Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. $y(x)=x^2+3x,$ deriveras varje term för sig.

Härledning		expand_more
$D(f+g)=D(f)+D(g)$

Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan $f(x)+g(x)$ med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan $f(x+h)+g(x+h)$ och $f(x)+g(x)$: $\footnotesize{D(f(x)+g(x))=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}.}$ Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar $f'(x)$ och ett som motsvarar $g'(x).$

$D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}$

Ta bort parentes & byt tecken

$D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$

Omarrangera termer

$D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}$

Dela upp bråk

$D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)$

Dela upp gränsvärde

$D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}$

$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= f'(x)$

$D(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)$

I detta fall är det variabel $x$ man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel: $D(f+g)=D(f)+D(g).$