body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1b Visa detaljer

3. Matematisk argumentation

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 5

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation är en central del av matematik och innefattar koncept som ekvivalens, implikation och axiom. Ekvivalens och implikation är relationer mellan påståenden som spelar en stor roll i matematiska resonemang. Ett axiom är ett grundläggande påstående inom matematiken som antas vara sant utan bevis. Att förstå dessa koncept är avgörande för att kunna formulera och bevisa matematiska satser. Dessa verktyg används för att bygga upp och bevisa teorier inom matematiken.

Inställningar & verktyg för lektion

	10 sidor teori
	27 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sida av 10

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Matematisk argumentation
Axiom
Definition
Sats
Bevis
Implikation
Ekvivalens

Förkunskaper

Teori

Definition

För att kunna föra meningsfulla diskussioner måste man vara överens om vad orden eller symbolerna man använder betyder. En sådan överenskommen innebörd kallas en definition. Inom matematiken används definitioner för att föra in nya begrepp, som primtal.

Primtal
Ett heltal större än $1$ som endast är delbart med $1$ och sig självt.

Definitioner kan också vara specifika för en viss situation, t.ex. att längden på en sida i en viss triangel är

x .

Teori

Axiom

Ett axiom eller ett postulat är ett påstående som accepteras utan ett bevis. Det används som grund för vidare resonemang och slutsatser för att studera de konsekvenser som följer av det. Tänk på följande analogi. Ett axiom kan ses som en trädstam. Rötterna relaterar till de matematiska definitionerna, grenarna till satser och löven till följdsatser.

I boken Geometrins element, skriven av den antika grekiska matematikern Euklides, skapade han en omfattande modell som visar hur alla egenskaper och satser inom geometrin kan studeras logiskt. De följande fem axiomen beskriver Euklides modell.

Det är alltid möjligt att dra en rak linje mellan vilka två punkter som helst.
En rak linje kan förlängas oändligt.
Det är alltid möjligt att rita en cirkel med en given punkt som centrum och en given radie.
Alla räta vinklar är lika.
För en given linje och en given punkt som inte ligger på den linjen, finns det exakt en linje som passerar genom den punkten och inte möter den givna linjen.

Teori

Matematisk argumentation

För att argumentera inom matematiken använder man sig av logik. Genom att utgå ifrån axiom och definitioner, alltså saker som man vet är sanna, kan det dras nya slutsatser som då också måste vara sanna. Med hjälp av denna typ av matematisk argumentation kan man bevisa matematiska satser. Betrakta följande definition och axiom.

Definition: Naturliga tal $N$ är mängden ${0, 1, 2, 3, \dots} .$
Axiom: Summan av två naturliga tal är ett naturligt tal.

Givet tre naturliga tal

a,

b

och

c

följer det av axiomet att

(a + b)

är ett naturligt tal. Eftersom

(a + b)

och

c

är naturliga, är också deras summa

(a + b) + c

naturlig. Alltså är summan av tre naturliga tal ett naturligt tal, vilket visar en matematisk argumentation.

Teori

Sats

En sats är ett påstående som kan bevisas. Ett exempel på en sats är den som beskriver sambandet mellan sidlängderna i en rätvinklig triangel:

a^{2} + b^{2} = c^{2},

dvs. Pythagoras sats. Det måste dock inte röra sig om ekvationer. Påståenden som jämna tal är delbara med

2

är också satser så länge de kan bevisas.

Teori

Bevis

Inom matematiken är ett bevis ett logiskt resonemang som leder fram till en slutsats. Resonemanget ska vara så pass strikt att slutsatsen måste vara sann om premisserna, alltså det man utgår ifrån, är det. Det finns olika sätt att bevisa något matematisk:

Ett direkt bevis är ett konsekvensresonemang där man går rakt på det man vill visa: Det där leder till det här. Vanlig ekvationslösning är uppbyggd på det här sättet.
Ett indirekt bevis går från andra hållet. Istället för att direkt visa att talet $12$ är jämnt visar man att om ett tal är udda, så är det inte $12$ , vilket har samma innebörd.

Pythagoras sats är ett exempel på en sats som kan bevisas med hjälp av dessa metoder. Av tradition brukar ett bevis avslutas med en förkortning som talar om att beviset är slut. Ett vanligt exempel är Q.E.D. som kommer från latinets Quod Erat Demonstrandum, vilket betyder ungefär vilket skulle bevisas. Ofta används även den svenska motsvarigheten V.S.B. som står för just Vilket Skulle Bevisas, eller en ruta:

□ .

Exempel

Visa förhållande mellan areor

Visa att om en mindre cirkel skrivs in mellan mittpunkten och randen på en större cirkel så att den mindre cirkelns mittpunkt ligger på den större cirkelns diameter, så är den större cirkelns area alltid

4

gånger så stor som den lilla cirkelns area.

Svar

Se lösning.

Ledtråd

Rita ett diagram av cirklarna och bestäm sambandet mellan radien på den större cirkeln och den mindre cirkeln.

Lösning

Börja med att rita en figur. Inskriven betyder att den lilla cirkeln precis ska nudda kanten. Vi kan också definiera den stora cirkelns radie som $r .$ Observera att vi inte kan hitta på ett värde på radien, t.ex. $2 cm,$ för då kommer beviset inte gälla generellt utan endast för cirklar med radien $2 .$

Vi inser då att den lilla cirkelns radie blir hälften av den stora cirkelns. Eftersom vi redan har definierat den stora radien följer att den lilla radien blir $\frac{r}{2} .$

Nu ska vi ställa upp uttryck för stora och lilla cirkelns areor. Det är praktiskt att definiera areorna som t.ex.

A_{Stor}

och

A_{Liten} .

Med formeln för cirkelns area får vi

A_{Stor} = π r^{2} .

För att uttrycka den lilla cirkelns area sätter vi in radien

\frac{r}{2}

i formeln och förenklar.

A_{Liten} = π \cdot (\frac{r}{2})^{2}

PowQuot

$(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}$

A_{Liten} = π \cdot \frac{r ^{2}}{4}

MoveLeftFacToNum

$a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}$

A_{Liten} = \frac{π r ^{2}}{4}

Nu beräknar vi hur många gånger större den stora cirkelns area är genom att använda andelsformeln.

Andel = A_{Stor} / A_{Liten}

SubstituteII

$A_{Stor} = π r^{2}$ och $A_{Liten} = \frac{π r ^{2}}{4}$

Andel = π r^{2} / \frac{π r ^{2}}{4}

DivByFracSL

$a / \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{b}$

Andel = \frac{π r ^{2} \cdot 4}{π r ^{2}}

ReduceFrac

Förkorta med $π r^{2}$

Andel = 4

Den stora cirkelns area är alltså

4

gånger så stor.

Q.E.D.

Teori

Implikation

En implikation är ett samband av typen Om ..., så .... T.ex. råder en implikation mellan påståendena $A :$ Figuren är en kvadrat och $:$ Figuren är en fyrhörning. Man brukar använda en pil för att visa att ett påstående implicerar, eller leder till, ett annat.

I ord	Med symboler
Om $figuren$ $\ddot{a} r$ $en$ $kvadrat,$ så $\ddot{a} r$ $den$ $en$ $fyrh \ddot{o} ning .$	$A \Rightarrow B$

Notera att implikationen, i det här fallet, inte gäller åt andra hållet: Att figuren är en fyrhörning betyder inte nödvändigtvis att den är en kvadrat. Det finns ju många typer av fyrhörningar.

Teori

Ekvivalens

Ordet ekvivalens kan tolkas som likvärdig. Om två uttryck har samma värde, som $2 + 5$ och $3 + 4,$ eller om två påståenden har samma innebörd säger man att de är ekvivalenta. Påstående $A :$ Triangeln är rätvinklig är helt likvärdigt (ekvivalent) med påstående $B :$ Pythagoras sats gäller, eftersom detta är en implikation som gäller åt båda håll.

Påstående	Implikation
$A :$ Om triangeln är rätvinklig $B :$ så gäller Pythagoras sats.	$A \Rightarrow B$
$B :$ Om Pythagoras sats gäller $A :$ så är triangeln rätvinklig.	$B \Rightarrow A$

Man kan därför kombinera pilarna för att få tecknet för ekvivalens, vilket är en dubbelpil.

