1. Vinklar och trianglar
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
1.
Vinklar och trianglar
Lektionen fokuserar på geometri, särskilt trianglar och deras vinklar. Den förklarar olika typer av trianglar, såsom rätvinkliga, liksidiga och likbenta trianglar, och hur man kan använda Pythagoras sats för att beräkna sidorna. Sidan innehåller också information om hur man räknar ut vinklar i trianglar, inklusive användningen av olika geometriska tecken och symboler. Dessutom förklaras begrepp som hypotenusa, kateter och vinkelsumma. Det finns exempel och illustrationer som hjälper till att förstå dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 11 sidor teori |
| | 33 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Vinklar och trianglar
Sida av 11
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Vinkel
- Vinkeltyper
- Triangel
- Pythagoras sats
- Notation inom geometri
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Vinkel
En vinkel är en plan figur som bildas av två strålar som har samma startpunkt. Denna gemensamma punkt kallas för vinkelspetsen och strålarna är vinkelben.
Det finns olika sätt att beteckna en vinkel och ofta använder man symbolen ∧
framför namnet. Ett sätt att namnge en vinkel är att använda punkten som utgör vinkelspetsen. Ett annat sätt är att använda alla tre punkter som används för att beskriva vinkeln. I detta fall skrivs punkten som utgör vinkelspetsen alltid i mitten av namnet, men däremot används inte alltid symbolen ∧. Utöver dessa sätt så kan vinklar ibland namnges med gemena latinska och grekiska.
| Notation | |
|---|---|
| Vinkelspets | ∧ B |
| Vinkelspets och en punkt på varje stråle | ∧ ABC eller ∧ CBA |
| Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan ∧ | ABC eller CBA |
| Grekiska bokstäver | T.ex. ∧ α eller ∧ β eller ∧ θ |
Ibland används symbolen ∠
i stället för ∧ för att beteckna vinklar. Värdet av en vinkel är antalet grader mellan vinkelbenen. Det kan mätas med hjälp av en gradskiva.
Insida och utsida av en vinkel
En vinkel kan dela in ett plan i två delar.
- Området mellan vinkelbenen, eller vinkels
insida
. - Området utanför vinkelbenen, eller vinkels
utsida
.
Dessa områden kan undersökas i följande applikation.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Vinkeltyper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hur stora är vinklarna?
Bestäm vinklarnas storlek.
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"ordermatters":false,"numinput":3,"listEditable":false,"hideNoSolution":true},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["40","60","80"]}}
Ledtråd
Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel.
Lösning
Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel, så summan av dem är 180^(∘). Det betyder att 6x+8x+4x=180^(∘).
x är alltså lika med 10^(∘). Det använder vi för att bestämma vinklarna.
| Vinkel | Uttryck | Beräkning | = |
|---|---|---|---|
| Grön | 6x | 6* 10^(∘) | 60^(∘) |
| Blå | 8x | 8* 10^(∘) | 80^(∘) |
| Röd | 4x | 4* 10^(∘) | 40^(∘) |
Vinklarnas storlek är alltså 60^(∘), 80^(∘) och 40^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Triangel
En triangel är en polygon med tre vinklar och tre sidor. Symbolen △
används för att skriva namnet på en triangel. Bredvid denna symbol skrivs triangelns tre hörn i vilken ordning som helst. Till exempel kan en triangel med hörn A, B och C skrivas som både △ ABC och △ BCA.
Trianglar kan delas in i kategorier baserat på antingen deras sidlängder eller deras vinklar.
I följande tabell finns alla olika typer av trianglar, indelade i olika grupper baserat på om de har att göra med triangelns vinklar eller sidlängder.
| Typer av trianglar | |
|---|---|
| Vinklar | Sidlängder |
| Spetsvinklig triangel | Likbent triangel |
| Rätvinklig triangel | Liksidig triangel |
| Trubbvinklig triangel | |
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Vad är höjden i en triangel?
Markera höjden h i triangeln △ ABC när basen utgörs av sidan AB, AC respektive BC.
Svar
Graf:
Ledtråd
En triangels höjd är ett linjesegment mellan en av triangelns hörn och dess motsatta sida, som bildar en rät vinkel med den motsatta sidan.
