Matematisk Argumentation: Ekvivalens, Implikation och Axiom i Matematik

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

För att argumentera inom matematiken använder man sig av logik. Genom att utgå ifrån axiom och definitioner, alltså saker som man vet är sanna, kan det dras nya slutsatser som då också måste vara sanna. Med hjälp av denna typ av matematisk argumentation kan man bevisa matematiska satser.

Koncept

Axiom

Ett axiom eller ett postulat är ett påstående som accepteras utan ett bevis. Det används som grund för vidare resonemang och slutsatser för att studera de konsekvenser som följer av det. Tänk på följande analogi. Ett axiom kan ses som en trädstam. Rötterna relaterar till de matematiska definitionerna, grenarna till satser och löven till följdsatser.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

I boken Geometrins element, skriven av den antika grekiska matematikern Euklides, skapade han en omfattande modell som visar hur alla egenskaper och satser inom geometrin kan studeras logiskt. De följande fem axiomen beskriver Euklides modell.

Det är alltid möjligt att dra en rak linje mellan vilka två punkter som helst.
En rak linje kan förlängas oändligt.
Det är alltid möjligt att rita en cirkel med en given punkt som centrum och en given radie.
Alla räta vinklar är lika.
För en given linje och en given punkt som inte ligger på den linjen, finns det exakt en linje som passerar genom den punkten och inte möter den givna linjen.

Begrepp

Definition

För att kunna föra meningsfulla diskussioner måste man vara överens om vad orden eller symbolerna man använder betyder. En sådan överenskommen innebörd kallas en definition. Inom matematiken används definitioner för att föra in nya begrepp, som primtal vars definition är "ett heltal större än 1 som endast är delbart med 1 och sig självt". Definitioner kan också vara specifika för en viss situation, t.ex. att längden på en sida i en viss triangel är

x

Begrepp

Sats

En sats är ett påstående som kan bevisas. Ett exempel på en sats är den som beskriver sambandet mellan sidlängderna i en rätvinklig triangel:

a^{2} + b^{2} = c^{2},

dvs. Pythagoras sats. Det måste dock inte röra sig om ekvationer. Påståenden som "jämna tal är delbara med 2" är också satser så länge de kan bevisas.

Begrepp

Bevis

Inom matematiken är ett bevis ett logiskt resonemang som leder fram till en slutsats. Resonemanget ska vara så pass strikt att slutsatsen måste vara sann om premisserna, alltså det man utgår ifrån, är det. Det finns olika sätt att bevisa något matematisk:

Ett direkt bevis är ett konsekvensresonemang där man går rakt på det man vill visa: "Det där leder till det här". Vanlig ekvationslösning är uppbyggd på det här sättet.
Ett indirekt bevis går från andra hållet. Istället för att direkt visa att "talet 12 är jämnt" visar man att "om ett tal är udda, så är det inte 12", vilket har samma innebörd.

Pythagoras sats är ett exempel på en sats som kan bevisas med hjälp av dessa metoder. Av tradition brukar ett bevis avslutas med en förkortning som talar om att beviset är slut. Ett vanligt exempel är Q.E.D. som kommer från latinets "Quod Erat Demonstrandum", vilket betyder ungefär "vilket skulle bevisas". Ofta används även den svenska motsvarigheten V.S.B. som står för just Vilket Skulle Bevisas, eller en ruta:

□ .

Visa förhållande mellan areor

fullscreen

Visa att om en mindre cirkel skrivs in mellan mittpunkten och randen på en större cirkel så att den mindre cirkelns mittpunkt ligger på den större cirkelns diameter, så är den större cirkelns area alltid

4

gånger så stor som den lilla cirkelns area.

Visa Lösning

Börja med att rita en figur. Inskriven betyder att den lilla cirkeln precis ska nudda kanten. Vi kan också definiera den stora cirkelns radie som $r .$ Observera att vi inte kan hitta på ett värde på radien, t.ex. $2$ cm, för då kommer beviset inte gälla generellt utan endast för cirklar med radien $2 .$

Vi inser då att den lilla cirkelns radie blir hälften av den stora cirkelns. Eftersom vi redan har definierat den stora radien följer att den lilla radien blir $\frac{r}{2} .$

Nu ska vi ställa upp uttryck för stora och lilla cirkelns areor. Det är praktiskt att definiera areorna som t.ex.