$A \Leftrightarrow B$

Exempel

Avgör implikation eller ekvivalens

Avgör om det råder implikation $(\Rightarrow$ eller $\Leftarrow)$ eller ekvivalens $(\Leftrightarrow)$ mellan varje par av påståenden.

A : B : Mariah \ddot{a} r 17 \overset{˚}{a} r . Mariah \ddot{a} r en ton \overset{˚}{a} ring .

C : D : Polygonens vinkelsumma \ddot{a} r 36 0^{\circ} . Polygonen \ddot{a} r en fyrh \ddot{o} rning .

E : F : Det \ddot{a} r natt . Man kan se m \overset{˚}{a} nen .

Ledtråd

a Kontrollera en riktning i taget. Försök att hitta exempel där implikationen inte gäller.

b Kontrollera en riktning i taget. Försök att hitta exempel där implikationen inte gäller.

c Kontrollera en riktning i taget. Försök att hitta exempel där implikationen inte gäller.

Lösning

a Om Mariah är

17

år så är hon också en tonåring. Alltså gäller

A \Rightarrow B .

Men om Mariah är tonåring måste hon inte vara just

17 .

Hon kanske är

13

eller

19

år. Implikationen gäller alltså bara åt höger.

A \Rightarrow B

b Om vi stöter på en polygon med vinkelsumman

36 0^{\circ}

är det per definition en fyrhörning. Och om polygonen är en fyrhörning har den alltid vinkelsumman

36 0^{\circ} .

Påståendena är likvärdiga dvs. ekvivalenta.

C \Leftrightarrow D

c Bara för att det är natt är det inte säkert att månen syns. Det kan t.ex. vara molnigt. Om månen är synlig, är det då med säkerhet natt? Nej, för ibland syns månen även på dagen. Det råder ingen implikation.

Matematisk argumentation

Övningar

Avgör om implikationerna och ekvivalenserna gäller.

En människa föds.

\Leftrightarrow

En människa kommer att dö.

Vatten faller från molnen.

\Rightarrow

Det regnar.

Göran har en fru.

\Leftrightarrow

Göran är gift.

Vi måste testa om både A ⇒ B och A ⇐ B gäller. Om en person har fötts, måste hen dö. Vi har inga exempel på odödlighet. Så implikation gäller åtminstone åt höger. Om en människa har dött, måste hen också ha fötts en gång i tiden. Ekvivalensen gäller alltså.

Vatten kan komma i olika former, t.ex. snö eller hagel. Vi har då alltså hittat två exempel där påståendet "Vatten faller från molnen" inte leder till att "Det regnar". Därmed har vi visat med två motexempel att implikationen inte gäller.

Däremot gäller den omvända implikationen. "Vatten faller från molnen" ⇐ "Det regnar", för att det kan inte regna från någon annanstans än molnen.

Att Göran har en fru innebär juridiskt sett att han är gift. Alltså råder åtminstone implikation åt höger. Att Göran är gift kan innebära att han har en fru, men det måste inte göra det. Ett motexempel är om Göran är gift med en man. Eftersom implikationen inte gäller åt vänster också innebär det att ekvivalensen inte gäller.

Med vilken faktor ökar arean av en rektangel om dess sidlängder fördubblas?

Vi kallar sidlängderna i den ursprungliga rektangeln för x och y.

Arean av en rektangel beräknar vi genom att multiplicera sidlängderna, vilket ger arean A=xy. Om båda sidlängder fördubblas blir de nya sidorna 2x och 2y.

Nu beräknar vi den nya arean på samma sätt, genom att multiplicera sidlängderna. Vi utnyttjar också att den första arean var A=xy för att uttrycka den nya arean i A.

Den nya arean är alltså 4A dvs. fyra gånger större än den första. Faktorn som arean ökar med är alltså 4.

Avgör om det ska stå $\Rightarrow,$ $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ i rutan mellan påståendena.

Maria äter godis.

? ?

Maria äter sura nappar.

Ungdomar över 18 år får ta körkort.

? ?

Ungdomar som inte fyllt 18 år får inte ta körkort.

Ahmed är i Spanien.

? ?

Ahmed är i Europa.

