Logga in
| 4 sidor teori |
| 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
För ett komplext tal på rektangulär form, z=a+bi, kan man använda real- och imaginärdelen för att beskriva talets koordinater i det komplexa talplanet. Men hur kan talet skrivas om man istället känner till dess polära koordinater, r och v?
Om man ritar en cirkel centrerad i origo och som går genom z får den radien r. Denna cirkel kan jämföras med enhetscirkeln, där punkter på randen har x-koordinaten cos(v) och y-koordinaten sin(v). Nu är dock radien r, vilket innebär att koordinaterna för punkten kommer att vara rcos(v) respektive rsin(v).
Det komplexa talet som representeras av punkten har då realdelen a=rcos(v) och imaginärdelen b=rsin(v), vilket innebär att det kan skrivas som z=rcos(v)+rsin(v)⋅i. Bryter man ut r får man talet på så kallad trigonometrisk form.
z=r(cos(v)+isin(v))
För att skriva om ett tal från rektangulär till polär form måste man bestämma dess polära koordinater, r och v, dvs. absolutbeloppet och argumentet. Exempelvis kan man skriva om z=1+3i.
∣a+bi∣=a2+b2
Beräkna potens
Addera termer
Beräkna rot
Till sist sätter man in r och v i den polära form man vill använda, t.ex. trigonometrisk form.
Talet z=1+3i på trigonometrisk polär form skrivs alltsåAtt multiplicera och dividera komplexa tal på rektangulär form kan ibland vara krångligt och kräva många beräkningssteg. Då kan det vara enklare att göra uträkningen på polär form.
∣z1z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)
Man kan visa detta genom att multiplicera ihop två komplexa tal på trigonometrisk form och använda trigonometriska samband för att förenkla produkten. Nedan finns ett exempel där resultatet av multiplikationen z1z2 visas tillsammans med de ursprungliga talen.
Om ett komplext tal på trigonometrisk form, z1=r1(cos(v1)+isin(v1)), multipliceras med ett annat tal, z2=r2(cos(v2)+isin(v2)), kan produkten därför skrivas på följande sätt.
z1z2=r1r2(cos(v1+v2)+isin(v1+v2))
∣∣∣∣∣z2z1∣∣∣∣∣=∣z2∣∣z1∣
arg(z2z1)=arg(z1)−arg(z2)
För att bevisa detta dividerar man två komplexa tal på trigonometrisk form. Med hjälp av trigonometriska ettan och andra trigonometriska samband kan man sedan förenkla uttrycket. Ett exempel visas nedan med resultatet av divisionen z2z1 samt de ursprungliga talen.
Om ett komplext tal på trigonometrisk form, z1=r1(cos(v1)+isin(v1)), divideras med ett annat tal, z2=r2(cos(v2)+isin(v2)), kan kvoten därför skrivas på följande sätt.
z2z1=r2r1(cos(v1−v2)+isin(v1−v2))
För att skriva ett tal på polär form måste vi veta talets absolutbelopp och argument. Absolutbeloppet betecknas med r, så uppgiften ger att r=2.5, medan argumentet är v=60^(∘). Vi sätter in värdena i den trigonometriska formen.
Talet z kan alltså skrivas som 2.5(cos(60^(∘))+isin(60^(∘))).
Skriv talet på rektangulär form. Svara exakt på enklaste form.
Vi skriver om ett tal på trigonometrisk form till formen a + bi genom att beräkna de trigonometriska uttrycken och förenkla.
Talet är alltså - 1 + sqrt(3)i när det skrivs på rektangulär form.
Vi beräknar och förenklar talet på samma sätt som i föregående deluppgift.
Talet kan alltså skrivas om till
sqrt(3/2) + 1/sqrt(2) i.
Notera att det finns andra sätt att förenkla uttrycket på.
Vinkeln - 2π3 finns inte med bland standardvinklarna. Vi löser detta genom att använda trigonometriska spegelsamband för att få vinkeln positiv.
Vi har nu skrivit om talet på rektangulär form och fick - 2 - 2sqrt(3)i.
Absolutbeloppet av ett komplext tal motsvarar avståndet från origo till talet. Om ett tal står på trigonometrisk polär form så är absolutbeloppet talet framför parentesen. z_2 = 4.5(cos(95^(∘))+isin(95^(∘))) Absolutbeloppet av z_2 är alltså 4.5.
