Matematisk Argumentation: Ekvivalens, Implikation och Axiom i Matematik

Primtal
Ett heltal större än $1$ som endast är delbart med $1$ och sig självt.

Definition: Naturliga tal $N$ är mängden ${0, 1, 2, 3, \dots} .$
Axiom: Summan av två naturliga tal är ett naturligt tal.

Börja med att rita en figur. Inskriven betyder att den lilla cirkeln precis ska nudda kanten. Vi kan också definiera den stora cirkelns radie som $r .$ Observera att vi inte kan hitta på ett värde på radien, t.ex. $2 cm,$ för då kommer beviset inte gälla generellt utan endast för cirklar med radien $2 .$

Vi inser då att den lilla cirkelns radie blir hälften av den stora cirkelns. Eftersom vi redan har definierat den stora radien följer att den lilla radien blir $\frac{r}{2} .$

Nu ska vi ställa upp uttryck för stora och lilla cirkelns areor. Det är praktiskt att definiera areorna som t.ex.

A_{Stor}

och

A_{Liten} .

Med formeln för cirkelns area får vi

A_{Stor} = π r^{2} .

För att uttrycka den lilla cirkelns area sätter vi in radien

\frac{r}{2}

i formeln och förenklar.

A_{Liten} = π \cdot (\frac{r}{2})^{2}

PowQuot

$(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}$

A_{Liten} = π \cdot \frac{r ^{2}}{4}

MoveLeftFacToNum

$a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}$

A_{Liten} = \frac{π r ^{2}}{4}

Nu beräknar vi hur många gånger större den stora cirkelns area är genom att använda andelsformeln.

Andel = A_{Stor} / A_{Liten}

SubstituteII

$A_{Stor} = π r^{2}$ och $A_{Liten} = \frac{π r ^{2}}{4}$

Andel = π r^{2} / \frac{π r ^{2}}{4}

DivByFracSL

$a / \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{b}$

Andel = \frac{π r ^{2} \cdot 4}{π r ^{2}}

ReduceFrac

Förkorta med $π r^{2}$

Andel = 4

Den stora cirkelns area är alltså

4

gånger så stor.

Q.E.D.

I ord	Med symboler
Om $figuren$ $\ddot{a} r$ $en$ $kvadrat,$ så $\ddot{a} r$ $den$ $en$ $fyrh \ddot{o} ning .$	$A \Rightarrow B$

I ord

Med symboler

figuren

\ddot{a} r

en

kvadrat,

så

\ddot{a} r

den

en

fyrh \ddot{o} ning .

A \Rightarrow B

Påstående	Implikation
$A :$ Om triangeln är rätvinklig $B :$ så gäller Pythagoras sats.	$A \Rightarrow B$
$B :$ Om Pythagoras sats gäller $A :$ så är triangeln rätvinklig.	$B \Rightarrow A$

Påstående

Implikation

A :

Om triangeln är rätvinklig

B :

så gäller Pythagoras sats.

A \Rightarrow B

B :

Om Pythagoras sats gäller

A :

så är triangeln rätvinklig.

B \Rightarrow A

Matematisk argumentation

Förkunskaper

Definition

Axiom