Vinklar och trianglar

Vi vet inte om 50^(∘)-vinkeln är en basvinkel eller inte. Vi måste därför undersöka båda fallen.

Fall 1

I den ena fallet är vinkeln 50^(∘) inte någon av basvinklarna. Det kan t.ex. se ut så här.

De övriga vinklarna är lika stora. Vi kan kalla dem v. Vi kan då beräkna dem genom att använda vinkelsumman i en triangel, som alltid är 180^(∘).

De övriga vinklarna är alltså båda 65^(∘).

Fall 2

Om 50^(∘)-vinkeln är en av triangelns basvinklar, innebär det att den andra basvinkeln också är 50^(∘).

Vinkelsumman i en triangel (180^(∘)) ger nu att den kvarvarande vinkeln blir 180^(∘)-50^(∘)-50^(∘)=80^(∘). De andra vinklarna i triangeln är alltså 50^(∘) och 80^(∘).

Vi tittar på påståendena, ett i taget.

A. En triangel kan ha en trubbig vinkel

En trubbig vinkel är en vinkel som är större än 90^(∘), men mindre än 180^(∘). Vi kan prova att göra en sådan triangel genom att först rita en valfri trubbig vinkel.

Kan vi skapa en triangel med denna vinkel? Ja, vi kan förbinda den vänstra och högra ändpunkten.

Man kan alltså skapa minst en trubbvinklig triangel. Påståendet är därför sant.

B. Höjden är alltid vinkelrät mot basen

Höjden och basen är inte entydigt bestämda i en triangel, utan man kan definiera dem på olika sätt.

Höjden och basen på triangeln kan variera. Gemensamt är dock att de alltid är vinkelräta mot varandra. Påståendet är sant.

C. Alla vinklar är alltid spetsiga

Det finns trianglar där alla vinklar är spetsiga (mindre än 90^(∘)), t.ex. liksidiga, där alla är 60^(∘). Men måste det alltid vara så? Finns det trubbvinkliga trianglar? Ja, vi visade ju en tidigare.

Alla vinklar måste alltså inte vara spetsiga, och därför är påståendet falskt.

D. Det måste finnas minst två spetsiga vinklar

Två vinklar som inte är spetsiga är antingen räta eller trubbiga. Minsta vinkelsumman får vi om de är räta: 2* 90^(∘)=180 ^(∘). Vi ser att summan av två icke spetsiga vinklar är minst lika mycket som triangelns vinkelsumma och då blir det inget över till den tredje vinkeln. Därför måste minst två av vinklarna i en triangel vara spetsiga, och påståendet är därmed sant.

Den röda och gula vinkeln bildar 180^(∘) med sidovinklarna som även ingår i △ ABC. Vi beräknar dessa: 180^(∘)-120^(∘)=60^(∘) och 180^(∘)-138^(∘)=42^(∘). Vi tittar nu enbart på triangeln ABC.

En triangels vinkelsumma är 180^(∘). Genom att addera vinklarna och likställa med 180^(∘) kan vi lösa ut x.

Summan av de tre gröna vinklarna är 78^(∘) vilket innebär att en av de tre gröna vinklarna är 78^(∘)3=26^(∘). Nu tittar vi på △ BCD.

Vi beräknar den blå vinkeln ∧ BDC, som vi kallar d, med hjälp av att vinkelsumman i triangeln BCD är 180^(∘).

Vinkeln ∧ BDC är 112^(∘).

Ramon bor i mitten av det ena huset. Linan blir som längst om den ska nå våning 1 eller 5 i det andra huset. Då blir linan hypotenusan i en rätvinklig triangel.

Det är 15m mellan husen, och detta blir längden av den ena kateten. Den andra kateten är två våningsplan lång, dvs. 2 * 3,2 = 6,4m. Nu kan linans längd c beräknas med Pythagoras sats.

Linan behöver alltså vara ca 16,3m lång.

I en regelbunden polygon är alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. Eftersom vinkelsumman i en femhörning är 540^(∘) blir varje vinkel 540^(∘)/5=108^(∘), eftersom det finns 5 hörn. Vi ritar en regelbunden femhörning och markerar dess sidor och vinklar.

Vi ser nu att de två gröna trianglarna i uppgiften är likbenta, eftersom de har två lika långa sidor. Den ena vinkeln är 108^(∘) och basvinklarna är lika stora.

Eftersom vinkelsumman i trianglar är 180^(∘) blir basvinklarna hälften av 180^(∘)-108^(∘)=72^(∘), dvs. 36^(∘).

Basvinklarna i den blå triangeln blir då 108^(∘)-36^(∘)=72^(∘).

När stegen står lutad mot väggen bildas en triangel mellan stegen, marken och väggen. Om väggen står rakt är triangeln rätvinklig. I så fall utgörs triangelns hypotenusa av stegen, vars längd är 3 meter, och de två kateterna marken (1 meter) och väggen (2,7 meter).

Om triangeln är rätvinklig gäller Pythagoras sats. Vi undersöker det genom att sätta in triangelns sidlängder i sambandet.

Höger- och vänsterledet är inte lika. Det innebär att Pythagoras sats inte är uppfylld och därför är triangeln inte rätvinklig. Väggen står därför inte rakt, utan lutar lite grann.

