Vinklar och trianglar: Likbent, liksidig och rätvinklig triangel

	Notation
Vinkelspets	$\land B$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle	$\land A B C$ eller $\land C B A$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan $\land$	$A B C$ eller $C B A$
Grekiska bokstäver	T.ex. $\land α$ eller $\land β$ eller $\land θ$

Notation

Vinkelspets

\land B

Vinkelspets och en punkt på varje stråle

\land A B C

eller

\land C B A

Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan

\land

A B C

eller

C B A

Grekiska bokstäver

T.ex.

\land α

eller

\land β

eller

\land θ

Vinkel	Uttryck	Beräkning	$=$
Grön	$6 x$	$6 \cdot 1 0^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
Blå	$8 x$	$8 \cdot 1 0^{\circ}$	$8 0^{\circ}$
Röd	$4 x$	$4 \cdot 1 0^{\circ}$	$4 0^{\circ}$

Vinkel

Uttryck

Beräkning

=

Grön

6 x

6 \cdot 1 0^{\circ}

6 0^{\circ}

Blå

8 x

8 \cdot 1 0^{\circ}

8 0^{\circ}

Röd

4 x

4 \cdot 1 0^{\circ}

4 0^{\circ}

Typer av trianglar
Vinklar	Sidlängder
Spetsvinklig triangel	Likbent triangel
Rätvinklig triangel	Liksidig triangel
Trubbvinklig triangel

Typer av trianglar

Vinklar

Sidlängder

Spetsvinklig triangel

Likbent triangel

Rätvinklig triangel

Liksidig triangel

Trubbvinklig triangel

Area för den inre kvadraten	Area för den yttre kvadraten	Area för de fyra trianglarna
$c^{2}$	$(a + b)^{2}$	$4 \cdot \frac{a b}{2} = 2 a b$

Area för den inre kvadraten

Area för den yttre kvadraten

Area för de fyra trianglarna

c^{2}

(a + b)^{2}

4 \cdot \frac{a b}{2} = 2 a b

En kvadrat skrivs in i en cirkel med diametern $10 cm$ så att kvadratens diagonal sammanfaller med cirkelns diameter. Hur stor blir kvadratens omkrets? Svara exakt med ett så litet rotuttryck som möjligt.

Skriver vi in en kvadrat i en cirkel innebär det att dess hörn precis nuddar cirkelns rand och att cirkelns diameter sammanfaller med kvadratens diagonal som nedan.

För att bestämma omkretsen behöver vi känna till kvadratens sidor som vi kallar för s. Diagonalen bildar tillsammans med kvadratens sidor en rätvinklig triangel med hypotenusan 10. Vi sätter in dessa värden i Pythagoras sats.

Sidan är sqrt(50) och eftersom kvadraten har fyra lika långa sidor blir omkretsen 4* sqrt(50). Vi förenklar uttrycket så att vi får ett så litet rotuttryck som möjligt.

Omkretsen är 20sqrt(2) le.

En liksidig grön triangel med höjden $3 dm$ är inskriven i en större liksidig blå triangel så vi får totalt fyra identiska små trianglar, tre blå och en grön.

Bestäm sidlängderna för de små trianglarna. Ge ett exakt svar.

Markeras höjden i t.ex. den gröna mindre triangeln ser vi att den delas i två rätvinkliga trianglar. Vi tittar på den högra av dessa nedan och kallar dess hypotenusa för s. Eftersom vi har att göra med en liksidig triangel blir den korta kateten halva hypotenusan, dvs. s2. Höjden, som är 3dm, bildar den långa kateten.

För att bestämma den mindre triangelns sida s ställer vi upp Pythagoras sats. Vi bortser från den negativa lösningen eftersom ett avstånd alltid är positivt.

Den inre triangeln har alltså sidlängden 2sqrt(3)dm. Pga. symmetrin i figuren återkommer den här sidlängden överallt, och vi kan konstatera att den stora yttertriangeln använder två st 2sqrt(3) till sin egen sida.

Bestäm kvoten $\frac{x}{h}$ om $A B C$ är en halv liksidig triangel. Svara exakt.

Vårt mål är att uttrycka h i x, och därefter dividera detta med x. Vi tittar på hur vi kan göra detta. I en liksidig triangel är alla sidor lika långa. Eftersom ABC är en halv liksidig triangel blir den kortare kateten x2.

Nu kan vi ta fram ett uttryck för höjden, h, med Pythagoras sats.

Vi har nu ett uttryck för höjden, så vi kan beräkna kvoten.

Kvoten blir alltså 2sqrt(3).

Cirkeln nedan har radien $r .$ Beräkna vinkeln $v .$

Vi drar linjer från mittpunkten ut till hörnen. Längden på dem blir en cirkelradie eftersom de går från mittpunkten ut till cirkelns rand.

