Matematisk Argumentation: Ekvivalens, Implikation och Axiom i Matematik

Primtal
Ett heltal större än $1$ som endast är delbart med $1$ och sig självt.

Definition: Naturliga tal $N$ är mängden ${0, 1, 2, 3, \dots} .$
Axiom: Summan av två naturliga tal är ett naturligt tal.

I ord	Med symboler
Om $figuren$ $\ddot{a} r$ $en$ $kvadrat,$ så $\ddot{a} r$ $den$ $en$ $fyrh \ddot{o} ning .$	$A \Rightarrow B$

I ord

Med symboler

figuren

\ddot{a} r

en

kvadrat,

så

\ddot{a} r

den

en

fyrh \ddot{o} ning .

A \Rightarrow B

Påstående	Implikation
$A :$ Om triangeln är rätvinklig $B :$ så gäller Pythagoras sats.	$A \Rightarrow B$
$B :$ Om Pythagoras sats gäller $A :$ så är triangeln rätvinklig.	$B \Rightarrow A$

Påstående

Implikation

A :

Om triangeln är rätvinklig

B :

så gäller Pythagoras sats.

A \Rightarrow B

B :

Om Pythagoras sats gäller

A :

så är triangeln rätvinklig.

B \Rightarrow A

Gäller det för en godtycklig triangel att $x = y + z ?$ Motivera ditt svar.

En grön triangel med två vinklar utritade inuti och en utanför.

Nere i det högra hörnet bildas en rak vinkel. Det betyder att den inre vinkeln blir 180^(∘)-x.

Nu har vi uttryck för alla vinklar i triangeln. Summan av dem ska vara 180^(∘).

Det gäller alltså att x är summan av y och z.

Julia har fått i uppgift att sätta ut en logisk symbol mellan ekvationerna $x = 2$ och $x^{2} = 4$ så att hon får ett sant påstående. Hon väljer felaktigt att sätta ut en ekvivalenspil mellan ekvationerna.

$x = 2 \Leftrightarrow x^{2} = 4 \times$

Vilken logisk symbol borde Julia använda istället? Motivera ditt svar.

Nationella provet VT15 2a

En ekvivalenspil innebär att det som står till vänster och höger om pilen har samma innebörd eller är likvärdigt. Om vi kvadrerar x=2 får vi mycket riktigt x^2=4 vilket innebär att vi kan skriva x=2 ⇒ x^2=4, alltså med en implikationspil åt höger. Men om vi ska kunna sätta ut en ekvivalenspil måste implikationen även gå åt andra hållet, alltså x=2 ⇐ x^2=4. Den här implikationen säger att om x^2 stämmer måste även x=2 stämma. Men det finns ju två värden på x som ger att x^2 = 4: x = 2 och x = -2. Då kan implikationen inte gälla åt vänster och därför kan det inte heller finnas någon ekvivalens. Julia bör alltså skriva en implikationspil åt höger för att uttrycket ska vara korrekt. x=2 ⇒ x^2 = 4 ✓

De jämna talen kan definieras som Alla tal som kan skrivas på formen

2 k,

där

k

är ett heltal. Dogge definierar alla udda tal som Alla tal som inte är jämna. Vilka av följande tal är udda enligt Dogge?

4, 13, 8, 4, \frac{4}{3}, 82, - 44, π .

Vi kan börja med att hitta vilka av talen som är jämna. Det gör vi genom att skriva dem som 2 gånger ett annat tal. Om det andra talet, k, är ett heltal är det jämnt.

Tal	Skriv som 2k	k
4	2*2	2
13	2*6,5	6,5
8,4	2*4,2	4,2
4/3	2*2/3	2/3
82	2*41	41
-44	2*(-22)	-22
π	2*π/2	π/2

I tre av fallen är k ett heltal, så dessa tal är jämna. Enligt Dogges definition är resten av talen udda dvs. 13, 8,4, 4/3, och π.

Värt att nämna är att den riktiga definitionen på ett udda tal är Alla tal som kan skrivas på formen 2k+1, där k är ett heltal. Enligt den definitionen blir endast 13 ett udda. Dogge hade kunnat förbättra sin definition genom att säga de udda talen är alla heltal som inte är jämna.