Ett helt varv är 360 ^(∘). Mellan varje hel timme är vinkeln därför 360 ^(∘)/12=30^(∘). När klockan är 02:00 är det två timmar mellan visarna.

Den lilla vinkeln blir då u=2 * 30^(∘) = 60 ^(∘). Man kan också se det som att vinkeln mellan visarna går medurs från timvisaren till minutvisaren. Denna större vinkeln kan vi enkelt beräkna genom att subtrahera 60^(∘) från ett helt varv, som är 360^(∘).

Vinkeln v är alltså 360^(∘)-60^(∘)=300 ^(∘).

Vi ritar ut hur visarna står när klockan är halv fyra.

Mellan 6:an och 4:an är det 2* 30^(∘)=60 ^(∘). Mellan två hela timmar är vinkeln 30^(∘) och eftersom timvisaren står mittemellan 3 och 4 måste vi addera 15^(∘) till vinkeln mellan 6:an och 4:an. Totalt är vinkel u därför 60^(∘)+15^(∘)=75 ^(∘). På samma sätt som i förra uppgiften kan vi subtrahera 75^(∘) från 360^(∘) för att få den större vinkeln som visarna bildar.

Den större vinkeln är då 360^(∘)-75^(∘)=285 ^(∘).

De tre kvadraternas sidor bildar en rätvinklig triangel och sidorna i en sådan följer Pythagoras sats: a^2+b^2=c^2, där c i det här fallet måste vara den röda kvadratens sida.

Men, då måste även c^2 vara arean av den röda kvadraten, d.v.s. A. Samtidigt är a^2 arean av den blå kvadraten och b^2 arean av den gröna, så om Pythagoras sats gäller ska summan av den gröna och blå kvadratens areor vara lika stor som den röda kvadratens, d.v.s. A=a^2+b^2.

När lyktstolpen rests får vi en rätvinklig triangel där repets längd utgör hypotenusa. Av fotens 3,5 meter åker 1 meter ner i hålet så 2,5 meter blir kvar ovanför marken. Vidare hålls repet på höjden 0,4m så den lodräta kateten blir 2,5-0,4=2,1 meter.

Genom att sätta in hypotenusa och katet i Pythagoras sats kan vi lösa ut den vågräta kateten.

Du står ca 7,72 meter från lyktstolpen efter det att den rests.

Från figuren ser vi att halvcirkelns diameter är 3cm, och eftersom radien är hälften av diametern måste den vara 1,5cm. Drar vi en radie till punkten där sträckan 1,2cm möter cirkelns rand får vi en rätvinklig triangel.

Vi sätter in den kända kateten och hypotenusan i Pythagoras sats och löser ut den okända kateten a.

Sträckan a är 0,9cm.

För att avgöra hur stor andel av figuren som är skuggad kan vi dividera arean av det skuggade området med arean av det underliggande vita området. Då måste vi först bestämma algebraiska uttryck som beskriver dessa areor.

Vitt område

Vi ser att det vita området är en fyrhörning med lika långa sidor, dvs. en kvadrat. Vi ser även att kvadratens sidor har delats in i fyra delsträckor och eftersom vi inte har fått några siffror kan vi kalla varje delsträcka för x.

Kvadraten har sidan 4x vilket ger arean A_(vit kvadrat)=4x* 4x=16x^2.

Skuggat område

Även det skuggade området är en fyrhörning, men vilken typ av fyrhörning är det? Om vi delar in den vita kvadratens sidor som nedan ser vi att det skuggade områdets sidor utgör hypotenusor i fyra rätvinkliga trianglar med kateterna x och 3x.

Eftersom de rätvinkliga trianglarna har lika långa kateter måste även hypotenusorna vara lika långa, vilket betyder att det skuggade området också är en kvadrat. Genom att använda Pythagoras sats kan vi bestämma dess sidor.

Nu när vi vet den skuggade kvadratens sida kan vi beräkna dess area: A_(Skuggad kvadrat)=sqrt(10)x* sqrt(10)x=10x^2.

Andel skuggat område

Genom att dividera arean av den skuggade kvadraten med arean av den vita kvadraten kan vi bestämma hur stor del det skuggade området utgör.

Vi kan konstatera att 58 av figuren är skuggad.

En likbent triangel har två sidor som är lika långa vilket innebär att basvinklarna blir lika stora. Låt oss först anta att en basvinkel är 50^(∘). Då är även den andra basvinkeln 50^(∘). Då kan vi räkna ut den tredje vinkeln v, eftersom vinkelsumman alltid är 180^(∘) för en triangel: 50^(∘) + 50^(∘) + v = 180^(∘) ⇕ v = 180^(∘) - 50^(∘) -50^(∘) = 80^(∘). Vi ritar denna triangel.

Men vi kan även låta toppvinkeln vara 50^(∘). Detta innebär att det finns 180^(∘)-50^(∘)=130^(∘) över till basvinklarna. Eftersom basvinklarna ska vara lika stora kan vi beräkna dem genom att halvera 130^(∘): 130^(∘)/2=65^(∘). Vi ritar denna triangel.

Vi har nu hittat storleken på de övriga vinklarna för en likbent triangel med en vinkel som är 50 ^(∘). 50^(∘) och 80 ^(∘) samt 65^(∘) och 65 ^(∘)