Logga in
| 10 sidor teori |
| 27 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
För att kunna föra meningsfulla diskussioner måste man vara överens om vad orden eller symbolerna man använder betyder. En sådan överenskommen innebörd kallas en definition. Inom matematiken används definitioner för att föra in nya begrepp, som primtal.
Primtal |
Ett heltal större än 1 som endast är delbart med 1 och sig självt. |
Ett axiom eller ett postulat är ett påstående som accepteras utan ett bevis. Det används som grund för vidare resonemang och slutsatser för att studera de konsekvenser som följer av det. Tänk på följande analogi. Ett axiom kan ses som en trädstam. Rötterna relaterar till de matematiska definitionerna, grenarna till satser och löven till följdsatser.
I boken Geometrins element
, skriven av den antika grekiska matematikern Euklides, skapade han en omfattande modell som visar hur alla egenskaper och satser inom geometrin kan studeras logiskt. De följande fem axiomen beskriver Euklides modell.
För att argumentera inom matematiken använder man sig av logik. Genom att utgå ifrån axiom och definitioner, alltså saker som man vet är sanna, kan det dras nya slutsatser som då också måste vara sanna. Med hjälp av denna typ av matematisk argumentation kan man bevisa matematiska satser. Betrakta följande definition och axiom.
Definition: Naturliga tal N är mängden {0,1,2,3,…}. |
Axiom: Summan av två naturliga tal är ett naturligt tal. |
jämna tal är delbara med 2är också satser så länge de kan bevisas.
Inom matematiken är ett bevis ett logiskt resonemang som leder fram till en slutsats. Resonemanget ska vara så pass strikt att slutsatsen måste vara sann om premisserna, alltså det man utgår ifrån, är det. Det finns olika sätt att bevisa något matematisk:
Det där leder till det här. Vanlig ekvationslösning är uppbyggd på det här sättet.
talet 12 är jämntvisar man att
om ett tal är udda, så är det inte 12, vilket har samma innebörd.
Quod Erat Demonstrandum, vilket betyder ungefär
vilket skulle bevisas. Ofta används även den svenska motsvarigheten V.S.B. som står för just Vilket Skulle Bevisas, eller en ruta: □.
Se lösning.
Rita ett diagram av cirklarna och bestäm sambandet mellan radien på den större cirkeln och den mindre cirkeln.
Börja med att rita en figur. Inskriven betyder att den lilla cirkeln precis ska nudda kanten. Vi kan också definiera den stora cirkelns radie som r. Observera att vi inte kan hitta på ett värde på radien, t.ex. 2 cm, för då kommer beviset inte gälla generellt utan endast för cirklar med radien 2.
Vi inser då att den lilla cirkelns radie blir hälften av den stora cirkelns. Eftersom vi redan har definierat den stora radien följer att den lilla radien blir 2r.
AStor=πr2 och ALiten=4πr2
a/cb=ba⋅c
Förkorta med πr2
En implikation är ett samband av typen Om ..., så ...
. T.ex. råder en implikation mellan påståendena A: Figuren är en kvadrat
och : Figuren är en fyrhörning
. Man brukar använda en pil för att visa att ett påstående implicerar, eller leder till, ett annat.
I ord | Med symboler |
---|---|
Om figuren a¨r en kvadrat, så a¨r den en fyrho¨ning. | A⇒B |
Notera att implikationen, i det här fallet, inte gäller åt andra hållet: Att figuren är en fyrhörning betyder inte nödvändigtvis att den är en kvadrat. Det finns ju många typer av fyrhörningar.
Ordet ekvivalens kan tolkas som likvärdig
. Om två uttryck har samma värde, som 2+5 och 3+4, eller om två påståenden har samma innebörd säger man att de är ekvivalenta. Påstående A: Triangeln är rätvinklig
är helt likvärdigt (ekvivalent) med påstående B: Pythagoras sats gäller
, eftersom detta är en implikation som gäller åt båda håll.
Påstående | Implikation |
---|---|
A: Om triangeln är rätvinklig B: så gäller Pythagoras sats. |
A⇒B |
B: Om Pythagoras sats gäller A: så är triangeln rätvinklig. |
B⇒A |
Man kan därför kombinera pilarna för att få tecknet för ekvivalens, vilket är en dubbelpil.
A⇔B
Avgör om det råder implikation (⇒ eller ⇐) eller ekvivalens (⇔) mellan varje par av påståenden.
Avgör om implikationerna och ekvivalenserna gäller.
Vi måste testa om både A ⇒ B och A ⇐ B gäller. Om en person har fötts, måste hen dö. Vi har inga exempel på odödlighet. Så implikation gäller åtminstone åt höger. Om en människa har dött, måste hen också ha fötts en gång i tiden. Ekvivalensen gäller alltså.
