Kedjeregeln

Det som efterfrågas är hur vattennivån förändras med tiden. Alltså derivatan av höjden med avseende på tiden: dh/dt. Vi har inte ett uttryck för höjden som vi kan derivera, men vi har fått lite annan information, t.ex. hur volymen förändras med tiden, dV/dt. Volymen beror av höjden som i sin tur beror av tiden. Det betyder att volymen V är en sammansatt funktion och kan deriveras med kedjeregeln: dV/dt=dV/dh*dh/dt Här ingår förändringsfaktorn dh/dt som vi söker. Volymen minskar med 1,0.liter /min. och eftersom 1 liter är lika med 1 dm^3 är dV/dt=-1 .dm^3 /min.. För att bestämma dV/dh behöver vi ett uttryck för vattenvolymen med avseende på höjden. Volymen av en kon ges av V=π r^2 * h/3, där r är radien och h är höjden. Vi vet att konens diameter, 2r, är lika stor som höjden, h. Det betyder att r=h/2. Vi sätter in detta i volymformeln.

Nu kan vi derivera denna funktion med avseende på höjden, h.

Nu sätter vi in detta samt dV/dt i uttrycket för kedjeregeln vi tog fram tidigare. Eftersom det frågas efter hur vattennivån förändras när den är 15cm sätter vi in den höjden. Förändringen dV/dt är angiven i .dm^3 /min,. alltså bör vi ange höjden i dm för att enheterna ska stämma överens.

Derivatan är negativ så vattennivån minskar med ungefär 0,57 .dm /min.. Eftersom vattennivån anges i cm i uppgiften väljer vi att konvertera enheten till cm/min. 0,57dm är lika med 5,7cm så vattennivån minskar med 5,7 .cm /min. när den är 15cm.

Vi ska beräkna garnnystanets radie i tidpunkten Anita stickade som snabbast. För att göra det börjar vi med att reda ut vad mer vi vet gäller vid denna tidpunkt:

• Garnnystanets radie minskar med 0,1 .cm /min,. dvs. dr/dt=-0,1.cm /min..
• Stickhastigheten är 10.m /min..
• Garntråden har diametern 0,4cm.
• Garnnystanet är klotformat.

Första punkten anger hur radien förändras med tiden när Anita stickar som snabbast. Detta innebär att det i sammanhanget måste finnas en funktion för radien som beror av tiden: r(t). Med andra och tredje punkten kan vi bestämma hur nystanets volym förändras med tiden när Anita stickar som snabbast, förutsatt att tråden är cylinderformad. Om så är fallet kan vi nämligen säga att hon använder volymen motsvarande en 10m lång cylinder med diametern 0,4cm varje minut. Hur stor denna volym är bestämmer vi med volymformeln för en cylinder, där vi sätter in radien 0,2cm samt höjden 1 000cm.

När Anita stickar som snabbast minskar alltså nystanets volym med 40π .cm^3 /min,. dvs. vi får att dV/dt=-40π.cm^3 /min.. Att vi får en förändringshastighet som beskriver hur volymen beror av tid innebär också att det i sammanhanget måste finnas en funktion som beskriver hur volymen beror av tiden: V(t). Att nystanet är klotformat ger oss att dess volym även beror av radien enligt volymformeln för ett klot: V(r)=4π r^3/3. Garnnystanets volym beror alltså på radien, som i sig beror av tiden. Det ger oss den sammansatta funktionen V(t)=V(r(t)). Deriverar man denna med kedjeregeln får man dV/dt = dV/dr *dr/dt. Vi har redan värden på dV/dt och dr/dt, och vi kan få ett uttryck för dV/dr genom att derivera V(r).

Nu sätter vi in detta uttryck samt värdena vi känner till i sambandet med de tre förändringshastigheterna. Då får vi en ekvation där r, som vi söker, är den enda okända.

Eftersom en längd inte kan vara negativ kan vi bortse från den negativa lösningen och konstatera att nystanets radie var 10cm när Anita stickade som snabbast.