Matematisk argumentation

Vi börjar med att sätta namn på alla områden.

Vi ska alltså undersöka om x=y. Hela området a+b+x+y utgör en kvartscirkel med radien r och eftersom en cirkels area beräknas med formeln A=π r^2 blir kvartcirkelns area A_(kvartscirkel)=π r^2/4=a+b+x+y. Halvcirklarna som skär varandra i det blå området har radien r2. Vi beräknar även dessa areor, dvs. a+y och b+y. Glöm inte att vi måste dela areauttrycket med 2 eftersom vi har att göra med halvcirklar.

Den vänstra halvcirkeln består av a och y, vilket betyder att π r^28=a+y. Vi löser ut a och får då: a =π r^2/8-y. På samma sätt kan arean av det vita området i den andra halvcirkeln skrivas b= π r^28-y. Vi sätter in dessa uttryck i formeln för kvartscirkelns area.

Vi ser att areorna är lika. Svaret på frågan är alltså ja.

Alla rationella tal kan skrivas som ab, där a och b är heltal utan gemensamma faktorer. Vi antar alltså att vi kan skriva sqrt(2) som ab, b ≠ 0 För att undersöka om sqrt(2) är ett irrationellt tal kan man göra ett så kallat motsägelsebevis. Det betyder att vi antar att sqrt(2) är ett rationellt tal. Om vi sedan när vi försöker bestämma detta rationella tal får en motsägelse, så betyder det att det måste vara irrationellt. Vi antar alltså att det finns heltal a och b utan gemensamma faktorer så att sqrt(2)=a/b. Nu skriver vi om lite.

I högerledet har vi produkten 2b^2. Denna produkt måste vara jämn eftersom en av faktorerna är 2. Det betyder även att a^2 är jämnt eftersom de är lika med varandra. Om a^2 är ett jämnt tal måste även a vara jämnt (vi visar varför i Extra nedan), dvs. man kan skriva det som a=2k, där k är ett heltal. Vi sätter in det i vår ekvation och löser ut b^2.

Vi kan alltså skriva b^2 som 2k^2. Det innebär att b^2 är ett jämnt tal och då är även b ett jämnt tal. Vi har nu kommit fram till att både a och b är jämna tal, dvs. de innehåller båda faktorn 2. Men i början antog vi ju att de inte har några gemensamma faktorer. Det betyder att vi har fått en motsägelse så antagandet att sqrt(2) är rationellt är felaktigt. Därför är sqrt(2) irrationellt.

Hur kan vi bevisa att om a^2 är jämnt så är även a jämnt? Vi låter s vara ett udda heltal. Det betyder att 2 inte kan vara en faktor i s, eftersom det då hade varit ett jämnt tal. Kvadraten av s blir s^2=s* s Eftersom s inte innehåller faktorn 2 gör inte s* s det heller — vi har ju inte tillsatt några nya faktorer. Detta betyder att s^2 måste vara udda. Alla udda tals kvadrater är alltså också udda. Om a^2 är jämnt så kan inte a vara udda. a är alltså jämnt.

Om sqrt(12 544) är rationellt kan vi skriva det som ab, där a och b är heltal. Vi undersöker nu om vi kan bestämma dessa heltal.

12 544 är ett jämnt tal vilket betyder att faktorn 2 kan brytas ut. Det betyder att a^2 också är ett jämnt tal, vilket i sin tur innebär att a är jämnt. Ett jämnt tal kan man skriva som a=2k där k är ett heltal.

Om a=2k är alltså b= k56. Vi sätter in uttrycken i ab.

sqrt(12 544) är alltså lika med 112. Detta är ett naturligt tal och därmed också rationellt. sqrt(12 544) är alltså rationellt.

Från uppgiften vet vi att områden med samma färg är lika stora. Vi kan alltså välja att visa att en av de röda rätvinkliga trianglarna är lika stor som summan av ett blått och ett grönt område, dvs. vi delar alltså figuren på mitten.

Låt oss då kalla katetlängderna för a och b och hypotenusan för c. Vi väljer även att tillfälligt lägga ihop de vita bitarna med de färgade områdena precis ovanför så att vi får halvcirklar med samma diameter som triangelns kateter.

Nu kan vi börja hitta uttryck för de intressanta areorna.

Triangel

Triangelns area beräknas genom att multiplicera bas med höjd och dela med 2. Eftersom höjden alltid är vinkelrät mot basen kan vi låta den ena kateten utgöra bas och den andra höjd. Vi sätter in dessa i areaformeln och får då triangelns area A=ab/2.

Blå halvcirkel

Den blå halvcirkeln har diametern a och därmed radien a2. Genom att multiplicera radien i kvadrat med π får vi en cirkels area men eftersom vi har en halvcirkel måste vi dela produkten med 2.

Grön halvcirkel

Då gör vi samma sak igen med den gröna halvcirkeln fast denna gång sätter vi in radien b2. Beräkningen blir exakt samma som ovan fast vi byter ut a mot b: A=π b^2/8.

Vit halvcirkel

Vi behöver även veta den vita halvcirkelns area (där triangeln skrivits in). Diametern sammanfaller med triangelns hypotenusa c. Radien blir c2 vilket ger arean A=π c^2/8. För att beräkna summan av det ursprungliga blå och gröna området kan vi subtrahera de vita strimmorna från summan av den blå och gröna halvcirkeln. Vi kan skapa ett uttryck för dessa strimmor genom att dra bort triangelns area från den vita halvcirkelns area. Vi får: π a^2/8+π b^2/8-(π c^2/8-ab/2). Ovanstående uttryck beskriver alltså summan av det ursprungliga gröna och blå området. Vi förenklar detta.

Vad är a^2+b^2-c^2? a, b och c är sidlängderna i den röda rätvinkliga triangeln. Pythagoras sats säger då att a^2+b^2=c^2 ⇔ a^2+b^2-c^2=0. Vi sätter in detta.

Det gröna och blå områdets area är alltså ab2, dvs. den röda triangelns area.