Argumentet av ett komplext tal motsvarar vinkeln mellan den positiva reella axeln och talets vektor. Om talet står på trigonometrisk polär form kan argumentet avläsas ur sinus- och cosinusuttrycken.
z_1=3(cos( 10^(∘))+isin( 10^(∘)))
Argumentet för z_1 är alltså arg(z_1)=10^(∘).
När man multiplicerar två tal som står på trigonometrisk polär form så multipliceras absolutbeloppen, medan argumenten adderas:
z_1z_2 = r_1r_2(cos(v_1+v_2)+isin(v_1+v_2)).
Talet z_1 har absolutbeloppet 3 och argumentet 10^(∘), medan z_2 har 4.5 respektive 95^(∘). Vi sätter in värdena och beräknar.
Resultatet av multiplikationen blir alltså z_1z_2 = 13.5(cos(105^(∘))+isin(105^(∘))).
När man dividerar två tal som står på trigonometrisk polär form så ska täljarens absolutbelopp divideras med nämnarens, medan täljarens argument subtraheras med nämnarens:
z_1z_2= r_1r_2(cos(v_1-v_2)+isin(v_1-v_2)).
I vår beräkning är det z_2 som står i täljaren, så samma regel ger att
z_2z_1= r_2r_1(cos(v_2-v_1)+isin(v_2-v_1)).
Talet z_1 har absolutbeloppet 3 och argumentet 10^(∘), medan z_2 har 4.5 respektive 95^(∘). Vi sätter in värdena och beräknar.
Kvoten z_2z_1 blir alltså 1.5(cos(85^(∘))+isin(85^(∘))).
För att multiplicera komplexa tal på polär form multipliceras absolutbeloppen med varandra, medan argumenten adderas: z_1z_2 = r_1r_2(cos(v_1 + v_2)+isin(v_1 + v_2)). Talet z har absolutbeloppet 7 och argumentet π6, medan w har 2 respektive 2π3. Vi sätter in värdena i formeln ovan och får inte glömma bort att multiplicera med 2.
Produkten 2zw är alltså 28(cos( 5π6)+isin( 5π6)).
För division med komplexa tal på polär form divideras absolutbeloppen, medan argumenten subtraheras:
z_1z_2= r_1r_2(cos(v_1-v_2)+isin(v_1-v_2)).
Talet w har absolutbeloppet 2 och argumentet 2π3 medan z har 7 respektive π6. Vi sätter in värdena och beräknar.
Kvoten wz är alltså 27(cos( π2)+isin( π2)).
Skriv talet på trigonometrisk polär form. Ange argumentet i radianer.
För att skriva talet på trigonometrisk form måste vi först beräkna talets absolutbelopp och argument. Vi börjar med absolutbeloppet r.
Talets absolutbelopp är alltså r = 3sqrt(2). Nu behöver vi endast beräkna talets argument v för att kunna skriva talet på trigonometrisk form.
Vi känner nu till argumentet v = - π4. Detta sätts in tillsammans med r=3sqrt(2) i det generella uttrycket för ett komplext tal på trigonometrisk form.
Alltså är 3 - 3i = 3sqrt(2)(cos(- π/4) + i sin(- π/4)).
Som i föregående deluppgift börjar vi genom att beräkna absolutbeloppet r.
Vi har nu beräknat absolutbeloppet r = 2 och kan gå vidare genom att beräkna talets argument v.
Nu när vi har talets absolutbelopp och argument kan det skrivas på trigonometrisk form. 2(cos(2π/3)+isin(2π/3))
För det här talet gör vi först omskrivningen
- 3 + sqrt(3)i/2 = - 3/2 - sqrt(3)/2i
för att lättare kunna identifiera talets real- och imaginärdel. Vi är nu redo att beräkna talets absolutbelopp.
Vidare beräknar vi även talets argument.
Vi kan nu slutligen skriva talet på trigonometrisk form. sqrt(3)(cos(- 5π/6) + i sin(- 5π/6))
Bestäm arg(z) givet z.
För att beräkna argumentet av ett komplext tal på formen a+bi kan vi använda formeln arg(a+bi) = b≥ 0 -3pt: arccos( a|a+bi|) b<0 -3pt: -arccos( a|a+bi|). Vi börjar med arg(z).
Argumentet till z är alltså 0.32 radianer.
Vi använder återigen formeln för att bestämma argumentet. Vi börjar med arg(z)=arg(4+2i).
Argumentet för z är alltså 0.46.