Vinklar och trianglar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Vinkel

En vinkel mäter en vridning och har ofta enheten grader. Vinkeln 00^\circ innebär ingen vridning alls och 360360^\circ motsvarar ett helt varv.

Spetsig vinkel och annan vinkel

Beroende på storleken ges vinklar olika namn, och i intervallet 0<v1800^\circ<v\leq180^\circ delas de upp i fyra kategorier: spetsiga, räta, trubbiga och raka. En rak vinkel är detsamma som ett halvt varv.

Uppgift

Bestäm vinklarnas storlek.

Avgor storlek pa sidovinklar2.svg
Lösning

Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel, så summan av dem är 180180^\circ. Det betyder att 6x+8x+4x=1806x+8x+4x=180^\circ.

6x+8x+4x=1806x+8x+4x=180^\circ
18x=18018x=180^\circ
x=10x=10^\circ

xx är alltså lika med 1010^\circ. Det använder vi för att bestämma vinklarna.

Vinkel Uttryck Beräkning ==
Grön 6x6x 6106\cdot{\color{#0000FF}{10^\circ}} 6060^\circ
Blå 8x8x 8108\cdot{\color{#0000FF}{10^\circ}} 8080^\circ
Röd 4x4x 4104\cdot{\color{#0000FF}{10^\circ}} 4040^\circ

Vinklarnas storlek är alltså 6060^\circ, 8080^\circ och 4040^\circ.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Triangel

En triangel är en polygon med tre hörn, sammanbundna av tre raka sidor. Vinkelsumman är alltid 180.180^\circ. Vissa sorters trianglar förekommer ofta och har därför fått egna namn.

Rätvinklig

Liksidig

Likbent

Återställ


När man räknar ut arean av en triangel använder man basen och höjden. Med triangelns bas menar man någon av sidorna, oftast den som är ritad horisontellt, och med höjden menar man det rätvinkliga avståndet från basen till motstående hörn.
Uppgift

Markera höjden hh i triangeln ABC\triangle ABC när basen utgörs av sidan AB,AB, ACAC respektive BC.BC.

Markera hojden i en triangel.svg
Lösning

Vi går igenom fallen ett i taget.

Exempel

Basen är ABAB

Vi drar höjden från CC vinkelrät mot basen som i nedanstående figur.

Markera hojden i en triangel 2.svg
Exempel

Basen är ACAC

Vi roterar triangeln så att ACAC ligger horisontellt. Höjden förhåller sig som sagt alltid vinkelrätt mot basen så om ACAC utgör bas mäts höjden till B utanför triangeln som i figuren nedan.

Markera hojden i en triangel 1.svg
Exempel

Basen är BCBC

Vi roterar triangeln igen så att BCBC ligger horisontellt och drar höjden från AA mot basen. På samma sätt som när ACAC var bas mäts höjden utanför triangeln.

Markera hojden i en triangel 3.svg


Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Vad är vinkeln vid hörn CC?

Skills Bestamma vinkel med vinkelsumma3.svg
Lösning

Vinkel AA är 5656^\circ och vinkeln BB är rät, det vill säga 9090^\circ. Summan av vinklarna A,A, BB och CC ska vara lika med vinkelsumman för en triangel: 180.180^\circ. Detta bildar en ekvation, som man kan lösa med t.ex. balansmetoden.

56+90+C=18056^\circ+90^\circ+C=180^\circ
146+C=180146^\circ+C=180^\circ
C=34C=34^\circ

Vinkeln vid hörn CC är alltså 3434^\circ.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Pythagoras sats

Om en triangel är rätvinklig gäller Pythagoras sats, som anger sambandet mellan de tre sidornas längder. Den längsta sidan i triangeln, hypotenusan, betecknas oftast med c och de två andra sidorna, som kallas kateter, med a och b.

Pythagoras sats384.svg

Enligt Pythagoras sats gäller att summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten av hypotenusan.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

I en triangel man vet är rätvinklig, kan satsen användas för att beräkna en okänd sida. Men satsen innebär också att om Pythagoras sats gäller, då är triangeln rätvinklig. Därför kan man även använda satsen för att avgöra om en triangel är rätvinklig, ifall man vet a,a, bb och c.c.
Uppgift

Bestäm den okända sidan i triangeln. Längderna är angivna i cm.

