Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. y(x)=x2+3x,y(x)=x^2+3x, deriveras varje term för sig.

Härledning

D(f+g)=D(f)+D(g)D(f+g)=D(f)+D(g)
Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan f(x)+g(x) f(x)+g(x) med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan f(x+h)+g(x+h)f(x+h)+g(x+h) och f(x)+g(x)f(x)+g(x): D(f(x)+g(x))=limh0f(x+h)+g(x+h)(f(x)+g(x))h. \footnotesize{D(f(x)+g(x))=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}.} Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar f(x)f'(x) och ett som motsvarar g(x).g'(x).
D(f(x)+g(x))=limh0f(x+h)+g(x+h)(f(x)+g(x))hD(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}
D(f(x)+g(x))=limh0f(x+h)+g(x+h)f(x)g(x)hD(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}
D(f(x)+g(x))=limh0f(x+h)f(x)+g(x+h)g(x)hD(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}
D(f(x)+g(x))=limh0(f(x+h)f(x)h+g(x+h)g(x)h)D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)
D(f(x)+g(x))=limh0f(x+h)f(x)h+limh0g(x+h)g(x)hD(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}
D(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)D(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)

I detta fall är det variabel xx man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel: D(f+g)=D(f)+D(g). D(f+g)=D(f)+D(g).


{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}