body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 3b Visa detaljer

4. Andraderivata

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 4

Andraderivata

Dyk in i konceptet andraderivatan och dess roll i att bestämma formen på matematiska funktioner. Denna lektion förklarar hur andraderivatan kan användas för att bestämma om en funktion är konkav eller konvex. Du får även lära dig om inflektionspunkter, där en funktion byter från att vara konkav till konvex eller vice versa. Dessutom introduceras du till hur andraderivatan kan användas för att identifiera lokala extrempunkter och bestämma deras karaktär. Denna kunskap är viktig för att förstå och analysera funktioners beteende och form. Genom att förstå dessa koncept kan du få en djupare förståelse för matematik och dess tillämpningar i vardagen, från att lösa komplexa problem till att förstå och analysera data.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	16 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Andraderivata

Sida av 6

Begrepp

Konvex och konkav

Om man vill undersöka en grafs utseende kan man studera dess lutning. Med hjälp av begreppen konvex och konkav kan man också undersöka hur lutningen förändras. Om en kurva buktar uppåt säger man att den är konkav, vilket innebär att grafens lutning minskar när man går mot större $x$ -värden. Buktar kurvan istället nedåt är den är konvex, och då ökar kurvans lutning.

Definitionen av en konkav funktion är att om en rät linje dras mellan två godtyckliga punkter på grafen ligger alla punkter på linjen under eller på kurvan. För konvexa funktioner ligger istället alla linjer mellan två punkter ovanför eller på kurvan. Vissa funktioner är konvexa och konkava på olika intervall, exempelvis funktionen i figuren.

Begrepp

Inflexionspunkt

Den punkt där en kurva byter från att vara konvex till att vara konkav eller vice versa kallas för inflexionspunkt. Exempelvis är den vita punkten i figuren en inflexionspunkt.

I en terrasspunkt byter kurvor konkavitet, och därför är terrasspunkter alltid inflexionspunkter.

Var är funktionen konvex och var är den konkav?

fullscreen

I figuren visas grafen till funktionen $f (x)$ med inflexionspunkten markerad.

För vilka $x$ är funktionen konkav och för vilka är den konvex?

Visa Lösning

Funktionen är konvex till vänster om inflexionspunkten eftersom den buktar nedåt där, och konkav till höger eftersom den buktar uppåt där. Om man känner sig osäker kan man alltid välja två punkter i varje område och rita ut raka sträckor mellan dem.

Sträckan i det vänstra området ligger ovanför grafen, så funktionen måste vara konvex där. I det högra området ligger den istället under vilket innebär att funktionen är konkav där. Själva inflexionspunkten ingår i båda intervallen, vilket betyder att funktionen är konvex när $x \leq 5$ och konkav när $x \geq 5 .$

Begrepp

Andraderivata

Andraderivatan av en funktion $f (x)$ är derivatan av funktionens derivata. För att bestämma andraderivatan till $f (x)$ deriverar man därför funktionen två gånger. Andraderivatan skrivs ofta $f^{''} (x),$ vilket utläses f bis av x.

På samma sätt som derivatan $f^{'} (x)$ beskriver hur lutningen på grafen till $f (x)$ förändras, beskriver andraderivatan hur lutningen på grafen till $f^{'} (x)$ förändras. Där andraderivatan är negativ är grafen till $f (x)$ konkav och där den är positiv är grafen till $f (x)$ konvex.

$f^{''} (x) < 0 \Rightarrow f (x)$ är konkav $(⌢)$

$f^{''} (x) > 0 \Rightarrow f (x)$ är konvex $(⌣)$

Förutom skrivsättet

f^{''} (x)

är

\frac{d ^{2} f}{d x ^{2}}

ett vanligt sätt att beteckna andraderivata.

Regel

Andraderivata i stationära punkter

Det finns ett samband mellan andraderivatans tecken och stationära punkters karaktär.

Regel

Andraderivatan är negativ eller positiv

Om andraderivatan i en stationär punkt är negativ är funktionen konkav där och punkten är en maximipunkt. Är andraderivatan istället positiv är funktionen konvex och den stationära punkten en minimipunkt.

Stationära punkter med positiv respektive negativ andraderivata

Regel

Andraderivatan är $0$

I inflexionspunkter, t.ex. terrasspunkter, är andraderivatan

0,

men det kan den även vara i extrempunkter. Så om andraderivatan är

0

i en stationär punkt säger det ingenting om dess karaktär. Den måste därför avgöras på något annat sätt, t.ex. genom att ställa upp en teckentabell.

