Kedjeregeln

För att bestämma tangentens ekvation behöver vi ta reda på dess lutning, k-värdet, samt dess skärningspunkt med y-axeln, m-värdet. Lutningen på tangenten till f(x) i x=-1 ges av derivatans värde i den punkten, dvs. av f'(-1). För att bestämma detta måste vi derivera funktionen, och eftersom den är sammansatt av den yttre funktionen y=x^7 och den inre funktionen u=x^3-2x använder vi kedjeregeln.

Vi sätter in x=-1 i f'(x) för att beräkna f'(- 1).

Nu vet vi att tangentens k-värde är 7. Vi sätter in det i räta linjens ekvation: y = 7x +m. För att beräkna m sätter vi in en punkt, som vi säkert vet ligger på tangenten, i ekvationen. Eftersom tangenten tangerar grafen då x= - 1 vet vi att punkten (- 1, f(- 1)) ligger på tangenten. Vi har att f(- 1) = ( (- 1)^3 -2(- 1) )^7 = ( (- 1) +2 )^7 = 1.

Tangenten går alltså genom punkten (- 1, 1) och vi sätter in detta x- och y-värde i ekvationen för tangenten för att beräkna m : 1 = 7 * (- 1) +m ⇔ m = 1 - 7* (- 1) = 8.

Tangentens ekvation är alltså y=7x+8.

Eftersom funktionen är sammanhängande, och definierad på ett slutet intervall, kan vi bestämmer extremvärdena genom att jämföra y-värdena i ändpunkter och stationära punkter.

y-värden i ändpunkter

För att bestämma y-värdena i ändpunkterna sätter vi in x=-2 respektive x=2 i funktionen f(x).

Nu vet vi att y-värdet är 12 i ena ändpunkten.

I andra ändpunkten är y-värdet 28.

y-värden i stationära punkter

För att avgöra y-värdena i funktionens stationära punkter måste vi först bestämma x-värdena i dessa punkter. De hittar vi genom att lösa ekvationen f'(x)=0. Vi deriverar f(x) med kedjeregeln eftersom funktionen är sammansatt av den yttre funktionen y=x^2+3 och den inre funktionen u=x^2+2x-3.

Vi stannar där och sätter derivatan lika med 0. Vi löser ekvationen med nollproduktmetoden.

Andragradsekvationen löser vi med pq-formeln.

Funktionen f(x) har alltså stationära punkter i x=-3, x=-1 och x=1. Eftersom vi studerar extremvärden på intervallet - 2 ≤ x ≤ 2 kan vi bortse från den stationära punkten i x=-3. Nu sätter vi in x=-1 respektive x=1 i f(x) för att bestämma motsvarande y-värden.

Nu sätter vi in x-värdet 1 istället.

y-värdena i funktionens stationära punkter är alltså 19 och 3.

Jämförelse av y-värden

Vi sammanställer och jämför de y-värden vi bestämt.

Funktionen f(x) har alltså, på intervallet -2≤ x≤ 2, &minsta värdet3och &största värdet28.

En sammansatt funktion deriveras med kedjeregeln och resultatet brukar skrivas på formen "yttre derivata * inre derivata". I detta fall är derivatan 3 (2x+1)^2* 2 så vi utgår från att 3(2x+1)^2 är derivatan av den yttre funktionen och att 2 är derivatan av den inre funktionen. Derivatan 2 får man t.ex. när man deriverar 2x+1, som finns med i yttre derivatan. Den inre funktionen skulle alltså kunna vara u=2x+1. Om så är fallet kan den yttre derivatan skrivas 3u^2. Eftersom detta är derivatan av u^3 verkar det rimligt att den yttre funktionen är just y=u^3. För att kontrollera att vår inre och yttre funktion är rätt bildar vi den sammansatta funktionen y(u(x))=(2x+1)^3 och deriverar den med kedjeregeln. Om vi då får den givna derivatan har vi rätt inre och yttre funktion.

Vi får precis den derivata som var given i uppgiften, så y=u^3 och u=2x+1 är en möjlig yttre respektive inre funktion.

Vi använder samma tankesätt här och utgår därför från att 2(x^2-x) är den yttre derivatan och att 2x-1 är den inre derivatan. Deriverar man uttrycket i parentesen i den yttre derivatan, dvs. x^2-x, får man just inre derivatan, så vi utgår från att den inre funktionen är u=x^2-x. Då kan yttre derivatan skrivas 2u, och eftersom detta är derivatan av u^2 antar vi att den yttre funktionen är y=u^2. Vi kontrollerar om vi fått fram korrekta funktioner genom att derivera den sammansatta funktionen y(u(x))=(x^2-x)^2 med kedjeregeln.

Derivatan är precis den som gavs i uppgiften, så y=u^2 och u=x^2-x är en möjlig yttre respektive inre funktion.

Vi gör på samma sätt som i tidigare deluppgifter och antar därför att e^(x^2+3) är den yttre derivatan och att 2x är den inre derivatan. I den yttre derivatan finns uttrycket x^2+3, som om det deriveras ger just inre derivatan. Vi utgår därför från att u=x^2+3 är en möjlig inre funktion. Då kan yttre derivatan skrivas e^u och eftersom derivatan av e^u är just e^u måste den yttre funktionen i så fall vara y=e^u. Till sist kontrollerar vi om denna inre och yttre funktion kan stämma genom att derivera den sammansatta funktionen y(u(x))=e^(x^2+3) med kedjeregeln.

Vi får den derivata som var given i uppgiften och kan konstatera att y=e^u och u=x^2+3 är en möjlig yttre respektive inre funktion.

Uttrycket f(g(h(x))) kan ses som sammansättningen av den yttre funktionen f(x) och den inre funktionen g(h(x)). Att g(h(x)) i sin tur också är en sammansatt funktion påverkar inte det faktum att g(h(x)) är en funktion. Använder vi kedjeregeln på denna yttre och inre funktion får vi ett uttryck för derivatan av f(g(h(x))): D(f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) * D(g(h(x)). För att beräkna den inre funktionens derivata, D(g(h(x)), använder vi kedjeregeln en gång till: D(g(h(x)) = g'(h(x)) * h'(x). Sammanfattningsvis får vi alltså följande formel för derivatan av f(g(h(x))). D(f(g(h(x)))) & = f'(g(h(x))) * D(g(h(x)) [5pt] & = f'(g(h(x))) * g'(h(x)) * h'(x).

Det vi söker är fotbollens radie i en viss tidpunkt, och till hjälp har vi två förändringshastigheter. Den ena anger hur fotbollens volym ändras per sekund vid just denna tidpunkt, och den andra anger hur fotbollens radie ändras per sekund i samma tidpunkt. Detta indikerar att det i sammanhanget finns både en funktion för volymen och en för radien som beror på tid: V(t) och r(t). Eftersom volymen av ett klot (fotbollen) även kan beskrivas som en funktion med avseende på radien kan vi formulera ytterligare en volymfunktion. V(r)=4π r^3/3 Funktionen V(t) kan nu formuleras som en sammansatt funktion, eftersom volymen beror av radien som beror på tiden. V(t)=V(r(t)) Enligt kedjeregeln kan vi nu ställa upp sambandet dV/dt = dV/dr * dr/dt. Vi kan sätta in värden på både dVdt och drdt eftersom vi känner till volymförändringen och radieförändringen med avseende på tid: 30 = dV/dr * 0.02. Vi saknar volymförändringen med avseende på radien, men den kan vi få genom att derivera V(r).

Vi sätter nu in uttrycket för dVdr i sambandet mellan de tre förändringshastigheterna. Då får vi en ekvation med en obekant, nämligen r som vi söker.

Eftersom en längd inte kan vara negativ förkastar vi den negativa lösningen och får att r ≈ 11cm.