A_{Stor}

och

A_{Liten} .

Med formeln för cirkelns area får vi

A_{Stor} = π r^{2} .

För att uttrycka den lilla cirkelns area sätter vi in radien

\frac{r}{2}

i formeln och förenklar.

A_{Liten} = π \cdot (\frac{r}{2})^{2}

PowQuot

$(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}$

A_{Liten} = π \cdot \frac{r ^{2}}{4}

MoveLeftFacToNum

$a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}$

A_{Liten} = \frac{π r ^{2}}{4}

Nu beräknar vi hur många gånger större den stora cirkelns area är genom att använda andelsformeln.

Andel = A_{Stor} / A_{Liten}

SubstituteII

$A_{Stor} = π r^{2}$ och $A_{Liten} = \frac{π r ^{2}}{4}$

Andel = π r^{2} / \frac{π r ^{2}}{4}

DivByFracSL

$a / \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{b}$

Andel = \frac{π r ^{2} \cdot 4}{π r ^{2}}

ReduceFrac

Förkorta med $π r^{2}$

Andel = 4

Den stora cirkelns area är alltså $4$ gånger så stor.

Q.E.D.

Begrepp

Implikation

En implikation är ett samband av typen "Om ..., så ...". T.ex. råder en implikation mellan påståendena A: "Figuren är en kvadrat" och B: "Figuren är en fyrhörning". Man brukar använda en pil för att visa att ett påstående implicerar, eller leder till, ett annat.

Notera att implikationen, i det här fallet, inte gäller åt andra hållet: Att figuren är en fyrhörning betyder inte nödvändigtvis att den är en kvadrat. Det finns ju många typer av fyrhörningar.

Begrepp

Ekvivalens

Ordet ekvivalens kan tolkas som likvärdig. Om två uttryck har samma värde, som $2 + 5$ och $3 + 4$ , eller om två påståenden har samma innebörd säger man att de är ekvivalenta. Påstående A: "Triangeln är rätvinklig" är helt likvärdigt (ekvivalent) med påstående B: "Pythagoras sats gäller", eftersom detta är en implikation som gäller åt båda håll.

Man kan därför kombinera pilarna för att få tecknet för ekvivalens, vilket är en dubbelpil.

$A \Leftrightarrow B$

Avgör implikation eller ekvivalens

fullscreen

Avgör om det råder implikation ( $\Rightarrow$ eller $\Leftarrow$ ) eller ekvivalens ( $\Leftrightarrow$ ) mellan följande par av påståenden.

A . Mariah \ddot{a} r 17 \overset{˚}{a} r & B . Mariah \ddot{a} r en ton \overset{˚}{a} ring . C . Polygonens vinkelsumma \ddot{a} r 36 0^{\circ} & D . Polygonen \ddot{a} r en fyrh \ddot{o} rning . E . Det \ddot{a} r natt & F . Man kan se m \overset{˚}{a} nen .

Visa Lösning

Vi undersöker paren av påståenden, ett i taget.

Om... Mariah är $17$ år så... är hon också en tonåring. Alltså gäller $A \Rightarrow B .$ Men om Mariah är tonåring måste hon inte vara just $17 .$ Hon kanske är $13$ eller $19$ år. Implikationen gäller alltså bara åt höger.

A \Rightarrow B

Om vi stöter på en polygon med vinkelsumman $36 0^{\circ}$ är det per definition en fyrhörning. Och om polygonen är en fyrhörning har den alltid vinkelsumman $36 0^{\circ} .$ Påståendena är likvärdiga dvs. ekvivalenta.

C \Leftrightarrow D

Bara för att det är natt är det inte säkert att månen syns. Det kan t.ex. vara molnigt. Om månen är synlig, är det då med säkerhet natt? Nej, för ibland syns månen även på dagen. Det råder ingen implikation.

{{ article.displayTitle }}

Mathleaks

Axiom

Definition

Sats

Bevis

Exempel

Visa förhållande mellan areor

Implikation

Ekvivalens

Exempel

Avgör implikation eller ekvivalens

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}