Metod

Bestämma extrempunkter med första- och andraderivata

Med hjälp av förstaderivatan och andraderivatan kan man bestämma en funktions lokala extrempunkter och avgöra deras karaktär. Man kan t.ex. göra det för funktionen $f (x) = 0.25 x^{4} - 2 x^{3} + 4.5 x^{2} + 3 .$

Derivera funktionen

För att hitta extrempunkter börjar man med att derivera funktionen.

f (x) = 0.25 x^{4} - 2 x^{3} + 4.5 x^{2} + 3

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (0.25 x^{4}) - D (2 x^{3}) + D (4.5 x^{2}) + D (3)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + D (3)

DeriveConst

$D (a) = 0$

f^{'} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

Bestäm derivatans nollställen

Funktionens stationära punkter finns där derivatan är lika med $0 .$ För att hitta dessa punkter sätter man alltså $f^{'} (x)$ lika med $0$ och löser ekvationen.

x^{3} - 6 x^{2} + 9 x = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x \cdot x^{2} - x \cdot 6 x + x \cdot 9 = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (x^{2} - 6 x + 9) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x = 0 x^{2} - 6 x + 9 = 0

Den andra ekvationen kan lösas med $p q$ -formeln.

x^{2} - 6 x + 9 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 6, q = 9$

x = - \frac{- 6}{2} \pm (\frac{- 6}{2})^{2} - 9

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - (- 3) \pm (- 3)^{2} - 9

NegNeg

$- (- a) = a$

x = 3 \pm (- 3)^{2} - 9

CalcPow

Beräkna potens

x = 3 \pm 9 - 9

SubTerm

Subtrahera term

x = 3 \pm 0

SimpRadicalTerm

Förenkla rot & termer

x = 3

Derivatan har två nollställen:

x = 0

och

x = 3 .

Bestäm de stationära punkternas karaktär med andraderivata

Nu bestämmer man andraderivatan

f^{''} (x)

genom att derivera en gång till.

f^{'} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

Derive

Derivera funktion

f^{''} (x) = D (x^{3}) - D (6 x^{2}) + D (9 x)

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = 3 x^{2} - D (6 x^{2}) + D (9 x)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + D (9 x)

DeriveXCo

$D (a x) = a$

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9

Därefter sätter man in $x$ -värdena för de stationära punkterna i $f^{''} (x),$ vilka man beräknade i förra steget, för att bestämma andraderivatans tecken i dessa.

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9

Substitute

$x = 0$

f^{''} (0) = 3 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0 + 9

CalcPow

Beräkna potens

f^{''} (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{''} (0) = 9

När $x$ är $0$ är andraderivatan $9,$ alltså positiv, vilket innebär att $f (x)$ har en minimipunkt där.

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9

Substitute

$x = 3$

f^{''} (3) = 3 \cdot 3^{2} - 12 \cdot 3 + 9

CalcPow

Beräkna potens

f^{''} (3) = 3 \cdot 9 - 12 \cdot 3 + 9

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{''} (3) = 27 - 36 + 9

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

f^{''} (3) = 0

När $x = 3$ är andraderivatan $0 .$ Det säger inget om vilken sorts stationär punkt som finns där. Det kan vara en terrasspunkt, men det kan också vara en maximi- eller minimipunkt.

Gör en teckentabell för eventuella stationära punkter där

f^{''} (x) = 0

Om någon stationär punkt har andraderivatan $0$ kan denna vara antingen en terrass-, maximi- eller minimipunkt. För att avgöra karaktären kan man göra en teckentabell kring den. $x$ -värdena man väljer får inte ligga på andra sidan om övriga stationära punkter. Här innebär det att man ska välja ett $x$ -värde på intervallet $0 < x < 3$ och ett på intervallet $x > 3 .$

$x$	$0$		$3$
$f^{'} (x)$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	Min	$↗$	Ter.	$↗$

Förstaderivatan är positiv både till höger och vänster om $x = 3 .$ Det finns alltså en terrasspunkt där.