Leder påståendet "Maria äter godis" till att "Maria äter sura nappar"? Nej inte automatiskt. Hon kanske äter geléhallon. Men leder påståendet "Maria äter sura nappar" till att "Maria äter godis"? Ja, eftersom sura nappar är godis. Det innebär att A ⇐ B.

Om ungdomar över 18 år får ta körkort, gäller ju även att ungdomar som inte fyllt 18 år inte får ta körkort. Men omvändningen gäller precis lika väl: har man fyllt 18, får man också ta körkort. Påståendena är likvärdiga och därför gäller ekvivalens. A ⇔ B.

Att Ahmed är i Spanien leder till att han befinner sig i Europa, eftersom Spanien ligger i Europa. Men om Ahmed är i Europa kan han lika gärna befinna sig i Sverige eller Tyskland som i Spanien. Alltså gäller det att A ⇒ B.

Vilken implikation eller ekvivalens är korrekt?

A x = 3 \Rightarrow x^{2} = 9 B x = 3 \Leftarrow x^{2} = 9 C x = 3 \Leftrightarrow x^{2} = 9

Vi reder ut de tre påståendena:

Eftersom 3^2 = 9 måste det gälla att om ett tal är 3, så är dess kvadrat 9. Därför gäller A.
Däremot är 3 inte det enda tal vars kvadrat är 9, det gäller ju även att (-3)^2 = 9. Att talets kvadrat är 9 innebär alltså inte att talet är 3, det kan vara -3 också. Därför gäller inte B.
C gäller om både A och B gör det. Eftersom B inte stämmer så gör inte C det heller. Därmed är A rätt svar.

Avgör om det ska stå $\Leftrightarrow$ eller $⇎$ i rutan.

- 3 x = 12 ? ? x = 4

2 x = 8 ? ? x = 4

x = 9 ? ? x = 3

När vi löser en linjär ekvation ändras ingenting eftersom vi gör samma sak i båda led. Men här har ett fel uppstått, vänsterledet har dividerats med -3 och högerledet med 3. Implikation gäller inte åt något håll. Löser vi ekvationen får vi inte x=4 och sätter vi in x=4 i ekvationen stämmer inte likheten. Ekvivalens gäller därför inte: -3x=12 ⇎ x=4.

På samma sätt undersöker vi dessa två påståenden. i det här fallet finns det implikation åt båda håll. Löser vi ekvationen får vi x=4 och sätter vi in x = 4 i ekvationen så stämmer likheten. Därmed gäller ekvivalens: 2x=8 ⇔ x=4.

Sätter vi in x=3 i ekvationen stämmer likheten, vilket ger en implikation åt vänster. Däremot får vi två lösningar om vi löser ekvationen: x=3 och x=- 3, vilket innebär att implikationen inte gäller åt andra hållet. Alltså gäller inte ekvivalens: x=9 ⇎ x=3.

Bestäm hur stor andel av figuren som är blå.

En rektangel indelad i tre mindre rektanglar, alla lika breda.

Andelen som är blå bestäms enligt A_(Blå)/A_(Hela). Det blå området är en rektangel med basen 10 och höjden 3y.

Arean blir då A_(Blå)=10 * 3y=30y. Vi tittar nu på hela områdets area. Rektangelns höjd är 2y+3y+y=6y och bredden är 10.

Arean av hela rektangeln blir då A_(Hela)=10 * 6y=60y. Nu beräknar vi andelen som det blå området utgör.

50 % av figuren är blå.

Avgör om det ska stå $\Rightarrow,$ $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ i rutan.

Pernilla bor i Sverige.

? ?

Pernilla bor i Europa.

Nationella provet VT16 1b/1c

Fyrhörningen F är en rektangel.

? ?

Fyrhörningen F är en kvadrat.

Nationella provet VT16 1b/1c

Sverige ligger i Europa, vilket betyder att om man bor i Sverige bor man i Europa. Däremot består Europa av fler länder än Sverige. Om man t.ex. bor i Kroatien eller Litauen bor man i Europa, men inte i Sverige. Det ska alltså vara implikation åt höger.

Alla kvadrater är rektanglar, men alla rektanglar är inte kvadrater. En kvadrat är ett specialfall av en rektangel där alla sidor är lika långa. Det betyder att det ska vara en implikation åt vänster här.

Matematisk argumentation

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll