Matematisk argumentation

För att bestämma det gröna områdets area måste vi subtrahera halvcirkelns area från rektangelns. Vi börjar alltså med att hitta uttryck för båda dessa areor.

Halvcirkelns area

Halvcirkelns radie är r. Eftersom en cirkels area beräknas med formeln A=π r^2 blir halvcirkelns area A_(halvcirkel)=π r^2/2.

Rektangelns area

Rektangelns långsida måste vara 2r, eftersom det får plats två radier längs långsidan. Kortsidan blir lika lång som en radie, dvs. r.

Rektangelns area beräknas genom att multiplicera kortsidan med långsidan: A_(rektangel)=r* 2r=2r^2.

Area grönt område

Nu kan vi bestämma ett uttryck för arean av det gröna området.

Arean av det gröna området är alltså r^2(4-π)2.

Vi tittar på varje steg i Sigvards bevis och diskuterar deras giltighet. Det första han gör är att säga att a=b, vilket är tillåtet. a och b är alltså samma tal. Sedan subtraherar han b från båda sidor: a-b=b-b ⇔ a-b=0. Det är också tillåtet: han gör samma sak på båda sidor likhetstecknet. Sedan delar han med a-b, vilket ger a-b/a-b=0/a-b, och använder att ett tal delat på sig själv är 1 och 0 delat på något är 0. Men, i andra steget konstaterade vi ju att a-b=0. Det betyder att nämnarna är 0 och kvoterna är därför odefinierade eftersom nolldivision inte är tillåtet. Därför blir varken vänster- eller högerledet reella tal, och därmed gäller inte den andra ekvivalensen. Detta gör att resten av beviset också ogiltigt.

Felet var alltså att Sigvard dividerade med noll.

Vi ritar upp en triangel med basen längs med L_2 genom att dra två linjer, AC och BC, som nedan. Då bildas två nya vinklar, d och e.

Vinklarna d, c och e bildar tillsammans ett halvt varv dvs. en rak vinkel, så därför är d+c+e=180 ^(∘). Vinkel d och a är lika stora eftersom de är alternatvinklar vid parallella linjer. På motsvarande sätt är även e och b lika stora.

Vi kan därför ersätta d med a och e med b i sambandet vi kom fram ovan.

Men a+b+c är ju summan av triangelns vinklar. Det betyder att vinkelsumman i en godtycklig triangel är 180 ^(∘).

Ett heltal är antingen jämnt eller udda. Vi vill veta om produkten av ett jämnt tal med ett annat jämnt eller udda tal blir jämn. Vi delar därför upp lösningen i två delar.

Produkten av två jämna tal

Ett jämnt tal kan skrivas på formen 2k där k är ett heltal. Vi tar detta och multiplicerar det med ett annat jämnt tal, 2n, där n är ett annat heltal: 2k* 2n = 2*(2nk). Faktorn 2nk är en produkt av tre heltal, vilket betyder att det också är ett heltal. 2* 2nk är alltså 2 multiplicerat med ett heltal, och enligt definitionen på jämna tal är detta jämnt.

Produkten av ett jämnt och ett udda tal

De udda och jämna talen ligger om vartannat, dvs. efter varje jämnt tal, t.ex. 2n, kommer ett udda. Det betyder att alla udda tal kan skrivas som 2n+1, där n är ett heltal. Vi multiplicerar detta med ett jämnt tal 2k.

Vi konstaterade tidigare att 2kn är ett heltal. Om man sedan adderar ett annat heltal, k, blir summan också ett heltal. Produkten 2(2kn+k) är därför ett heltal multiplicerat med 2 och är därför jämnt. Produkten av två heltal där minst det ena är jämnt blir alltså alltid jämn.

För att beräkna triangelns area behöver vi dess bas och höjd. Just nu vet vi ingen av dessa. Triangeln är liksidig, vilket betyder att alla sidor är lika långa och att alla vinklar är 60^(∘). Den röda linjen i figuren nedan delar en av dessa vinklar i hälften så att den blir 30^(∘) mot basen.

Nu kan vi skapa en rätvinklig triangel som går från cirkelns mittpunkt till hörn B. Den får då höjden r. Basen kan vi kalla x.

Nu kan vi använda tangens för att hitta ett uttryck för x.

x är alltså lika med rsqrt(3). Triangelns sida är 2x dvs. 2rsqrt(3). Nu kan vi använda Pythagoras sats för att bestämma triangelns höjd. Vi kallar den h.

