Polynomfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En polynomfunktion är en funktion där funktionsuttrycket består av ett polynom, t.ex. p(x)=x217ochq(x)=3x4x+9. p(x)=x^2-17 \quad \text{och} \quad q(x)=3x^4-x+9.

Definitionsmängden för polynomfunktioner är alltid alla reella tal.
Regel

Antal nollställen till polynomfunktioner

En polynomfunktions nollställen är de xx-värden där grafen till funktionen skär xx-axeln. Generellt gäller att ett polynom av grad nn maximalt kan ha nn stycken nollställen. Exempelvis kan en tredjegradsfunktion ha 1,1, 2,2, eller 33 nollställen beroende på grafens form och placering i yy-led.

Ett nollställe

Två nollställen

Tre nollställen

Metod

Bestämma nollställen till en polynomfunktion

Om man inte har en graf där man direkt kan läsa av nollställena till en polynomfunktion f(x)f(x) kan man istället sätta funktionsuttrycket lika med 00 och algebraiskt lösa polynomekvationen f(x)=0. f(x)=0.

Om ekvationen är av grad 2 kan den t.ex. lösas med pqpq-formeln, men är den av högre grad är det ofta svårt att lösa den generellt. Ibland går det dock att lösa polynomekvationer av högre grad med nollproduktmetoden eller variabelsubstitution. Man kan även utnyttja räknaren för att lösa en sådan ekvation.
Uppgift
Bestäm nollställena till tredjegradsfunktionen y=x3+20x2+19xy=x^3+20x^2+19x algebraiskt. Kontrollera sedan din lösning grafiskt med räknaren.
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Egenskaper hos polynomfunktioner

Utseendet på en polynomfunktions graf beror bl.a. på funktionens grad. Förstagradspolynom, dvs. linjära funktioner, är räta linjer och andragradspolynom har formen av en parabel. Grafer till polynomfunktioner av högre grad, t.ex. tredjegradspolynom och fjärdegradspolynom, vänder ofta flera gånger och kan få mer komplicerade utseenden.

Grafer till polynomfunktioner av grad 1 tom 6

Graferna har dock en del gemensamma egenskaper som kan vara viktiga att känna till.

Begrepp

Lokala och globala extrempunkter

Ett polynom av grad 2,2, dvs. en andragradsfunktion, har alltid en extrempunkt i form av maximi- eller minimipunkt. För polynomfunktioner av högre grad kan det finnas fler extrempunkter. Mer specifikt kan ett polynom av grad nn maximalt ha n1n-1 stycken extrempunkter. Exempelvis har ett polynom av grad 44 maximalt 33 extrempunkter.

Det finns lokala och globala extrempunkter. Alla extrempunkter räknas som lokala, men den punkt där funktionen har sitt största eller minsta värde kallas även för global maximipunkt respektive global minimipunkt. Funktionen ovan har ett globalt maximum men inget globalt minimum, eftersom grafen fortsätter nedåt oändligt långt.

Begrepp

Växande och avtagande

Om en funktion antar större och större yy-värden när man går åt höger kallas det för en växande funktion. Ett exempel på detta är en rät linje med positivt kk-värde. Om funktionen istället antar mindre och mindre yy-värden kallas den för avtagande. Polynomfunktioner av högre grad kan vara växande ()(\nearrow) på vissa intervall och avtagande ()(\searrow) på andra.

Titta på grafen igen. Vid de gröna pilarna är funktionen alltså växande. Det innebär att funktionens yy-värde för ett visst xx-värde alltid är större än eller lika stort som något annat tidigare yy-värde. Detta kan formellt skrivas: omx2>x1s ra˚a¨f(x2)f(x1). \text{om} \quad x_2 > x_1 \quad \text{så är} \quad f(x_2) \geq f(x_1). Detta är definitionen av en växande funktion. På motsvarande sätt är definitionen av en avtagande funktion att funktionens yy-värde för ett visst xx-värde alltid är mindre än eller lika med något annat tidigare yy-värde: om x2>x1 s r a˚a¨f(x2)f(x1). \text{om } \quad x_2 > x_1 \quad \text{ så är } \quad f(x_2) \leq f(x_1). Definitionerna för växande och avtagande funktioner gäller bara på intervall eftersom de kräver minst två punkter. Enskilda punkter kan därför inte vara växande eller avtagande.

Begrepp

Terrasspunkter

Ibland kan en växande graf "plana ut" för att därefter fortsätta växa. Punkten där utplaningen sker kallas för en terrasspunkt. Motsvarande gäller för avtagande funktioner som planar ut och sedan fortsätter att avta.

Terrasspunkt
Uppgift

Figuren visar grafen till ett sjättegradspolynom.

Använd figuren för att bestämma

  • nollställena
  • koordinaterna till lokala och globala extrempunkter
  • koordinaterna till eventuella terrasspunkter
  • de intervall där funktionen är växande respektive avtagande.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka funktioner är polynomfunktioner?

