mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Geometri

Vinklar och trianglar


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Begrepp

Vinkel

En vinkel mäter en vridning och har ofta enheten grader. Vinkeln innebär ingen vridning alls och motsvarar ett helt varv.

Spetsig vinkel och annan vinkel

Beroende på storleken ges vinklar olika namn, och i intervallet delas de upp i fyra kategorier: spetsiga, räta, trubbiga och raka. En rak vinkel är detsamma som ett halvt varv.

fullscreen
Uppgift

Bestäm vinklarnas storlek.

Avgor storlek pa sidovinklar2.svg
Visa Lösning
Lösning

Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel, så summan av dem är . Det betyder att .

är alltså lika med . Det använder vi för att bestämma vinklarna.

Vinkel Uttryck Beräkning
Grön
Blå
Röd

Vinklarnas storlek är alltså , och .

Begrepp

Triangel

En triangel är en polygon med tre hörn, sammanbundna av tre raka sidor. Vinkelsumman är alltid Vissa sorters trianglar förekommer ofta och har därför fått egna namn.

Rätvinklig

Liksidig

Likbent

Återställ


När man räknar ut arean av en triangel använder man basen och höjden. Med triangelns bas menar man någon av sidorna, oftast den som är ritad horisontellt, och med höjden menar man det rätvinkliga avståndet från basen till motstående hörn.
fullscreen
Uppgift

Markera höjden i triangeln när basen utgörs av sidan respektive

Markera hojden i en triangel.svg
Visa Lösning
Lösning

Vi går igenom fallen ett i taget.

Exempel

Basen är

Vi drar höjden från vinkelrät mot basen som i nedanstående figur.

Markera hojden i en triangel 2.svg
Exempel

Basen är

Vi roterar triangeln så att ligger horisontellt. Höjden förhåller sig som sagt alltid vinkelrätt mot basen så om utgör bas mäts höjden till B utanför triangeln som i figuren nedan.

Markera hojden i en triangel 1.svg
Exempel

Basen är

Vi roterar triangeln igen så att ligger horisontellt och drar höjden från mot basen. På samma sätt som när var bas mäts höjden utanför triangeln.

Markera hojden i en triangel 3.svg


fullscreen
Uppgift

Vad är vinkeln vid hörn ?

Skills Bestamma vinkel med vinkelsumma3.svg
Visa Lösning
Lösning

Vinkel är och vinkeln är rät, det vill säga . Summan av vinklarna och ska vara lika med vinkelsumman för en triangel: Detta bildar en ekvation, som man kan lösa med t.ex. balansmetoden.

Vinkeln vid hörn är alltså .

Regel

Pythagoras sats

Om en triangel är rätvinklig gäller Pythagoras sats, som anger sambandet mellan de tre sidornas längder. Den längsta sidan i triangeln, hypotenusan, betecknas oftast med c och de två andra sidorna, som kallas kateter, med a och b.

Pythagoras sats384.svg

Enligt Pythagoras sats gäller att summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten av hypotenusan.

I en triangel man vet är rätvinklig, kan satsen användas för att beräkna en okänd sida. Men satsen innebär också att om Pythagoras sats gäller, då är triangeln rätvinklig. Därför kan man även använda satsen för att avgöra om en triangel är rätvinklig, ifall man vet och
fullscreen
Uppgift

Bestäm den okända sidan i triangeln. Längderna är angivna i cm.

Skillpythagoras.svg
Visa Lösning
Lösning

Vi har fått längderna för de två katetrarna i triangeln, alltså och i Pythagoras sats: Den okända sidan, , är hypotenusan och betecknas av i satsen. Vi sätter in de kända sidorna och löser ut .

Hypotenusan är alltså 13 cm lång. Vi fick ett negativt resultat också, men eftersom det är en längd vi är ute efter måste den vara positiv.

fullscreen
Uppgift

Triangeln nedan har sidlängderna cm, cm och cm. Är den rätvinklig?

Skillspythagoras 2.svg
Visa Lösning
Lösning

En av vinklarna i figuren ser ut att vara , men det är omöjligt att veta säkert utan beräkningar. Pythagoras sats gäller bara för rätvinkliga trianglar, vilket innebär att man kan använda den för att avgöra om en triangel är rätvinklig eller ej. Sätter vi in sidlängderna i , där och är de två kortare sidorna cm och cm och är den längsta sidan cm, kommer likheten bara att gälla om triangeln är rätvinklig.

Likheten stämmer inte, vilket innebär att triangeln inte är rätvinklig.

Regel

Notation inom geometri

Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.

Notation

Trianglar:

En triangel kan betecknas med symbolen följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså . En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn och kallas

Notation geometri 122938.svg

Notation

Vinklar: eller

För att namnge en vinkel används tecknet eller ibland , följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas

Notation geometri 121346.svg

Om en linje dras från mot sidan delas vinkel i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är . Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den : man utgår ifrån hörn , följer vinkelbenet mot och sedan till hörn På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för och den gröna .

Notation geometri 442215.svg

Notation

Lika stora sidor eller vinklar: |, || eller |||

Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.

Notation geometri lika 12234.svg
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward