Logga in
| 6 sidor teori |
| 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Om man vill undersöka en grafs utseende kan man studera dess lutning. Med hjälp av begreppen konvex och konkav kan man också undersöka hur lutningen förändras. Om en kurva buktar uppåt säger man att den är konkav, vilket innebär att grafens lutning minskar när man går mot större x-värden. Buktar kurvan istället nedåt är den är konvex, och då ökar kurvans lutning.
Definitionen av en konkav funktion är att om en rät linje dras mellan två godtyckliga punkter på grafen ligger alla punkter på linjen under eller på kurvan. För konvexa funktioner ligger istället alla linjer mellan två punkter ovanför eller på kurvan. Vissa funktioner är konvexa och konkava på olika intervall, exempelvis funktionen i figuren.
Den punkt där en kurva byter från att vara konvex till att vara konkav eller vice versa kallas för inflexionspunkt. Exempelvis är den vita punkten i figuren en inflexionspunkt.
I figuren visas grafen till funktionen f(x) med inflexionspunkten markerad.
För vilka x är funktionen konkav och för vilka är den konvex?
Funktionen är konvex till vänster om inflexionspunkten eftersom den buktar nedåt där, och konkav till höger eftersom den buktar uppåt där. Om man känner sig osäker kan man alltid välja två punkter i varje område och rita ut raka sträckor mellan dem.
Sträckan i det vänstra området ligger ovanför grafen, så funktionen måste vara konvex där. I det högra området ligger den istället under vilket innebär att funktionen är konkav där. Själva inflexionspunkten ingår i båda intervallen, vilket betyder att funktionen är konvex när x≤5 och konkav när x≥5.
Andraderivatan av en funktion f(x) är derivatan av funktionens derivata. För att bestämma andraderivatan till f(x) deriverar man därför funktionen två gånger. Andraderivatan skrivs ofta f′′(x), vilket utläses f bis av x.
På samma sätt som derivatan f′(x) beskriver hur lutningen på grafen till f(x) förändras, beskriver andraderivatan hur lutningen på grafen till f′(x) förändras. Där andraderivatan är negativ är grafen till f(x) konkav och där den är positiv är grafen till f(x) konvex.
f′′(x)<0⇒f(x) är konkav (⌢)
f′′(x)>0⇒f(x) är konvex (⌣)
Det finns ett samband mellan andraderivatans tecken och stationära punkters karaktär.
Med hjälp av förstaderivatan och andraderivatan kan man bestämma en funktions lokala extrempunkter och avgöra deras karaktär. Man kan t.ex. göra det för funktionen f(x)=0.25x4−2x3+4.5x2+3.
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
D(a)=0
Funktionens stationära punkter finns där derivatan är lika med 0. För att hitta dessa punkter sätter man alltså f′(x) lika med 0 och löser ekvationen.
Dela upp i faktorer
Bryt ut x
Använd nollproduktmetoden
Den andra ekvationen kan lösas med pq-formeln.
Använd pq-formeln: p=−6,q=9
Beräkna kvot
−(−a)=a
Beräkna potens
Subtrahera term
Förenkla rot & termer
Derivera funktion
D(xn)=nxn−1
D(axn)=a⋅nxn−1
D(ax)=a
Därefter sätter man in x-värdena för de stationära punkterna i f′′(x), vilka man beräknade i förra steget, för att bestämma andraderivatans tecken i dessa.
x=0
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
När x är 0 är andraderivatan 9, alltså positiv, vilket innebär att f(x) har en minimipunkt där.
x=3
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
Addera och subtrahera termer
När x=3 är andraderivatan 0. Det säger inget om vilken sorts stationär punkt som finns där. Det kan vara en terrasspunkt, men det kan också vara en maximi- eller minimipunkt.
Om någon stationär punkt har andraderivatan 0 kan denna vara antingen en terrass-, maximi- eller minimipunkt. För att avgöra karaktären kan man göra en teckentabell kring den. x-värdena man väljer får inte ligga på andra sidan om övriga stationära punkter. Här innebär det att man ska välja ett x-värde på intervallet 0<x<3 och ett på intervallet x>3.
x | 0 | 3 | ||
---|---|---|---|---|
f′(x) | 0 | + | 0 | + |
f(x) | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
Förstaderivatan är positiv både till höger och vänster om x=3. Det finns alltså en terrasspunkt där.
Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter utesluter man dessa, i det här fallet punkten där x=3.
x=0
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
Funktionen har alltså ett minimum i (0,3).
För att kunna förenkla uttrycket måste vi först bestämma derivatan y' och andraderivatan y''. Vi börjar med förstaderivatan.
Vi deriverar den en gång till för att få andraderivatan.
Vi har nu uttryck för både y' och y'' som vi kan sätta in i y'' + y' och förenkla.
Vi får alltså att y'' + y' = 4x^3 - 24x + 6e^(-3x).
Vi använder funktionens första- och andraderivata för att bestämma extrempunkterna. Vi börjar med att derivera funktionen och lösa ekvationen g'(x)=0 för att bestämma i vilka x-värden g(x) har stationära punkter. Tänk på att varje term kan skrivas om så att konstanten står multiplicerat med variabeltermen. g(x)=x^4/4-3x^5/5+x^6/6=1/4x^4-3/5x^5+1/6x^6 Detta underlättar när vi deriverar.
Vi sätter nu derivatan lika med 0 och löser ekvationen med nollproduktmetoden.
En av funktionens stationära punkter finns alltså i x=0. Vi löser den andra ekvationen med pq-formeln.
Förutom i x=0 har funktionen alltså stationära punkter i x=1.5-sqrt(1.25) och x=1.5+sqrt(1.25). Vi behåller x-värdena på denna exakta form så länge för att undvika avrundningsfel. Vi avgör nu vilken karaktär de stationära punkterna har genom att undersöka andraderivatans tecken för dessa x-värden. Vi deriverar därför en gång till.
Nu sätter vi in de stationära punkternas x-värden i g''(x). Vi gör det ett i taget och börjar med x=0.
Nu sätter vi in x=1.5-sqrt(1.25) i g''(x).
Och till sist sätter vi in x=1.5+sqrt(1.25).
Vi sammanfattar våra resultat i en tabell.
x | g''(x) | Tecken |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
1.5-sqrt(1.25) | -0.12461... | - |
1.5+sqrt(1.25) | 40.12461... | + |
Nu kan vi använda tecknet på andraderivatan för att avgöra karaktären på två av de stationära punkterna.
x | Typ |
---|---|
1.5-sqrt(1.25) | Maximi |
1.5+sqrt(1.25) | Minimi |
Andraderivatan är 0 i x=0, så där behövs en teckentabell. Vi väljer ett x på intervallet x<0, t.ex. -1, och ett på intervallet 0 < x < 1.5-sqrt(1.25). Slår vi in 1.5-sqrt(1.25) på räknare ser vi att det behövs ett x-värde mellan 0 och ca 0.38, t.ex. 0.2. Vi avgör förstaderivatans tecken för dessa x.
x | x^3-3x^4+x^5 | g'(x) | Tecken |
---|---|---|---|
-1 | ( -1)^3-3*( -1)^4+( -1)^5 | -5 | - |
0.2 | 0.2^3-3* 0.2^4+ 0.2^5 | 0.00352 | + |
Vi ser att derivatan är negativ till vänster om x=0 och positiv till höger. Vi skriver in det i en teckentabell. Baserat på derivatans tecken fyller vi också i hur funktionens graf ser ut.
x | 0 | ||
---|---|---|---|
g'(x) | - | 0 | + |
g(x) | ↘ | Min | ↗ |
Den stationära punkten i x=0 är alltså en minimipunkt. Vi avslutar med att bestämma y-värdena för samtliga extrempunkter genom att sätta in respektive x-värde i funktionen g(x). Vi börjar med x=0.
Nu sätter vi in x=1.5-sqrt(1.25) i g(x).
Till sist sätter vi in x=1.5+sqrt(1.25).
Eftersom vi ska ange koordinaterna med två värdesiffror måste vi även beräkna och avrunda x-värdena 1.5-sqrt(1.25) och 1.5+sqrt(1.25). &1.5-sqrt(1.25)=0.38196...≈0.38 &1.5+sqrt(1.25)=2.61803...≈2.6 Funktionen g(x) har alltså tre extrempunkter: två minimipunkter i (0,0) och (2.6,-8.4) samt en maximipunkt i (0.38,0.00096).
Vi börjar med att ta reda på i vilka x-värden funktionen har stationära punkter genom att derivera funktionen och lösa ekvationen p'(x)=0.
Vi löser p'(x)=0 med nollproduktmetoden.
Här kan vi stanna, eftersom inget tal upphöjt till 4 blir negativt. Ekvation (II) har därför inga reella lösningar, och ger därmed inga ytterligare stationära punkter. p(x) har därmed endast en stationär punkt och den finns i x=0. Dess karaktär avgör vi genom att sätta in x=0 i andraderivatan. Vi finner p''(x) genom att derivera ytterligare en gång.
Vi sätter in x=0 i andraderivatan. p''(0)=42*0^5+6*0=0
Eftersom andraderivatan är 0 kan vi inte direkt dra någon slutsats om den stationära punktens karaktär, utan behöver undersöka vidare med teckentabell. Vi kontrollerar förstaderivatans tecken för ett x-värde som är mindre än 0 och ett som är större än 0, t.ex. -1 och 1.
x | 7x^6+3x^2 | p'(x) | Tecken |
---|---|---|---|
-1 | 7*( -1)^6+3*( -1)^2 | 10 | + |
1 | 7* 1^6+3* 1^2 | 10 | + |
Förstaderivatan är alltså positiv både till höger och vänster om den stationära punkten. Det innebär att funktionen är växande på båda sidor om denna och att punkten själv är en terrasspunkt.
x | 0 | ||
---|---|---|---|
p'(x) | + | 0 | + |
p(x) | ↗ | Ter. | ↗ |
Eftersom funktionen bara har en stationär punkt och denna är en terrasspunkt måste p(x) alltså sakna extrempunkter.
Vi vet att funktionen f(x) skär y-axeln när y = -5, vilket innebär att punkten (0,-5) måste finnas på grafen. Vi ska alltså kunna sätta in x = 0 i f(x) och få funktionsvärdet -5. Det kan vi utnyttja för att bestämma konstanten c.
Sätter vi in detta i funktionen får vi f(x) = ax^3 + bx^2 - 5. För att bestämma a och b använder vi det vi vet om inflexionspunkten. Den har koordinaterna (1,7), vilket betyder att x-värdet 1 ska ge funktionsvärdet 7.
Nu har vi ett samband mellan a och b, men för att kunna lösa ut dem behöver vi ett till. Det får vi från andraderivatan i punkten, som måste vara 0 eftersom det är en inflexionspunkt. Vi bestämmer först f''(x) genom att derivera f(x) två gånger.
Andraderivatan är 0 i inflexionspunkten, vilket ger sambandet f''(1) = 0.
Vi har nu två ekvationer med två okända variabler, vilket betyder att vi kan ställa upp ett ekvationssystem.
Nu har vi bestämt alla konstanter, vilket ger
f(x) = -6x^3 + 18x^2 - 5.
Vi måste undersöka både om en generell andragradsfunktion alltid har en extrempunkt och om tecknet på a bestämmer karaktären. Vi börjar med att undersöka om den har en extrempunkt. Vi känner inte till värdena på koefficienterna a, b och c, men vi kan ändå derivera funktionen.
Om ekvationen f'(x) = 0 har en lösning vet vi att f(x) har en stationär punkt.
Generellt kommer det alltså att finnas en stationär punkt för x = - b2a. För att investigera hur punktens karaktär beror på a kan vi använda andraderivatan, så vi deriverar funktionen en gång till för att få f''(x).
Andraderivatan beror alltså inte på x utan är lika med 2a överallt, inklusive för x = - b2a, där den stationära punkten finns. Det innebär att om a är positiv måste även andraderivatan vara det, vilket betyder att den stationära punkten är ett minimum. Om a är negativ är andraderivatan också negativ och den stationära punkten är ett maximum. Svaret är alltså ja.