Kateterna är h och rsqrt(3) och hypotenusan är 2rsqrt(3).

Triangelns höjd är alltså 3r och basen är 2rsqrt(3). Vi sätter in det i areaformeln för trianglar.

Arean blir alltså A=3r^2sqrt(3).

Vi börjar med att ta reda på hur lång kvadratens diagonal är. Vi kan sedan använda Pythagoras sats för att bestämma sidlängden. I det nedre vänstra hörnet kan vi bilda en kvadrat med sidlängden r. Diagonalen i den kvadraten kallar vi d.

Diagonalen i den kvadraten kan beräknas med Pythagoras sats.

Diagonalen blir alltså sqrt(2)r. I det övre högra hörnet kan man bilda en kvadrat med sidlängden R. På samma sätt blir längden på dess diagonal sqrt(2)R, och avståndet mellan cirklarnas mittpunkter är r+R.

Hela kvadratens diagonal blir alltså sqrt(2)r+r+R+sqrt(2)R. Vi kallar kvadratens sidlängd för s, och kan då rita upp följande.

Nu använder vi Pythagoras sats igen för att beräkna s.

s är en sidlängd så vi kan utesluta den negativa lösningen.

Kvadratens sida kan beskrivas av r+R+ r+Rsqrt(2).

Kuben har sidan 2h. En kubs volym bestäms genom att höja upp sidan med 3: V=(2h)^3=8h^3. Varje sida i kuben utgör basen i en pyramid, som den nedan. Kuben har 6 sidor, så den kan delas in i 6 likadana pyramider. Vi visar en av dessa pyramider nedan.

Dessa pyramider har alla höjden h och en kvadratisk basyta med sidan 2h, vilket ger basarean B=(2h)^2=4h^2. Eftersom vi får plats med exakt 6 pyramider i kuben, måste volymen av en pyramid vara en sjättedel av kubens volym! Pyramidens volym är alltså V=8h^3/6. Detta uttryck innehåller dock inte B. Vi skriver därför om det lite.

Ett uttryck för volymen som består av både B och h är alltså \gatherd{ V=\dfrac{B \cdot h}{3}. }

För att bestämma faktorn måste vi ta fram uttryck för båda cirklars areor. En cirkels area beror på dess radie så vi kallar den lilla cirkelns radie för r. Den är utritad på två ställen.

Vi kallar den lilla cirkelns area för A_1. Den kan uttryckas som A_1=π r^2. Titta nu på den rätvinkliga triangeln i figuren. Hypotenusan i den är ju radien till den stora cirkeln. Vi kallar denna för R.

Eftersom det är hypotenusan i en rätvinklig triangel kan vi använda Pythagoras sats för att beräkna dess längd. Kateterna är båda av längd r.

Den större cirkelns radie kan alltså beskrivas av R=sqrt(2)* r. Vi använder det för att ta fram ett uttryck för dess area, som vi kallar A_2.

Nu kan vi jämföra cirklarnas areor: A_1=π r^2 och A_2=2π r^2. Det enda som skiljer uttrycken åt är faktorn 2 i A_2. Det betyder att A_2 är dubbelt så stor som A_1, dvs. den stora cirkeln har dubbelt så stor area som den lilla cirkeln.

Triangelns kateter är indelade i fyra lika stora sträckor vars längd vi kan kalla x.

Nu kan figuren ses som fyra rätvinkliga likbenta trianglar, en med katetlängden 4x, en med 3x, en med 2x och en med x. Med hjälp av dessa kan vi ställa upp algebraiska uttryck för hela triangelns area samt den skuggade arean

Hela triangeln

För att beräkna arean av hela triangeln, dvs. den med kateterna 4x, multiplicerar vi höjden med basen och delar produkten med 2.

Hela triangeln har alltså arean 8x^2.

Skuggade området

Den skuggade arean fås genom att subtrahera arean av triangeln med sidorna 2x från arean av triangeln med sidorna 3x.

Arean vi vill bestämma är alltså differensen A_(3x)-A_(2x). Precis som för hela triangeln beräknas dessa areor med basen gånger höjden delat på två.

Det skuggade området har arean 5x^22.

Andel som är skuggad

Enligt andelsformeln hittar vi andelen som är skuggad genom att dela den skuggade arean med hela triangelns area.

Nu ser vi att 516 av triangeln är färgad. Slår vi in detta på räknaren får vi att 5/16=31,25 %