Uteslut eventuella terrasspunkter

Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter utesluter man dessa, i det här fallet punkten där $x = 3 .$

Bestäm extrempunkternas koordinater

Slutligen bestämmer man funktionsvärdena för extrempunkterna. Här finns det en extrempunkt där

x = 0,

och detta

x

-värde sätter man in i funktionsuttrycket.

f (x) = 0.25 x^{4} - 2 x^{3} + 4.5 x^{2} + 3

Substitute

$x = 0$

f (0) = 0.25 \cdot 0^{4} - 2 \cdot 0^{3} + 4.5 \cdot 0^{2} + 3

CalcPow

Beräkna potens

f (0) = 0.25 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 4.5 \cdot 0 + 3

Multiply

Multiplicera faktorer

f (0) = 3

Funktionen har alltså ett minimum i $(0, 3) .$

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Andraderivata

Övningar

Bestäm andraderivatan för funktionen.

f (x) = x^{2} + 4 x - 5

g (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 7 x + 9

h (x) = x^{23}

k (x) = x^{- 2}

r (x) = e^{5 x}

För att bestämma andraderivatan till en funktion deriverar man den två gånger. Vi deriverar först en gång för att bestämma förstaderivatan.

Sedan deriverar vi en gång till för att få andraderivatan.

Andraderivatan är alltså f''(x) = 2.

Vi gör på samma sätt för den här funktionen och börjar med att derivera den en gång.

Vi deriverar sedan en gång till.

Vi börjar återigen med att derivera funktionen en gång.

Vi bestämmer sedan andraderivatan genom att derivera en gång till.

Vi gör samma sak igen. Först deriverar vi funktionen en gång.

Sedan deriverar vi en gång till.

Samma sak, en sista gång. Vi deriverar funktionen.

Vi deriverar den sedan en gång till.

Funktionen

f (x) = x^{3} - 3 x^{2}

har en inflexionspunkt. Bestäm dess

x

-värde.

I en inflexionspunkt är andraderivatan 0. Vi kan därför bestämma punktens x-värde genom att lösa ekvationen f''(x)=0. För att göra det måste vi först bestämma andraderivatan, f''(x), så vi deriverar f(x) två gånger.

Andraderivatan är alltså f''(x)=6x-6. Vi sätter nu denna lika med 0 och löser ut x.

Det är givet att funktionen har en inflexionspunkt och eftersom det endast finns en punkt där andraderivatan är 0 måste detta vara den sökta inflexionspunkten. Den har alltså x-värdet 1.

Vilket tecken har funktionens andraderivata i den markerade punkten?

Grafen till en tredjegradsfunktion med terrasspunkt.

Punkten som är markerad på grafen till f är ett maximum. Att bestämma andraderivatans tecken i denna punkt innebär att vi ska avgöra om andraderivatan är positiv eller negativ där. Vi använder de samband som finns mellan andraderivatans tecken och stationära punkter. De säger att andraderivatan är positiv i en minimipunkt, eftersom lutningen ökar där, och negativ i en maximipunkt, eftersom lutningen minskar där. Alltså är andraderivatans tecken negativt här, d.v.s. f''<0.

Nu är punkten ett minimum. Sambanden säger att andraderivatan är positiv i en minimipunkt, eftersom lutningen ökar där. Därför är andraderivatans tecken positivt, d.v.s. f''>0.

Vi gör på samma sätt som tidigare, dvs. använder sambanden mellan andraderivatans tecken och stationära punkter. De ger oss att andraderivatan i terrasspunkten till funktion g är lika med , eftersom lutningen byter från att öka till att minska där (eller tvärtom).

På vilket intervall är funktionen konvex? Eventuella inflexionspunkter är markerade.

En tredjegradsfunktion h(x) med terrasspunkt.

Eftersom g har en inflexionspunkt i x=-1 så kommer funktionen vara konvex på ena sidan om denna punkt och konkav på andra sidan. Vi ritar linjer på de två intervallen för att avgöra på vilken av sidorna funktionen är konvex och konkav.

På intervallet till vänster om inflexionspunkten ligger linjen under grafen, så funktionen är konkav där x≤-1. Till höger ligger linjen istället ovanför grafen, så funktionen är konvex där x≥-1.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift, dvs. ritar ut sträckor på intervallen till höger och vänster om inflexionspunkten.

Även här ligger linjen under grafen på intervallet till vänster om inflexionspunkten, så funktionen är konkav när x≤0. På andra sidan inflexionspunkten, dvs. där x≥0, är funktionen istället konvex, eftersom linjen ligger ovanför grafen där.

Bestäm extrempunkterna till funktionen

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 45 x

och avgör deras karaktär.

Vi använder funktionens första- och andraderivata för att bestämma dess extrempunkter. Vi börjar med att derivera funktionen och sätta derivatan lika med 0 för att bestämma i vilka x-värden f(x) har stationära punkter.

Vi sätter derivatan lika med 0 och löser ekvationen.

Funktionen har alltså stationära punkter i x=-3 och x=5. Vi avgör nu vilken karaktär de har genom att undersöka andraderivatans tecken i dessa x-värden. Vi deriverar därför funktionen en andra gång, dvs. vi deriverar f'(x).

Nu sätter vi in x=-3 och x=5 i f''(x).

x	6x-6	f''(x)	Tecken
-3	6*( -3)-6	-24	-
5	6* 5-6	24	+

Om andraderivatan är negativ i en stationär punkt har funktionen en maximipunkt där, medan en positiv andraderivata indikerar att punkten är ett minimum. Funktionen f(x) har alltså en maximipunkt i x=-3 och en minimipunkt i x=5. Till sist bestämmer vi extrempunkternas y-värden genom att sätta in x-värdena i f(x). Vi börjar med x=-3.

Nu sätter vi in x=5.

Vi kan konstatera att funktionen har en maximipunkt i (-3,81) och en minimipunkt i (5,-175).

Bestäm extrempunkterna till funktionen

f (x) = 0.25 x^{4} - x^{3} + 6

och avgör deras karaktär.

Vi använder funktionens första- och andraderivata för att bestämma extrempunkterna. Vi börjar med att derivera funktionen och lösa ekvationen f'(x)=0 för att bestämma i vilka x-värden f(x) har stationära punkter.

Vi sätter derivatan lika med 0 och löser ekvationen med nollproduktmetoden.

Funktionen har stationära punkter i x=0 och x=3. Vi avgör nu vilken karaktär de har genom att undersöka andraderivatans tecken för dessa x-värden. Vi deriverar därför en gång till.

Nu sätter vi in de stationära punkternas x-värden 0 och 3 i f''(x).

x	3x^2-6x	f''(x)	Tecken
0	3* 0^2-6* 0	0	0
3	3* 3^2-6* 3	9	+

Om andraderivatan är positiv i en stationär punkt har funktionen en minimipunkt där, så f(x) har en minimipunkt i x=3. Om andraderivatan är 0, som i x=0, kan vi inte veta vilken karaktär den stationära punkten har, utan måste undersöka det med en teckentabell. Vi väljer ett x på intervallet x<0, t.ex. -1, och ett på intervallet 0 < x < 3, t.ex. 1, och avgör förstaderivatans tecken där.

x	x^3-3x^2	f'(x)	Tecken
-1	( -1)^3-3*( -1)^2	-4	-
1	1^3-3* 1^2	-2	-

Vi ser att derivatan är negativ både till vänster och höger om x=0 och skriver in det i en teckentabell. Baserat på derivatans tecken fyller vi också i hur funktionens graf ser ut.

x		0
f'(x)	-	0	-
f(x)	↘	Ter.	↘

Den stationära punkten i x=0 är alltså en terrasspunkt. Och eftersom vi är ute efter extrempunkter, dvs. maximi- och minimipunkter, måste vi utesluta denna terrasspunkt. Vi avslutar med att bestämma y-värdet för minimipunkten i x=3 genom att sätta in detta x-värde i f(x).

Funktionen f(x) har alltså en minimipunkt i (3,-0.75).

För funktionen $f$ gäller att $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ . Bestäm med hjälp av derivata koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter för funktionens graf. Bestäm också karaktär för respektive punkt, det vill säga om det är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Nationella provet HT12 3b/3c

Vi använder metoden för att bestämma extrempunkter med första- och andraderivata, och börjar då med att derivera funktionen.

Vi bestämmer sedan var funktionen har stationära punkter genom att hitta derivatans nollställen. Vi löser alltså ekvationen f'(x) = 0, vilket i det här fallet görs enklast med nollproduktmetoden.

Det finns alltså två stationära punkter: en i x = 0 och en i x = 2. Nu kan vi använda funktionens andraderivata för att bestämma punkternas karaktär, men först måste vi bestämma andraderivatan genom att derivera f'(x).

Vi sätter nu in x-värdena 0 och 2 i andraderivatan.

x	6x-6	f''(x)	Tecken
0	6* 0-6	-6	-
2	6* 2-6	6	+

Eftersom andraderivatan är negativ i x=0 finns där ett maximum. I x=2 är andraderivatan istället positiv, så där har funktionen ett minimum. Nu känner vi till punkternas karaktär och deras x-koordinater, men saknar fortfarande y-koordinaterna. De bestämmer vi genom att sätta in x = 0 och x = 2 i f(x). Då får vi f(0) = 0^3 - 3 * 0^2 = 0 och f(2) = 2^3 - 3 * 2^2 = -4. Funktionen f(x) har alltså ett maximum i (0,0) och ett minimum i (2,-4).

Andraderivata

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll