{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Videolektion Mathleaks
play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt
Minispelare aktiv
Koncept
Vinkel
En vinkel är en plan figur som bildas av två strålar som har samma startpunkt. Denna gemensamma punkt kallas för vinkelspetsen och strålarna är vinkelben.
Det finns olika sätt att beteckna en vinkel och ofta använder man symbolen ∧
framför namnet. Ett sätt att namnge en vinkel är att använda punkten som utgör vinkelspetsen. Ett annat sätt är att använda alla tre punkter som används för att beskriva vinkeln. I detta fall skrivs punkten som utgör vinkelspetsen alltid i mitten av namnet, men däremot används inte alltid symbolen ∧. Utöver dessa sätt så kan vinklar ibland namnges med gemena latinska och grekiska.
| Vinkelspets | Vinkelspets och en punkt på varje stråle | Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan ∧ | Grekiska bokstäver |
|---|---|---|---|
| ∧B | ∧ABC eller ∧CBA | ABC eller CBA | T.ex. ∧α eller ∧β eller ∧θ |
Ibland används symbolen ∠
i stället för ∧ för att beteckna vinklar. Värdet av en vinkel är antalet grader mellan vinkelbenen. Det kan mätas med hjälp av en gradskiva.
Insida och utsida av en vinkel
En vinkel kan dela in ett plan i två delar.
- Området mellan vinkelbenen, eller vinkels
insida
. - Området utanför vinkelbenen, eller vinkels
utsida
.
Exempel
Hur stora är vinklarna?
Bestäm vinklarnas storlek.
Visa Lösning expand_more
Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel, så summan av dem är 180∘. Det betyder att 6x+8x+4x=180∘.
x är alltså lika med 10∘. Det använder vi för att bestämma vinklarna.
| Vinkel | Uttryck | Beräkning | = |
|---|---|---|---|
| Grön | 6x | 6⋅10∘ | 60∘ |
| Blå | 8x | 8⋅10∘ | 80∘ |
| Röd | 4x | 4⋅10∘ | 40∘ |
Vinklarnas storlek är alltså 60∘, 80∘ och 40∘.
Koncept
Triangel
En triangel är en polygon med tre vinklar och tre sidor. Symbolen 
△används för att skriva namnet på en triangel. Bredvid denna symbol skrivs triangelns tre hörn i vilken ordning som helst. Till exempel kan en triangel med hörn A, B och C skrivas som både △ABC och △BCA.
Trianglar kan delas in i kategorier baserat på antingen deras sidlängder eller deras vinklar.
I följande tabell finns alla olika typer av trianglar, indelade i olika grupper baserat på om de har att göra med triangelns vinklar eller sidlängder.
| Typer av trianglar | |
|---|---|
| Vinklar | Sidlängder |
| Spetsvinklig triangel | Likbent triangel |
| Rätvinklig triangel | Liksidig triangel |
| Trubbvinklig triangel | |
Exempel
Vad är höjden i en triangel?
Markera höjden h i triangeln △ABC när basen utgörs av sidan AB, AC respektive BC.
Visa Lösning expand_more
Vi går igenom fallen ett i taget.
Exempel
Basen är AB
Exempel
Basen är AC
Exempel
Basen är BC
Exempel
Hur stor är tredje vinkeln i triangeln?
Vad är vinkeln vid hörn C?
Visa Lösning expand_more
Vinkel A är 56∘ och vinkeln B är rät, det vill säga 90∘. Summan av vinklarna A, B och C ska vara lika med vinkelsumman för en triangel: 180∘. Detta bildar en ekvation, som man kan lösa med t.ex. balansmetoden.
Vinkeln vid hörn C är alltså 34∘.
Regel
Pythagoras sats
För rätvinkliga trianglar är hypotenusan i kvadrat lika med summan av kvadraterna på kateterna.
Bevis
AnvändningBörja med att rita fyra kongruenta rätvinkliga trianglar med kateterna a och b, och hypotenusan c. Dessa trianglar kan arrangeras för att bilda två kvadrater, med en kvadrat inuti den andra.
