Andraderivata

För att kunna förenkla uttrycket måste vi först bestämma derivatan y' och andraderivatan y''. Vi börjar med förstaderivatan.

Vi deriverar den en gång till för att få andraderivatan.

Vi har nu uttryck för både y' och y'' som vi kan sätta in i y'' + y' och förenkla.

Vi får alltså att y'' + y' = 4x^3 - 24x + 6e^(-3x).

Vi använder funktionens första- och andraderivata för att bestämma extrempunkterna. Vi börjar med att derivera funktionen och lösa ekvationen g'(x)=0 för att bestämma i vilka x-värden g(x) har stationära punkter. Tänk på att varje term kan skrivas om så att konstanten står multiplicerat med variabeltermen. g(x)=x^4/4-3x^5/5+x^6/6=1/4x^4-3/5x^5+1/6x^6 Detta underlättar när vi deriverar.

Vi sätter nu derivatan lika med 0 och löser ekvationen med nollproduktmetoden.

En av funktionens stationära punkter finns alltså i x=0. Vi löser den andra ekvationen med pq-formeln.

Förutom i x=0 har funktionen alltså stationära punkter i x=1.5-sqrt(1.25) och x=1.5+sqrt(1.25). Vi behåller x-värdena på denna exakta form så länge för att undvika avrundningsfel. Vi avgör nu vilken karaktär de stationära punkterna har genom att undersöka andraderivatans tecken för dessa x-värden. Vi deriverar därför en gång till.

Nu sätter vi in de stationära punkternas x-värden i g''(x). Vi gör det ett i taget och börjar med x=0.

Nu sätter vi in x=1.5-sqrt(1.25) i g''(x).

Och till sist sätter vi in x=1.5+sqrt(1.25).

Vi sammanfattar våra resultat i en tabell.

Nu kan vi använda tecknet på andraderivatan för att avgöra karaktären på två av de stationära punkterna.

Andraderivatan är 0 i x=0, så där behövs en teckentabell. Vi väljer ett x på intervallet x<0, t.ex. -1, och ett på intervallet 0 < x < 1.5-sqrt(1.25). Slår vi in 1.5-sqrt(1.25) på räknare ser vi att det behövs ett x-värde mellan 0 och ca 0.38, t.ex. 0.2. Vi avgör förstaderivatans tecken för dessa x.

Vi ser att derivatan är negativ till vänster om x=0 och positiv till höger. Vi skriver in det i en teckentabell. Baserat på derivatans tecken fyller vi också i hur funktionens graf ser ut.

Den stationära punkten i x=0 är alltså en minimipunkt. Vi avslutar med att bestämma y-värdena för samtliga extrempunkter genom att sätta in respektive x-värde i funktionen g(x). Vi börjar med x=0.

Nu sätter vi in x=1.5-sqrt(1.25) i g(x).

Till sist sätter vi in x=1.5+sqrt(1.25).

Eftersom vi ska ange koordinaterna med två värdesiffror måste vi även beräkna och avrunda x-värdena 1.5-sqrt(1.25) och 1.5+sqrt(1.25). &1.5-sqrt(1.25)=0.38196...≈0.38 &1.5+sqrt(1.25)=2.61803...≈2.6 Funktionen g(x) har alltså tre extrempunkter: två minimipunkter i (0,0) och (2.6,-8.4) samt en maximipunkt i (0.38,0.00096).

Vi börjar med att ta reda på i vilka x-värden funktionen har stationära punkter genom att derivera funktionen och lösa ekvationen p'(x)=0.

Vi löser p'(x)=0 med nollproduktmetoden.

Här kan vi stanna, eftersom inget tal upphöjt till 4 blir negativt. Ekvation (II) har därför inga reella lösningar, och ger därmed inga ytterligare stationära punkter. p(x) har därmed endast en stationär punkt och den finns i x=0. Dess karaktär avgör vi genom att sätta in x=0 i andraderivatan. Vi finner p''(x) genom att derivera ytterligare en gång.

Vi sätter in x=0 i andraderivatan. p''(0)=42*0^5+6*0=0

Eftersom andraderivatan är 0 kan vi inte direkt dra någon slutsats om den stationära punktens karaktär, utan behöver undersöka vidare med teckentabell. Vi kontrollerar förstaderivatans tecken för ett x-värde som är mindre än 0 och ett som är större än 0, t.ex. -1 och 1.

Förstaderivatan är alltså positiv både till höger och vänster om den stationära punkten. Det innebär att funktionen är växande på båda sidor om denna och att punkten själv är en terrasspunkt.

Eftersom funktionen bara har en stationär punkt och denna är en terrasspunkt måste p(x) alltså sakna extrempunkter.

Vi vet att funktionen f(x) skär y-axeln när y = -5, vilket innebär att punkten (0,-5) måste finnas på grafen. Vi ska alltså kunna sätta in x = 0 i f(x) och få funktionsvärdet -5. Det kan vi utnyttja för att bestämma konstanten c.

Sätter vi in detta i funktionen får vi f(x) = ax^3 + bx^2 - 5. För att bestämma a och b använder vi det vi vet om inflexionspunkten. Den har koordinaterna (1,7), vilket betyder att x-värdet 1 ska ge funktionsvärdet 7.

Nu har vi ett samband mellan a och b, men för att kunna lösa ut dem behöver vi ett till. Det får vi från andraderivatan i punkten, som måste vara 0 eftersom det är en inflexionspunkt. Vi bestämmer först f''(x) genom att derivera f(x) två gånger.

Andraderivatan är 0 i inflexionspunkten, vilket ger sambandet f''(1) = 0.

Vi har nu två ekvationer med två okända variabler, vilket betyder att vi kan ställa upp ett ekvationssystem.

Nu har vi bestämt alla konstanter, vilket ger f(x) = -6x^3 + 18x^2 - 5.

Vi måste undersöka både om en generell andragradsfunktion alltid har en extrempunkt och om tecknet på a bestämmer karaktären. Vi börjar med att undersöka om den har en extrempunkt. Vi känner inte till värdena på koefficienterna a, b och c, men vi kan ändå derivera funktionen.

Om ekvationen f'(x) = 0 har en lösning vet vi att f(x) har en stationär punkt.

Generellt kommer det alltså att finnas en stationär punkt för x = - b2a. För att investigera hur punktens karaktär beror på a kan vi använda andraderivatan, så vi deriverar funktionen en gång till för att få f''(x).

Andraderivatan beror alltså inte på x utan är lika med 2a överallt, inklusive för x = - b2a, där den stationära punkten finns. Det innebär att om a är positiv måste även andraderivatan vara det, vilket betyder att den stationära punkten är ett minimum. Om a är negativ är andraderivatan också negativ och den stationära punkten är ett maximum. Svaret är alltså ja.