = 3

Funktionen har alltså ett minimum i $(0, 3) .$

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Var är funktionen konvex och var är den konkav?