Observera att sidlängderna på den yttre kvadraten är lika med a+b. Dessutom är sidlängderna på den inre kvadraten lika med c. Arean för båda kvadraterna och arean för de fyra trianglarna är följande.
Arean för den yttre kvadraten är lika med summan av arean för den inre kvadraten och arean för de fyra trianglarna. Det visar den tidigare figuren.
| Area för den inre kvadraten | Area för den yttre kvadraten | Area för de fyra trianglarna |
|---|---|---|
| c2 | (a+b)2 | 4⋅2ab=2ab |
(a+b)2=c2+2ab
Denna ekvation kan förenklas genom att utveckla det algebraiska uttrycket på vänstra sidan.
(a+b)2=c2+2ab
PowToProdTwoFac
a2=a⋅a
(a+b)(a+b)=c2+2ab
Distr
Multiplicera in (a+b)
(a+b)a+(a+b)b=c2+2ab
Distr
Multiplicera in a & b
a2+ab+ab+b2=c2+2ab
AddTerms
Addera termer
a2+2ab+b2=c2+2ab
SubEqn
VL−2ab=HL−2ab
a2+b2=c2 ✓
Extra
Lite om PythagorasDenna sats är uppkallad efter den grekiska filosofen och matematikern Pythagoras, som levde på 500-talet f.Kr. Pythagoras anses vara en av de första matematikerna som använde irrationella tal i sina beräkningar. Dessutom studerade han perfekta kroppar, perfekta tal och polygontal, bland andra ämnen. Här är definitionen av perfekta tal tillsammans med några exempel.
Pythagoras tillskrivs också andra upptäckter och bidrag till astronomi och filosofi. Med allt detta, fundera över detta roliga faktum: Det finns inga böcker eller anteckningar skrivna av Pythagoras själv!
Exempel
Bestäm okänd sida i en rätvinklig triangel
Bestäm den okända sidan i triangeln. Längderna är angivna i cm.
Visa Lösning expand_more
Vi har fått längderna för de två katetrarna i triangeln, alltså a och b i Pythagoras sats:
a2+b2=c2.
Den okända sidan, x, är hypotenusan och betecknas av c i satsen. Vi sätter in de kända sidorna och löser ut x.
a2+b2=c2
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
52+122=x2
CalcPow
Beräkna potens
25+144=x2
AddTerms
Addera termer
169=x2
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x2=169
SqrtEqn
VL=HL
x=±169
CalcRoot
Beräkna rot
x=±13
x>0
x=13
Hypotenusan x är alltså 13 cm lång. Vi fick ett negativt resultat också, men eftersom det är en längd vi är ute efter måste den vara positiv.
Exempel
Är triangeln rätvinklig?
Triangeln nedan har sidlängderna 33 cm, 55 cm och 65 cm. Är den rätvinklig?
Visa Lösning expand_more
En av vinklarna i figuren ser ut att vara 90∘, men det är omöjligt att veta säkert utan beräkningar. Pythagoras sats gäller bara för rätvinkliga trianglar, vilket innebär att man kan använda den för att avgöra om en triangel är rätvinklig eller ej. Sätter vi in sidlängderna i a2+b2=c2, där a och b är de två kortare sidorna 33 cm och 55 cm och c är den längsta sidan 65 cm, kommer likheten bara att gälla om triangeln är rätvinklig.
a2+b2=c2
SubstituteValues
Sätt in värden
332+552=?652
CalcPow
Beräkna potens
1089+3025=?4225
AddTerms
Addera termer
4114=4225
Likheten stämmer inte, vilket innebär att triangeln inte är rätvinklig.
Regel
Notation inom geometri
Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.
Notation
Trianglar: △En triangel kan betecknas med symbolen △ följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså △ABC. En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn A och B kallas AB.
Notation
Vinklar: ∧ eller ∠För att namnge en vinkel används tecknet ∧ eller ibland ∠, följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas ∧B.
Om en linje dras från ∧B mot sidan AC delas vinkel B i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är ∧B. Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den ∧ABD: man utgår ifrån hörn A, följer vinkelbenet mot B och sedan till hörn D. På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för ∧ABC och den gröna ∧DBC .
Notation
Lika stora sidor eller vinklar: |, || eller |||Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.
Laddar innehåll