Vatten kan komma i olika former, t.ex. snö eller hagel. Vi har då alltså hittat två exempel där påståendet "Vatten faller från molnen" inte leder till att "Det regnar". Därmed har vi visat med två motexempel att implikationen inte gäller.
Däremot gäller den omvända implikationen. "Vatten faller från molnen" ⇐ "Det regnar", för att det kan inte regna från någon annanstans än molnen.
Att Göran har en fru innebär juridiskt sett att han är gift. Alltså råder åtminstone implikation åt höger. Att Göran är gift kan innebära att han har en fru, men det måste inte göra det. Ett motexempel är om Göran är gift med en man. Eftersom implikationen inte gäller åt vänster också innebär det att ekvivalensen inte gäller.
Vi kallar sidlängderna i den ursprungliga rektangeln för x och y.
Arean av en rektangel beräknar vi genom att multiplicera sidlängderna, vilket ger arean A=xy. Om båda sidlängder fördubblas blir de nya sidorna 2x och 2y.
Nu beräknar vi den nya arean på samma sätt, genom att multiplicera sidlängderna. Vi utnyttjar också att den första arean var A=xy för att uttrycka den nya arean i A.
Den nya arean är alltså 4A dvs. fyra gånger större än den första. Faktorn som arean ökar med är alltså 4.
Avgör om det ska stå ⇒, ⇐ eller ⇔ i rutan mellan påståendena.
Leder påståendet "Maria äter godis" till att "Maria äter sura nappar"? Nej inte automatiskt. Hon kanske äter geléhallon. Men leder påståendet "Maria äter sura nappar" till att "Maria äter godis"? Ja, eftersom sura nappar är godis. Det innebär att A ⇐ B.
Om ungdomar över 18 år får ta körkort, gäller ju även att ungdomar som inte fyllt 18 år inte får ta körkort. Men omvändningen gäller precis lika väl: har man fyllt 18, får man också ta körkort. Påståendena är likvärdiga och därför gäller ekvivalens. A ⇔ B.
Att Ahmed är i Spanien leder till att han befinner sig i Europa, eftersom Spanien ligger i Europa. Men om Ahmed är i Europa kan han lika gärna befinna sig i Sverige eller Tyskland som i Spanien. Alltså gäller det att A ⇒ B.
Vi reder ut de tre påståendena:
Avgör om det ska stå ⇔ eller ⇎ i rutan.
När vi löser en linjär ekvation ändras ingenting eftersom vi gör samma sak i båda led. Men här har ett fel uppstått, vänsterledet har dividerats med -3 och högerledet med 3. Implikation gäller inte åt något håll. Löser vi ekvationen får vi inte x=4 och sätter vi in x=4 i ekvationen stämmer inte likheten. Ekvivalens gäller därför inte: -3x=12 ⇎ x=4.
På samma sätt undersöker vi dessa två påståenden. i det här fallet finns det implikation åt båda håll. Löser vi ekvationen får vi x=4 och sätter vi in x = 4 i ekvationen så stämmer likheten. Därmed gäller ekvivalens:
2x=8 ⇔ x=4.
Sätter vi in x=3 i ekvationen stämmer likheten, vilket ger en implikation åt vänster. Däremot får vi två lösningar om vi löser ekvationen: x=3 och x=- 3, vilket innebär att implikationen inte gäller åt andra hållet. Alltså gäller inte ekvivalens:
x=9 ⇎ x=3.
Bestäm hur stor andel av figuren som är blå.
Andelen som är blå bestäms enligt A_(Blå)/A_(Hela). Det blå området är en rektangel med basen 10 och höjden 3y.
Arean blir då A_(Blå)=10 * 3y=30y. Vi tittar nu på hela områdets area. Rektangelns höjd är 2y+3y+y=6y och bredden är 10.
Arean av hela rektangeln blir då A_(Hela)=10 * 6y=60y. Nu beräknar vi andelen som det blå området utgör.
50 % av figuren är blå.
Avgör om det ska stå ⇒, ⇐ eller ⇔ i rutan.
Sverige ligger i Europa, vilket betyder att om man bor i Sverige bor man i Europa. Däremot består Europa av fler länder än Sverige. Om man t.ex. bor i Kroatien eller Litauen bor man i Europa, men inte i Sverige. Det ska alltså vara implikation åt höger.
Alla kvadrater är rektanglar, men alla rektanglar är inte kvadrater. En kvadrat är ett specialfall av en rektangel där alla sidor är lika långa. Det betyder att det ska vara en implikation åt vänster här.