  • p(x)=x5+5x4x27p(x)=x^5+5x^4-x^2-7
  • q(x)=1xq(x)=\dfrac{1}{x}
  • f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x}+2
  • g(x)=x7+x6+x-51g(x)=x^7+x^6+x^{\text{-}5}-1
  • h(x)=4x2+x3h(x)=4x^2+x-3
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm funktionernas nollställen.

a
b
c
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utgå från grafen och bestäm ungefärliga koordinater för eventuella terrasspunkter samt lokala och globala minimi- och maximipunkter.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utgå från funktionen i figuren och bestäm ungefärliga koordinater för eventuella terrasspunkter samt lokala och globala minimi- och maximipunkter.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många nollställen kan en polynomfunktion maximalt ha

a

om den är av grad 4?4?

b

om den är av grad 11?11?

c

om den har funktionsuttrycket 3x75x4x2+9?3x^7-5x^4-x^2+9?

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många extrempunkter kan en polynomfunktion maximalt ha om

a

den är av grad 3?3?

b

den är av grad 7?7?

c

den har funktionsuttrycket 8x+5?8x+5?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm på vilket eller vilka intervall funktionen är avtagande respektive växande.

a
b
c
1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd räknarens verktyg för att bestämma nollställena till polynomfunktionerna. Avrunda till två decimaler.

a

p(x)=2x3+x27x9p(x)=2x^3+x^2-7x-9

b

q(x)=-x4+5x2x+1q(x)=\text{-} x^4+5x^2-x+1

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm nollställena till polynomfunktionerna algebraiskt och kontrollera dina svar grafiskt.


a

y=x210x+16y=x^2-10x+16

b

y=7xx2y=7x-x^2

c

y=x325xy=x^3-25x

d

y=4x3+8x212xy=4x^3+8x^2-12x

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Para ihop polynomfunktionerna p(x)=0.6x3+2x2+4,q(x)=x+4h(x)=0.2x2+x+4\begin{aligned} &p(x)=0.6x^3+2x^2+4,\\ &q(x)=x+4\\ &h(x)=0.2x^2+x+4 \end{aligned} med rätt graf.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm nollställen till följande polynomfunktioner algebraiskt och kontrollera ditt svar med räknare.

a

p(x)=x410x3+9x2p(x)=x^4-10x^3+9x^2

b

q(x)=x3x2q(x)=x^3-x^2

c

f(x)=4x716x5f(x)=4x^7-16x^5

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utgå från polynomfunktionen p(x)=1.5x54x32p(x)=1.5x^5-4x^3-2 när du svarar på följande frågor.

a

Hur många extrempunkter kan grafen till funktionen maximalt ha?

b

Rita grafen med grafräknare och ange koordinaterna för lokala och globala extrempunkter samt eventuella terrasspunkter.

c

Ange på vilka intervall grafen är växande respektive avtagande.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Grafen till polynomet p(x)p(x) av grad 33 har 22 extrempunkter. Kan man med denna information veta hur många nollställen grafen har?

b

Grafen till polynomet q(x)q(x) av grad 33 har inga extrempunkter. Kan man med denna information veta hur många nollställen grafen har?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm algebraiskt för vilka värden på xx som polynomet är avtagande.

a

y=x2+2x8y=x^2+2x-8

b

y=-x2+14x+15y=\text{-} x^2+14x+15

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Anders tittar på graferna till polynomfunktionerna y=x3y=x^3 och y=x4.y=x^4.

Han funderar på varför graferna är så olika till vänster om origo men ganska lika till höger om origo. Förklara för Anders varför graferna ser ut så!

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet visas tre grafer.

Para ihop varje graf med en av följande polynomfunktioner. p(x)=0.05(x+5)(x+2)(x1)(x4)q(x)=0.5x3+4f(x)=0.05(x+4)(x+2)(x1)(x5)g(x)=0.5x32h(x)=0.5(x+4)(x2+2)\begin{aligned} &p(x)=0.05(x+5)(x+2)(x-1)(x-4)\\ &q(x)=0.5x^3+4\\ &f(x)=0.05(x+4)(x+2)(x-1)(x-5)\\ &g(x)=0.5x^3-2\\ &h(x)=0.5(x+4)\left(x^2+2\right) \end{aligned}

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En polynomfunktion p(x)p(x) är av grad 33 och har 22 olika nollställen.

a

Hur många lösningar har ekvationen p(x)=0?p(x)=0?

b

Hur många extrempunkter har funktionen?

c

Ge ett exempel på en polynomfunktion som stämmer in på beskrivningen.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet syns ett tredjegradspolynom p(x).p(x). Låt konstanttermen vara C.C.

a

Vilket värde har C?C?

b

Vilka värden på CC gör att polynomet endast har ett nollställe?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de reella och komplexa nollställena till fjärdegradspolynomet p(x)=3x4+60x2132.p(x)=3x^4+60x^2-132. Svara exakt.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En andragradsfunktion har en extrempunkt A=(a,c)A=(a,c) i andra kvadranten. Ytterligare en punkt på grafen B=(b,2c)B=(b,\sqrt{2}c) ligger i första kvadranten. Vilken typ av extrempunkt är A?A? Motivera ditt svar.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd grafräknare för att undersöka hur många nollställen polynomfunktioner av olika grad som minst kan ha. Använd sedan undersökningen för att formulera en trolig regel som anger det minsta antalet nollställen för en polynomfunktion av grad n,n, där n1.n \geq 1.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren visas grafen till tredjegradsfunktionen f.f.

Använd grafen för att besvara följande frågor.

a

Lös ekvationen f(x)+6.5=0.f(x)+6.5=0.

b

För funktionen gg gäller att g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k där kk är en positiv konstant. För vilka värden på kk har ekvationen g(x)g(x) endast en reell lösning?

Nationella provet HT12 3b
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}