Samband mellan graf och funktionsuttryck

Vi kan börja med att skissa en andragradskurva som uppfyller villkoren. Extrempunkten ligger på den negativa y-axeln, vilket betyder att den ligger under x-axeln och på y-axeln.

Vi vet också att extrempunkten är ett minimum, så grafen går uppåt på båda sidor av punkten. Att grafen har en minimipunkt betyder också att koefficienten framför x^2 är positiv, vilket ger oss villkoret att a är större än noll: a > 0.

Konstanten c är skärningspunkten med y-axeln. Grafen skär y-axeln på den negativa delen så c måste vara negativt, dvs. vi får villkoret c < 0.

Vad finns det för villkor på b? En andragradsfunktions extrempunkt ligger alltid på symmetrilinjen. Eftersom den ligger på y-axeln är den x_s=0. Detta kan vi använda för att bestämma b. Vi ställer upp y=0 och använder pq-formeln.

Symmetrilinjen är den första termen. Eftersom vi vet att den är x_s=0 kan vi ställa upp ekvationen -b/a/2=0. Vi löser ut b.

b är alltså lika med 0. Nu har vi tagit fram alla villkor för konstanterna: a>0, b=0 och c<0.

Ett nollställe är ett x-värde där funktionsvärdet är 0. För att hitta dem löser man ekvationen f(x)=0. Vi ställer upp funktionen och använder pq-formeln.

Om funktionen endast ska ha ett nollställe ska denna ekvationen endast ha en lösning. Det har den när diskriminanten är 0. Vi undersöker för vilka b det sker.

Funktionen har ett endast ett nollställe om b=-2 eller b=2.

Oavsett hur andragradskurvan ser ut kommer maximipunkten ligga på samma x-värde som symmetrilinjen. Vi bestämmer symmetrilinjen för f(x). Det gör vi genom att ställa upp f(x)=0 och använda pq-formeln. Det gjorde vi i förra deluppgiften och fick då x=--2b/2±sqrt((- 2b/2)^2-4). Symmetrilinjen ges av den första termen.

Oavsett vilket b man väljer kommer symmetrilinjen att vara x=b. Exempelvis blir symmetrilinjen x_s=2 om b=2 och x_s=-1 om b=-1. Om vi sätter in x=b i f(x) får vi reda på vad maximipunkternas y-värde är för ett generellt b.

Funktionsvärdena för maximipunkterna varierar alltså med b enligt 0,5b^2-2. Och det är ju precis det som g ska beskriva: g(b)=0,5b^2-2. I f är b en konstant medan den i g är en variabel. Det betyder att f(b) är värdet på f när x=b. Vi kan därför byta ut b mot x, vilket ger g(x)=0,5x^2-2.

Vi vet att alla maxpunkter på f(x) kommer att vara punkter som ligger på g(x). Om vi kan hitta tre olika maxmimipunkter för f(x) kan vi använda dem för att bestämma g(x). I förra deluppgiften beräknade vi att f(x) har ett nollställe om b=± 2. Det måste betyda att f(x) precis nuddar x-axeln, dvs. maximivärdet är 0.

Vi hittar dessa punkter genom att lösa ekvationerna f(x)=0 för b=-2 och b=2. Vi börjar med b=-2.

Maximipunkten är alltså (-2,0) när b=-2. Det betyder att denna punkt ligger på g(x). Om man gör motsvarande beräkningar för b=2 får man maximipunkten (2,0). Nu behöver vi bara en punkt till. Titta på den funktion med den lägsta maximipunkten.

Där ligger maximipunkten punkten på y-axeln dvs. när x=0. Vi sätter in det för att beräkna y.

Den minsta maximipunkten är alltså (0,- 2). Det betyder att g(x) skär y-axeln i y=-2 så dess konstantterm måste vara -2: g(x)=ax^2+cx-2. För att bestämma konstanterna a och c använder vi punkterna (-2,0) och (2,0) för att ta fram ett ekvationssystem: a(-2)^2+c(-2)-2=0 a*2^2+c*2-2=0. Vi löser det med additionsmetoden.

a är alltså 0,5 och c är 0. Det ger g(x)=0,5x^2-2.

Låt oss börja med att komma ihåg formeln för symmetriaxeln för en kvadratisk funktion. ccc Kvadratisk funktion & & Symmetriaxel [0.8em] y=ax^2+bx+c & & x=- b/2a

När b=0

Om b=0, kan vi hitta ekvationen för symmetriaxeln genom att ersätta b med 0 i motsvarande formel.

Om b=0, är symmetriaxeln den vertikala linjen x=0.

När a=0

Vad händer nu om a= 0? Vi kan titta på detta på två olika sätt.

Använda ekvationen för symmetriaxeln

Symmetriaxel x=- b/2 a ⇔ x=- b/2( 0) Om a=0, skulle vi behöva dividera med 0, vilket är en operation som inte är definierad. Därför, om a=0, är det omöjligt att hitta symmetriaxeln.

Använda den allmänna formen för en kvadratisk funktion

Vi kan motivera detta på ett annat sätt. Betrakta ekvationen för funktionen när a=0. y=0x^2+bx+c ⇔ y=bx+c Detta är inte ekvationen för en kvadratisk funktion, utan ekvationen för en linjär funktion, vars graf är en rät linje. Observera att en linje också kan visa symmetri kring en linje, men det är inte det vi letar efter i det här fallet.

Betrakta ekvationen för en kvadratisk funktion där b=0. f(x)=ax^2+ 0x+c ⇔ f(x)= ax^2+c Ekvationen ovan är en vertikal translation av grafen för moderfunktionen g(x) = ax^2, vars vertex är placerad vid origo. f(x)= ax^2_(g(x))+c Därför kommer deras vertexar att ligga på samma vertikala linje x=0. Grafen nedan illustrerar denna situation.

Som vi kan se ovan är x-koordinaten för vertexen för f(x) = ax^2+c lika med 0. Eftersom symmetriaxeln är den vertikala linjen genom vertexen, är symmetriaxeln för denna funktion linjen x=0.

Låt oss nu betrakta vad som händer om a=0. h(x)= 0x^2+bx+c ⇔ h(x) = bx+c Detta är inte ekvationen för en kvadratisk funktion eftersom den inte har någon kvadratisk term. Istället är det en linjär funktion. Då är grafen inte en parabel och vi kan inte prata om symmetriaxeln i samma bemärkelse.

Observera att en linje också kan visa symmetri kring en linje, men det är inte det vi letar efter i det här fallet.

Låt oss börja med att granska effekterna av parametern a på grafen för funktionen y=ax^2.

• Om a<0 orsakar det en spegling i x-axeln.
• Om 0 < |a| <1 orsakar det en vertikal krympning, vilket tar grafen närmare x-axeln.
• Om 1 < |a| orsakar det en vertikal sträckning, vilket tar grafen bort från x-axeln.

Med detta i åtanke, låt oss ta en titt på grafen som ges i övningen för Del A.

Som vi kan se ovan sträcks grafen för g(x) vertikalt, men den speglas inte i x-axeln. Därför kan parametern a vara vilket reellt tal som helst som är större än 1.

Låt oss börja med att analysera grafen som ges för Del B.

Som vi kan se ovan krymps grafen för g(x) vertikalt och speglas i x-axeln. Därför, med samma argument som nämns i Del A, kan parametern a vara vilket reellt tal som helst -1