En parallellogram är en fyrhörning där motstående sidor är parallella och lika långa.

Ett blått parallellogram med basen b och höjden h.

Härled ett uttryck för arean

A

av ett parallellogram.

Vi kan dela upp parallellogrammen i en rektangel och två trianglar. Om vi kallar basen i den vänstra triangeln för x blir rektangelns bas b-x. Eftersom långsidorna i parallellogrammen är lika långa blir den högra triangelns bas också x.

Den gröna triangelns area beräknas genom att multiplicera basen med höjden och dela med 2. Vi har två av dem så den totala arean av dem blir A_(Grön)=2 * xh/2=2xh/2=xh. Rektangeln har basen b-x och höjden h. Det ger arean A_(Blå)=(b-x)* h. Nu kan vi beräkna den totala arean.

Arean för ett parallellogram kan alltså skrivas A=bh.

Avgör om det ska stå $\Rightarrow,$ $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ i rutan.

Fyrhörningens sidor är lika långa. $? ?$ Fyrhörningen är en kvadrat.

Triangeln är rätvinklig. $? ?$ Pythagoras sats gäller.

Om vi har en fyrhörning med lika långa sidor, leder det alltid till att det är en kvadrat? Inte nödvändigtvis, eftersom t.ex. även en romb är en fyrhörning med lika långa sidor. Implikationen gäller alltså inte åt höger. Har en kvadrat alltid lika långa sidor? Ja! Därför ska det stå ⇐ i rutan. Fyrhörningens sidor är lika långa. ⇐ Fyrhörningen är en kvadrat.

Om en triangel är rätvinklig, gäller Pythagoras sats. Men vi kan även ta reda på om en triangel är rätvinklig genom att pröva om Pythagoras sats gäller. Det finns alltså inga trianglar som uppfyller Pythagoras sats som inte är rätvinkliga! Därmed ska det stå ⇔ i rutan. Triangeln är rätvinklig. ⇔ Pythagoras sats gäller.

De fyra vita cirklarna i figuren är lika stora. Bestäm ett uttryck för arean $A_{Bl \overset{˚}{a} tt omr \overset{˚}{a} de}$ av det blå området.

Två kvadrater, en med fyra lika stora inskrivna cirklar och en med en enda stor inskriven cirkel.

Vi kan ställa upp ett uttryck för det blå områdets area genom att subtrahera kvadratens area med de fyra vita cirklarnas gemensamma area.

Kvadratens area

Kvadratens sida är lika med två diametrar, vilket är fyra radier. Alltså är sidlängden på kvadraten 4r. Arean av en kvadrat är sidlängden i kvadrat, d.v.s. A_(Kvadrat)=16r^2.

Det vita områdets area

Varje cirkel har samma area. Det vita områdets area är därför fyra gånger så stort som arean av en cirkel. Men arean av en cirkel ges av formeln π r^2, vilket innebär att A_(Vitt område)=4π r^2.

Det blå områdets area

Nu när vi har arean av kvadraten och arean av det vita området kan vi subtrahera den senare från den tidigare för att få det blå områdets area: A_(Blått område)=16r^2-4π r^2.

Den streckade linjen delar figurens höjd mitt itu. Vad är det färgade områdets area $A ?$

En rektangel med tre lika stora trianglar borttagna.

Vi bestämmer figurens area i två steg. Först skriver vi ett uttryck för en hel gul rektangel, sedan subtraherar vi areorna av de tre vita trianglarna. Rektangelns höjd är 2a och utifrån de givna måtten i figuren ser vi att basen är 2a+2a+2a=6a.

Vi beräknar arean genom att multiplicera basen och höjden.

Nu ställer vi upp uttryck för de utklippta trianglarna. Eftersom den streckade linjen delar höjden 2a i mitten blir de små trianglarnas höjder a. Alla har samma bas, 2a, så de är identiska. Vi tittar på en av dem.

Arean av denna triangel bestämmer vi med triangelns areaformel.

Arean för alla tre små trianglar blir därför A_(trianglar)=3a^2. Nu återstår bara att subtrahera dessa från rektangelns area: A=12a^2-3a1^2=9a^2.

Matematisk argumentation

Förkunskaper

Definition

Axiom