Matematisk argumentation

Avgör om implikationerna och ekvivalenserna gäller.

$A$: En människa föds.
$B$: Människan dör.
$A \Leftrightarrow B$

$C$: Vatten faller från molnen.
$D$: Det regnar.
$C \Rightarrow D$

$E$: Göran har en fru.
$F$: Göran är gift.
$E \Leftrightarrow F$

Visa att arean av en rektangel blir fyra gånger så stor om man dubblar sidlängderna.

Avgör om det råder implikation ($\Rightarrow$ eller $\Leftarrow$) eller ekvivalens ($\Leftrightarrow$) mellan A och B.

$B:$ Maria äter sura nappar.

$A$: Ungdomar över 18 år får ta körkort.
$B:$ Ungdomar som inte fyllt 18 år får inte ta körkort.

$A$: Ahmed är i Spanien.
$B:$ Ahmed är i Europa.

Vilken implikation eller ekvivalens är korrekt? $\begin{aligned} &\text{A.} \ \ x = 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 9 \\ &\text{B.} \ \ x = 3 \quad \Leftarrow \quad x^2 = 9 \\ &\text{C.} \ \ x = 3 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 9 \end{aligned}$

Avgör om det är ekvivalens mellan A och B eller inte.

$A$: $\text{-} 3x = 12$
$B$: $x = 4$

$A$: $2x = 8$
$B$: $x = 4$

$A$: $x^2 = 9$
$B$: $x = 3$

Visa att hälften (50 %) av figuren är blå.

Följande samband är ekvivalenser eller implikationer. Markera ekvivalens med ekvivalenspil $\Leftrightarrow$ och enbart implikation med korrekt implikationspil $\Rightarrow$ eller $\Leftarrow.$

Visa för en godtycklig triangel att $x=y+z.$

Julia har fått i uppgift att sätta ut en logisk symbol mellan ekvationerna $x=2$ och $x^2=4$ så att hon får ett sant påstående. Hon väljer felaktigt att sätta ut en ekvivalenspil mellan ekvationerna.

Vilken logisk symbol borde Julia använda istället? Motivera ditt svar.

De jämna talen kan definieras som Alla tal som kan skrivas på formen 2k, där k är ett heltal. Dogge definierar alla udda tal som Alla tal som inte är jämna. Vilka av följande tal är udda enligt Dogge? $4\quad 13\quad 8.4\quad \dfrac{4}{3}\quad 82 \quad \text{-}44 \quad \pi.$

En parallellogram är en fyrhörning där motstående sidor är parallella och lika långa.

Visa att arean är $A=bh.$

Implikationen/ekvivalensen stämmer inte för följande par av påståenden. Ändra antingen på påståendet eller implikationen/ekvivalensen så att de blir så korrekta som möjligt.

$A$: Fyrhörningens sidor är lika långa.
$B$: Fyrhörningen är en kvadrat.
$A \Leftrightarrow B$

$C$: Triangeln är rätvinklig.
$D$: Pythagoras sats gäller.
$C \Rightarrow D$

$E$: Triangeln är liksidig.
$F$: Alla triangelns vinklar är $90^\circ.$
$E \Leftarrow F$

De två kvadraterna i figuren är lika stora. Visa att de blå områdena i kvadraterna har samma area.

Den streckade linjen delar figurens höjd mitt itu. Visa att det färgade områdets area är $9a^2.$

Visa att det gröna områdets area kan skrivas $\frac{r^2\left(4-\pi\right)}{2}.$

Sigvard säger att han kan visa att $1=0,$ och ställer upp följande bevis.

Vad har Sigvard gjort för fel?

Två parallella linjer, $L_{1}$ och $L_{2}$, som skärs av en rät linje bildar lika stora inre alternatvinklar, röda i figuren

Använd detta för att bevisa följande sats: Vinkelsumman i en triangel är $180 ^\circ.$

Du vet att både produkten och summan av två heltal alltid är ett heltal. En definition av jämna tal är Alla tal som kan skrivas på formen $2k$, där $k$ är ett heltal. Visa att $\text{ett jämnt tal gånger ett heltal alltid är jämnt.}$

En cirkel med radien $r$ är inskriven i en liksidig triangel. Den röda linjen delar vinkeln i hörn $B$ mitt itu. Visa att arean av triangeln är $3r^2\sqrt{3}.$

Du får använda att $\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}.$

Två cirklar med radierna $r$ och $R$ är inskrivna i en kvadrat.

Visa att kvadratens sida kan skrivas $r+R+\frac{r+R}{\sqrt{2}}.$

Visa att en pyramid med en kvadratisk bas och en höjd som är hälften av basytans sida har volymen $V=\dfrac{B h}{3},$ där $B$ är pyramidens basyta och $h$ dess höjd. Du kan utgå från kuben i ditt resonemang.

Visa att den stora cirkeln har dubbelt så stor area som den lilla cirkeln. $M$ är mittpunkten i den stora cirkeln och $m$ är mittpunkten i den lilla cirkeln.

Figuren visar en likbent rätvinklig triangel. Två av triangelns sidor är delade i fyra lika stora delar. Hur stor del av triangelns area är skuggad? Motivera ditt svar.

Visa att de färgade ytorna i kvadraten är lika stora.

Visa att $\sqrt{2}$ är ett irrationellt tal.

Visa utan räknare att $\sqrt{12\,544}$ är ett rationellt tal om du vet att $3136=56^2.$

Den röda fyrhörningen står inskriven i en vit cirkel. Fyrhörningen har även delats upp i två identiska rätvinkliga trianglar. Vi vet även att de blå områdena är lika stora och att de gröna områdena är lika stora.

Visa att det röda området är lika stort som summan av de blå och gröna områdena.