Skillpythagoras.svg
Lösning

Vi har fått längderna för de två katetrarna i triangeln, alltså aa och bb i Pythagoras sats: a2+b2=c2. a^2 + b^2 = c^2. Den okända sidan, xx, är hypotenusan och betecknas av cc i satsen. Vi sätter in de kända sidorna och löser ut xx.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
52+122=x25^2+12^2=x^2
25+144=x225+144=x^2
169=x2169=x^2
x2=169x^2=169
x=±169x=\pm \sqrt{169}
x=±13x=\pm 13
x>0 x \gt 0
x=13x= 13

Hypotenusan xx är alltså 13 cm lång. Vi fick ett negativt resultat också, men eftersom det är en längd vi är ute efter måste den vara positiv.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Triangeln nedan har sidlängderna 3333 cm, 5555 cm och 6565 cm. Är den rätvinklig?

Skillspythagoras 2.svg
Lösning

En av vinklarna i figuren ser ut att vara 9090^\circ, men det är omöjligt att veta säkert utan beräkningar. Pythagoras sats gäller bara för rätvinkliga trianglar, vilket innebär att man kan använda den för att avgöra om en triangel är rätvinklig eller ej. Sätter vi in sidlängderna i a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, där aa och bb är de två kortare sidorna 3333 cm och 5555 cm och cc är den längsta sidan 6565 cm, kommer likheten bara att gälla om triangeln är rätvinklig.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
332+552=?65233^2+55^2\stackrel ? = 65^2
1089+3025=?42251089 + 3025 \stackrel ?=4225
411442254114 \neq 4225

Likheten stämmer inte, vilket innebär att triangeln inte är rätvinklig.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Notation inom geometri

Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.

Notation

Trianglar: \triangle

En triangel kan betecknas med symbolen \triangle följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså ABC\triangle ABC. En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn AA och BB kallas AB.AB.

Notation geometri 122938.svg

Notation

Vinklar: \wedge eller \angle

För att namnge en vinkel används tecknet \wedge eller ibland \angle, följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas B.\wedge B.

Notation geometri 121346.svg

Om en linje dras från B\wedge B mot sidan ACAC delas vinkel BB i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är B\wedge B. Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den ABD\wedge ABD: man utgår ifrån hörn AA, följer vinkelbenet mot BB och sedan till hörn D.D. På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för ABC\wedge ABC och den gröna DBC\wedge DBC .

Notation geometri 442215.svg

Notation

Lika stora sidor eller vinklar: |, || eller |||

Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.

Notation geometri lika 12234.svg

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm trianglarnas okända vinklar.


a
Exercise716 3.svg
b
Exercise716 4.svg
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur lång är sidan x i trianglarna?


a
Exercise709 1.svg
b
Exercise709 2.svg
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkeln v.v.

Exercise737 3.svg
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkeln v.v.

Exercise731 1.svg
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

MM är mittpunkt i rektangeln ABCD.ABCD. Besvara frågorna med hjälp av figuren.

Uppg943 1.svg


a

Hur stor är AMC\wedge AMC?

b

Hur stor är ABD\wedge ABD?

c

Vilka vinklar är 3737 ^\circ?

d

Har ABC\triangle ABC eller CMD\triangle CMD störst area?

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Parkeringsplatsen är 3030 m bred och 6060 m lång. Dogge står vid ena hörnet och ska till det motsatta. Hur lång är den kortaste vägen dit?

Exercise378 1.svg
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren visas två räta linjer som skär varandra. Bestäm vinklarna x, y och z.

Uppgift740 5.svg
1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna vinkeln v.v.

Nationella provet VT02 MaA
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En triangel är både rätvinklig och likbent. Bestäm triangelns vinklar och den sista sidlängden om kateterna är 5 cm långa. Svara exakt.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En likbent triangel har en vinkel som är 50.50^\circ. Bestäm de andra vinklarna.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En fyrhörning ABCDABCD har delats in i två trianglar.

Exercise944 1.svg


a

Skriv två olika notationer för vinkeln vid hörn B.B.

b

Vilken vinkel är BDC?\wedge BDC?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket eller vilka av följande påståenden om trianglar är sant/sanna? Motivera.

  1. En triangel kan ha en trubbig vinkel.
  2. Höjden är alltid vinkelrät mot basen.
  3. Alla vinklar är alltid spetsiga.
  4. Det måste finnas minst två spetsiga vinklar.
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor är vinkeln BDC\wedge BDC?

