Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan
f(x)+g(x)
med . I täljaren får man då mellan
f(x+h)+g(x+h) och
f(x)+g(x):
D(f(x)+g(x))=h→0limhf(x+h)+g(x+h)−(f(x)+g(x)).
Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar
f′(x) och ett som motsvarar
g′(x).
D(f(x)+g(x))=h→0limhf(x+h)+g(x+h)−(f(x)+g(x))
D(f(x)+g(x))=h→0limhf(x+h)+g(x+h)−f(x)−g(x)
D(f(x)+g(x))=h→0limhf(x+h)−f(x)+g(x+h)−g(x)
D(f(x)+g(x))=h→0lim(hf(x+h)−f(x)+hg(x+h)−g(x))
D(f(x)+g(x))=h→0limhf(x+h)−f(x)+h→0limhg(x+h)−g(x)
D(f(x)+g(x))=f′(x)+g′(x)
I detta fall är det variabel
x man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel:
D(f+g)=D(f)+D(g).