Lösning
En triangels höjd är ett linjesegment mellan en av triangelns hörn och dess motsatta sida, som bildar en rät vinkel med den motsatta sidan. Vi går igenom fallen ett i taget.
Basen är AB
Vi drar höjden från C vinkelrät mot basen AB som i nedanstående figur.
Basen är AC
I det här fallet måste basen AC förlängas utanför triangeln först. Så om AC utgör bas mäts höjden till B utanför triangeln som i figuren nedan.
Basen är BC
På samma sätt som när AC var basen måste basen BC utökas. Sedan dras höjden från A.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hur stor är tredje vinkeln i triangeln?
Vad är vinkeln vid hörn C?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"C=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["34"]}}
Ledtråd
Summan av måtten på vinklarna i en triangel är alltid lika med 180^(∘).
Lösning
Vinkel A är 56^(∘) och vinkeln B är rät, det vill säga 90^(∘). Summan av vinklarna A, B och C ska vara lika med vinkelsumman för en triangel: 180^(∘). Detta bildar en ekvation, som man kan lösa med t.ex. balansmetoden.
56^(∘)+90^(∘)+C=180^(∘)
SimpTerms
Förenkla termerna
146^(∘)+C=180^(∘)
SubEqn
VL-146^(∘)=HL-146^(∘)
C=34^(∘)
Vinkeln vid hörn C är alltså 34^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Pythagoras sats
För rätvinkliga trianglar är hypotenusan i kvadrat lika med summan av kvadraterna på kateterna.
Satsen kan användas för att hitta längden på den tredje sidan när två sidlängder är kända.
Bevis
AnvändningBörja med att rita fyra kongruenta rätvinkliga trianglar med kateterna a och b, och hypotenusan c. Dessa trianglar kan arrangeras för att bilda två kvadrater, med en kvadrat inuti den andra.
Observera att sidlängderna på den yttre kvadraten är lika med a+b. Dessutom är sidlängderna på den inre kvadraten lika med c. Arean för båda kvadraterna och arean för de fyra trianglarna är följande.
| Area för den inre kvadraten | Area för den yttre kvadraten | Area för de fyra trianglarna |
|---|---|---|
| c^2 | (a+b)^2 | 4* ab/2 = 2ab |
Arean för den yttre kvadraten är lika med summan av arean för den inre kvadraten och arean för de fyra trianglarna. Det visar den tidigare figuren. (a+b)^2=c^2+2ab Denna ekvation kan förenklas genom att utveckla det algebraiska uttrycket på vänstra sidan.
(a+b)^2=c^2+2ab
PowToProdTwoFac
a^2=a* a
(a+b)(a+b)=c^2+2ab
Distr
Multiplicera in (a+b)
(a+b)a+(a+b)b = c^2+2ab
Distr
Multiplicera in a & b
a^2 + ab + ab + b^2 = c^2+2ab
AddTerms
Addera termerna
a^2+2ab+b^2=c^2+2ab
SubEqn
VL-2ab=HL-2ab
a^2+b^2=c^2 ✓
Extra
Lite om PythagorasDenna sats är uppkallad efter den grekiska filosofen och matematikern Pythagoras, som levde på 500-talet f.Kr. Pythagoras anses vara en av de första matematikerna som använde irrationella tal i sina beräkningar. Dessutom studerade han perfekta kroppar, perfekta tal och polygontal, bland andra ämnen. Här är definitionen av perfekta tal tillsammans med några exempel.
Pythagoras tillskrivs också andra upptäckter och bidrag till astronomi och filosofi. Med allt detta, fundera över detta roliga faktum: Det finns inga böcker eller anteckningar skrivna av Pythagoras själv!
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm okänd sida i en rätvinklig triangel
Bestäm den okända sidan i triangeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["13"]}}
Ledtråd
Använd Pythagoras sats.
Lösning
Vi har fått längderna för de två katetrarna i triangeln, alltså a och b i Pythagoras sats:
a^2 + b^2 = c^2.
Den okända sidan, x, är hypotenusan och betecknas av c i satsen. Vi sätter in de kända sidorna och löser ut x.
a^2+b^2=c^2
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
5^2+12^2=x^2
CalcPow
Beräkna potens
25+144=x^2
AddTerms
Addera termerna
169=x^2
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x^2=169
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x=± sqrt(169)
CalcRoot
Beräkna rot
x=± 13
x > 0
x= 13
Hypotenusan x är alltså 13cm lång. Vi fick ett negativt resultat också, men eftersom det är en längd vi är ute efter måste den vara positiv.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Är triangeln rätvinklig?
Triangeln nedan har sidlängderna 33cm, 55cm och 65cm. Är den rätvinklig?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Ledtråd
Använd Pythagoras sats för att avgöra om triangeln är en rätvinklig triangel.
Lösning
En av vinklarna i figuren ser ut att vara 90^(∘), men det är omöjligt att veta säkert utan beräkningar. Pythagoras sats gäller bara för rätvinkliga trianglar, vilket innebär att man kan använda den för att avgöra om en triangel är rätvinklig eller ej.
a^2 + b^2 = c^2
Sätter vi in sidlängderna i föregående formel, där a och b är de två kortare sidorna 33cm och 55cm och c är den längsta sidan 65cm, kommer likheten bara att gälla om triangeln är rätvinklig.
a^2+b^2=c^2
SubstituteValues
Sätt in värden
33^2+55^2\stackrel ? = 65^2
CalcPow
Beräkna potens
1\,089 + 3\,025 \stackrel ?= 4\,225
AddTerms
Addera termerna
4 114 ≠ 4 225
Likheten stämmer inte, vilket innebär att triangeln inte är rätvinklig.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Notation inom geometri
Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.
Notation
Trianglar: △En triangel kan betecknas med symbolen △ följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså △ ABC. En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn A och B kallas AB.
Notation
Vinklar: ∧ eller ∠För att namnge en vinkel används tecknet ∧ eller ibland ∠, följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas ∧ B.
Om en linje dras från ∧ B mot sidan AC delas vinkel B i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är ∧ B. Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den ∧ ABD: man utgår ifrån hörn A, följer vinkelbenet mot B och sedan till hörn D. På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för ∧ ABC och den gröna ∧ DBC.
Notation
Lika stora sidor eller vinklar: |, || eller |||Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Vinklar och trianglar
Uppgift 4.1
Två halvcirklar är inskrivna i en kvadrat med sidan 10cm enligt figuren. De nuddar precis varandra i den röda punkten, vilket innebär att de tangerar varandra. Genom den punkten kan man dra en linje (tangent) som är vinkelrät mot båda cirklarnas radier.
Beräkna kvoten mellan den blå och den gröna arean, d.v.s. A_(blå)A_(grön). Svara exakt och på enklaste form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"A_(bl\u00e5)A_(gr\u00f6n)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{4}{9}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna arean av halvcirklarna använder vi formeln π r^2, som är arean av en cirkel. En halvcirkel är hälften av detta: A= π r^22. Vi måste alltså ta reda på cirklarnas radie.
Area grön halvcirkel
Den gröna halvcirkelns radie är hälften av kvadratens sida, dvs. r= 5cm. Detta ger arean A_(grön)=π* 5^2/2=25π/2 cm^2.
Area blå halvcirkel
Vi vet att tangenten är vinkelrät mot båda radier. Om vi drar radier från halvcirklarnas mittpunkter till tangeringspunkten kommer de bilda en rät linje.
Vi kallar den blå halvcirkelns radie för r. Vi kan då markera ut följande längder i figuren.
Det bildas en rätvinklig triangel där de sammankopplade radierna utgör hypotenusan. Den lodräta kateten är kvadratens sida minus radien för den blå halvcirkeln (10-r) och den vågräta kateten är 5cm.
För att bestämma r kan vi använda Pythagoras sats. Vi sätter in hypotenusa och katetlängder och löser ut r.
Då ser vi att radien är r= 103cm. Nu kan vi beräkna arean.
Nu beräknar vi kvoten mellan areorna genom att dividera den blå arean med den gröna.
Kvoten är alltså 49.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Vinklar och trianglar
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll