| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Minispelare aktiv
En vinkel är en plan figur som bildas av två strålar som har samma startpunkt. Denna gemensamma punkt kallas för vinkelspetsen och strålarna är vinkelben.
Det finns olika sätt att beteckna en vinkel och ofta använder man symbolen ∧
framför namnet. Ett sätt att namnge en vinkel är att använda punkten som utgör vinkelspetsen. Ett annat sätt är att använda alla tre punkter som används för att beskriva vinkeln. I detta fall skrivs punkten som utgör vinkelspetsen alltid i mitten av namnet, men däremot används inte alltid symbolen ∧. Utöver dessa sätt så kan vinklar ibland namnges med gemena latinska och grekiska.
Vinkelspets | Vinkelspets och en punkt på varje stråle | Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan ∧ | Grekiska bokstäver |
---|---|---|---|
∧B | ∧ABC eller ∧CBA | ABC eller CBA | T.ex. ∧α eller ∧β eller ∧θ |
Ibland används symbolen ∠
i stället för ∧ för att beteckna vinklar. Värdet av en vinkel är antalet grader mellan vinkelbenen. Det kan mätas med hjälp av en gradskiva.
En vinkel kan dela in ett plan i två delar.
insida.
utsida.
Bestäm vinklarnas storlek.
Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel, så summan av dem är 180∘. Det betyder att 6x+8x+4x=180∘.
x är alltså lika med 10∘. Det använder vi för att bestämma vinklarna.
Vinkel | Uttryck | Beräkning | = |
---|---|---|---|
Grön | 6x | 6⋅10∘ | 60∘ |
Blå | 8x | 8⋅10∘ | 80∘ |
Röd | 4x | 4⋅10∘ | 40∘ |
Vinklarnas storlek är alltså 60∘, 80∘ och 40∘.
△används för att skriva namnet på en triangel. Bredvid denna symbol skrivs triangelns tre hörn i vilken ordning som helst. Till exempel kan en triangel med hörn A, B och C skrivas som både △ABC och △BCA.
Trianglar kan delas in i kategorier baserat på antingen deras sidlängder eller deras vinklar.
I följande tabell finns alla olika typer av trianglar, indelade i olika grupper baserat på om de har att göra med triangelns vinklar eller sidlängder.
Typer av trianglar | |
---|---|
Vinklar | Sidlängder |
Spetsvinklig triangel | Likbent triangel |
Rätvinklig triangel | Liksidig triangel |
Trubbvinklig triangel |
Markera höjden h i triangeln △ABC när basen utgörs av sidan AB, AC respektive BC.
Vi går igenom fallen ett i taget.
Vad är vinkeln vid hörn C?
Vinkel A är 56∘ och vinkeln B är rät, det vill säga 90∘. Summan av vinklarna A, B och C ska vara lika med vinkelsumman för en triangel: 180∘. Detta bildar en ekvation, som man kan lösa med t.ex. balansmetoden.
Vinkeln vid hörn C är alltså 34∘.
För rätvinkliga trianglar är hypotenusan i kvadrat lika med summan av kvadraterna på kateterna.
Area för den inre kvadraten | Area för den yttre kvadraten | Area för de fyra trianglarna |
---|---|---|
c2 | (a+b)2 | 4⋅2ab=2ab |
a2=a⋅a
Multiplicera in (a+b)
Multiplicera in a & b
Addera termer
VL−2ab=HL−2ab
Denna sats är uppkallad efter den grekiska filosofen och matematikern Pythagoras, som levde på 500-talet f.Kr. Pythagoras anses vara en av de första matematikerna som använde irrationella tal i sina beräkningar. Dessutom studerade han perfekta kroppar, perfekta tal och polygontal, bland andra ämnen. Här är definitionen av perfekta tal tillsammans med några exempel.
Pythagoras tillskrivs också andra upptäckter och bidrag till astronomi och filosofi. Med allt detta, fundera över detta roliga faktum: Det finns inga böcker eller anteckningar skrivna av Pythagoras själv!
Bestäm den okända sidan i triangeln. Längderna är angivna i cm.
Sätt in uttryck
Beräkna potens
Addera termer
Omarrangera ekvation
VL=HL
Beräkna rot
x>0
Hypotenusan x är alltså 13 cm lång. Vi fick ett negativt resultat också, men eftersom det är en längd vi är ute efter måste den vara positiv.
Triangeln nedan har sidlängderna 33 cm, 55 cm och 65 cm. Är den rätvinklig?
En av vinklarna i figuren ser ut att vara 90∘, men det är omöjligt att veta säkert utan beräkningar. Pythagoras sats gäller bara för rätvinkliga trianglar, vilket innebär att man kan använda den för att avgöra om en triangel är rätvinklig eller ej. Sätter vi in sidlängderna i a2+b2=c2, där a och b är de två kortare sidorna 33 cm och 55 cm och c är den längsta sidan 65 cm, kommer likheten bara att gälla om triangeln är rätvinklig.
Sätt in värden
Beräkna potens
Addera termer
Likheten stämmer inte, vilket innebär att triangeln inte är rätvinklig.
Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.
En triangel kan betecknas med symbolen △ följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså △ABC. En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn A och B kallas AB.
För att namnge en vinkel används tecknet ∧ eller ibland ∠, följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas ∧B.
Om en linje dras från ∧B mot sidan AC delas vinkel B i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är ∧B. Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den ∧ABD: man utgår ifrån hörn A, följer vinkelbenet mot B och sedan till hörn D. På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för ∧ABC och den gröna ∧DBC .
Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.