Det bildas två liksidiga trianglar. Det betyder att alla blå vinklar i figuren är 60^(∘). Vinkeln v består av två sådana.

Det betyder att v=60^(∘)+60^(∘)=120^(∘).

En konsttjuv försöker få ut en tavla med måtten

60 \times 60 \times 4 cm

genom ett badrumsfönster med måtten

45 \times 45 cm .

Går det?

Tavlan är 60cm bred men fönstret är bara 45cm brett. Det går alltså inte att lyfta in tavlan utan att vinkla den på något sätt. Bäst chans har man om man försöker längs fönstrets diagonal, där hålet är bredast.

Vi beräknar diagonalen med Pythagoras sats.

Fönstrets diagonal är alltså ca 63,6cm lång. Då borde tavlan på 60cm gå igenom, eller? Det är inte säkert. Eftersom den är 4cm tjock kan det inte tas ända ut i fönstrets hörn. Vi kan alltså inte använda alla 63,6cm!

I varje hörn bildas likbenta, rätvinkliga trianglar. Deras hypotenusa är 4cm dvs. tavlans tjocklek. Vi kallar benens längd för x och bestämmer dem med Pythagoras sats.

Den del av diagonalen som räknas bort pga. tjockleken är den som markerats i bilden nedan.

Vi kallar denna sträcka d. Det är den ena kateten i en rätvinklig triangel som har hypotenusan x = sqrt(8), och där den andra kateten är 2. Vi löser ut d med Pythagoras sats.

Detta visar att 2cm av diagonalens längd skalas bort i varje hörn, vilket blir totalt 4cm. Tavlan har alltså bara 63,6 - 4 = 59,4cmatt använda, och eftersom det är 60cm långt får det inte plats i fönstret. Tjuven får gå tomhänt hem.

En regelbunden femhörning har omkretsen

200 cm

och arean

2750 cm^{2}

. Vilken höjd har den? Svara med en decimal.

Vi börjar med att rita upp femhörningen. Eftersom den är regelbunden är alla sidor lika långa. Vi kallar denna sidlängd s. Om vi drar linjer från mittpunkten ut till hörnen bildas fem likadana likbenta trianglar. Avståndet från mittpunkten ut till hörnen kallar vi c.

Femhörningens höjd är x och kan beräknas genom att summera delsträckorna h t och c. Men vi börjar med att beräkna s. Totalt finns det 5 sidor så omkretsen är 5s. Detta ska vara lika med 200: 5s=200 ⇔ s=40. Femhörningens sidor är alltså 40cm långa. Den totala arean är 2 750cm^2 och eftersom alla trianglar är lika stora är var och en av dem en femtedel av detta, dvs. 27505=550cm^2. Nu kan vi använda areaformeln för en triangel för att bestämma h. Triangelns bas är s dvs. 40cm.

Nu har vi kommit en bit på vägen! I figuren kan vi bilda en rätvinklig triangel, där hypotenusan är c. Basen i den gröna triangeln är hälften av 40cm, dvs. 20cm. Anledningen är att de blå trianglarna är likbenta och då delar höjden, h, basen i två lika stora delar.

Eftersom triangeln är rätvinklig kan vi använda Pythagoras sats för att beräkna c som är hypotenusan. Höjden h beräknade vi tidigare till 27,5cm.

Femhörningens höjd får vi genom att lägga ihop h och c. Det blir h+c=27,5+34=61,5. Höjden är alltså ungefär 61,5cm.

Bevisa Pythagoras sats, att $a^{2} + b^{2} = c^{2},$ med hjälp av figuren. Du vet att det röda området är en kvadrat inskriven i den större blå kvadraten.

Vi kan visa att Pythagoras sats gäller med areor. Vi ser ur figuren att A_(Hela)=A_(Röd)+A_(Blå). Med hjälp av figuren nedan ställer vi upp uttryck för areorna med a, b och c. Lägg märke till att de blå trianglarna är rätvinkliga eftersom en kvadrat har 90^(∘) i varje hörn.

Hela arean

Arean av en kvadrat är lika med sidan gånger sidan. Sidan i den stora kvadraten är a+b, så arean blir A_(Hela)=(a+b)^2.

Röda arean

Den röda kvadratens area är A_(Röd)=c^2, eftersom sidan är c.

Blå arean

En triangels area beräknas genom att multiplicera höjden med basen och dela med 2. Eftersom det är fyra trianglar multiplicerar vi areauttrycket med 4. Då får vi den blå arean.

De fyra trianglarna har tillsammans arean A_(Blå)=2ab.

Samband

Vi sätter in uttrycken för areorna i sambandet A_(Hela)=A_(Röd)+A_(Blå). Med hjälp av förenklingar kommer vi fram till sambandet Pythagoras sats.

Hur lång är rymddiagonalen i rummet nedan? Svara med en decimal.

Golvet har måtten 3 * 4.

Genom att sätta in dessa värden i Pythagoras sats kan golvets diagonal beräknas.

Golvets diagonal är alltså 5 meter. Denna sträcka är också bas i den triangel som har rummets rymddiagonal som hypotenusa. Samma triangels höjd är lika med rummets höjd, dvs. 2m.

Vi kan nu beräkna rymddiagonalen genom att använda Pythagoras sats igen.

Rummets rymddiagonal är alltså ca 5,4m.

En fotbollsspelare lägger en straff som går i mål i markhöjd alldeles innanför den högra målstolpen. Bollen gick över mållinjen

0, 25

sekunder efter att målskytten sparkat iväg bollen. Straffpunkten ligger

11 m

från mållinjen och avståndet mellan målstolparna är

7, 32

meter. Bollen har radien

0, 11

meter. Hur snabbt färdades bollen? Svara i hela m/s.

Hastighet beräknas med formeln v = st, så vi behöver sträckan som bollen färdas och tiden som färden tar. Från uppgiftstexten vet vi att tiden är 0,25 sekunder, så det är bara sträckan från straffpunkten till punkten där bollen passerar mållinjen vi saknar. Skissen nedan visar ungefär hur situationen ser ut med bollen (beige färg), målstolparna (grå färg) och mållinjen.

Sträckan som bollen färdas är hypotenusan i en rätvinklig triangel med hörn i straffpunkten, en punkt mittemellan målstolparna (avståndet 7,322 meter till vardera målstolpe) och en punkt strax till vänster om den högra målstolpen. Bollen passerar strax innanför högra målstolpen, så avståndet mellan bollens mittpunkt och innerdelen av stolpen kan anses vara lika med bollens radie, 0,11 meter. Avståndet från mittpunkten på målet och bollens mittpunkt blir då 7,322 - 0,11 = 3,55. Det ger oss mått enligt bilden nedan.

Hypotenusans längd, c, kan beräknas med Pythagoras sats om vi har de andra sidlängderna. Eftersom straffpunkten ligger 11m från mållinjen har vi den ena katetens längd och den andra kateten har längden 3,55 meter.

Sträckan som bollen färdas är alltså ungefär 11,6 meter. Vi kan nu beräkna bollens hastighet med formeln v = st.

Bollen färdades alltså ungefär med hastigheten 46m/s.

$M$ och $N$ är mittpunkter på sidorna. Hur stor del av kvadratens area är färgad? Svara exakt. Rita av figuren och redovisa din lösning.

Nationella provet VT10 MaA

För att bestämma hur stor andel av kvadraten som är färgad tar vi fram uttryck för kvadratens area och den färgade triangelns area.

Areauttryck

Vi har inga värden för kvadratens sidor så vi väljer att kalla sidorna för 2x. Vi skulle kunna kalla dem för x men eftersom M och N är mittpunkter får vi snällare siffror att jobba med om halva sidan är x.

Genom att multiplicera kvadratens sidor får vi ett uttryck för arean: A_(Kvadrat)= 2x* 2x=4x^2. För att ta fram ett uttryck som visar det gröna området kan vi exemepelvis beräkna arean av de tre vita rätvinkliga trianglarna som markerats (1), (2) och (3) nedan.

Två av trianglarna, (2) och (3), är lika stora eftersom deras kateter är lika långa. En triangels area beräknas genom att multiplicera basen med höjden och dela med 2. Den totala arean av (2) och (3) blir A_((2)+(3))=2* 2x* x/2=2x^2. Den mindre triangeln, (1), har två kateter som båda är x långa vilket ger oss arean: A_((1))=x* x/2=x^2/2. Genom att subtrahera de vita trianglarna från kvadratens area blir endast det gröna området kvar.

Det gröna områdets area kan uttryckas 3x^22.

Andel av kvadraten som är färgad

Genom att dela areauttrycket för det gröna området med areauttrycket för kvadraten, kan vi bestämma hur stor andel av kvadraten som är färgad.

Det gröna området är alltså 38 av figuren.

Vinklar och trianglar

Förkunskaper

Vinkel

Insida och utsida av en vinkel

Vinkeltyper

Hur stora är vinklarna?

Ledtråd

Lösning

Triangel

Vad är höjden i en triangel?

Svar

Ledtråd

Lösning

Basen är $A B$

Basen är $A C$

Basen är $B C$

Hur stor är tredje vinkeln i triangeln?

Ledtråd

Lösning

Pythagoras sats

Bevis

Extra

Bestäm okänd sida i en rätvinklig triangel

Ledtråd

Lösning

Är triangeln rätvinklig?

Ledtråd

Lösning

Notation inom geometri

Notation

Notation

Notation

Hela arean

Röda arean

Blå arean

Samband

Areauttryck

Andel av kvadraten som är färgad