Exercise765 1 1.svg
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två likadana femvåningshus står 1515 meter ifrån varandra. Alla våningsplan är identiska och det är 3.23.2 meter mellan varje. Ramon bor på tredje våningen i det ena huset och vill sätta upp en burktelefon till det andra huset. Hur lång lina behöver han skaffa om telefonen ska kunna nå vilken våning som helst?

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En regelbunden femhörning delas in i tre trianglar.

Exercise733 1.svg

Bestäm vinklarna i den blå triangeln om du vet att vinkelsumman i en femhörning är 540.540^\circ.

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En 33 m lång stege lutas mot en vägg. Foten av stegen står 11 m från väggen och den når 2.72.7 m upp på väggen. Marken som stegen står på är vågrät och jämn. Är väggen lodrät?

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor blir vinkeln mellan visarna på en klocka då den är


a

02:00?

b

15:30?

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad finns det för samband mellan kvadraternas areor?

Exercise828 13.svg
2.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du och dina vänner har fått i uppgift av kommunen att resa ett trafikljus som ni krockat med under en festival. Ni fäster ett rep i stolpen så att repet sitter 3.5 m från dess fot som i figuren.

Exercise379 1.svg

Hur långt ifrån trafikljuset står du när ni rest det om du har 8 m rep framför dig och repet hålls 0.4 meter över marken?

Exercise379 1 2.svg
2.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren syns en halvcirkel, med sträckor angivna i cm. Bestäm a med informationen i figuren.

Exercise734 1.svg
2.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor del av figuren är skuggad?

Nationella provet VT02 MaA
2.14
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Undersök likbenta trianglar som har en vinkel som är 50.50^\circ. Bestäm övriga vinklar i de trianglar som du hittar. Motivera med figurer eller beräkningar.

Nationella provet VT02 MaA
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En kvadrat skrivs in i en cirkel med diametern 10 cm så att kvadratens diagonal sammanfaller med cirkelns diameter. Hur stor blir kvadratens omkrets? Svara exakt med ett så litet rotuttryck som möjligt.

Exercise707 1 1.svg
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En liksidig grön triangel med höjden 33 dm är inskriven i en större liksidig blå triangel så vi får totalt fyra identiska små trianglar, tre blå och en grön.

Liksidig triangel 381 1.svg

Bestäm sidlängderna för den stora triangeln respektive de små trianglarna. Ge ett exakt svar.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm kvoten xh\frac{x}{h} om ABCABC är en halv liksidig triangel. Svara exakt.

Exercise732 1 1.svg
3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Cirkeln nedan har radien r. Beräkna vinkeln v.

Exercise761 1 1.svg
3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En konsttjuv försöker få ut en tavla med måtten 60×60×460\times 60\times 4 cm genom ett badrumsfönster med måtten 45×4545\times 45 cm. Går det?

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En regelbunden femhörning har omkretsen 200200 cm och arean 2750 cm22\,750 \text{ cm}^2. Vilken höjd har den?

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bevisa Pythagoras sats, att a2+b2=c2,a^2+b^2=c^2, med hjälp av figuren. Du vet att det röda området är en kvadrat inskriven i den större blå kvadraten.

Exercise827 1 1.svg
3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur lång är rymddiagonalen i rummet nedan?

Exercise382 1.svg
3.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En fotbollsspelare lägger en straff som går i mål i markhöjd alldeles innanför den högra målstolpen. Bollen gick över mållinjen 0.250.25 sekunder efter att målskytten sparkat iväg bollen. Straffpunkten ligger 1111 m från mållinjen och avståndet mellan målstolparna är 7.327.32 meter. Bollen har radien 0.110.11 meter. Hur snabbt färdades bollen?

3.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

MM och NN är mittpunkter på sidorna. Hur stor del av kvadratens area är färgad? Rita av figuren och redovisa din lösning.

Nationella provet VT10 MaA
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två halvcirklar är inskrivna i en kvadrat med sidan 10 cm enligt figuren. De nuddar precis varandra i den röda punkten, vilket innebär att de tangerar varandra. Genom den punkten kan man dra en linje (tangent) som är vinkelrät mot båda cirklarnas radier.

Exercise706 1.svg

Beräkna kvoten mellan den blå och den gröna arean. Svara exakt och på enklaste form.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}