Kedjeregeln: Inre och Yttre Derivata i Matte

I koordinatsystemet finns graferna till funktionerna $y = f (x)$ och $y = g (x) .$

Utan att bestämma varken $f (x)$ eller $g (x),$ beräkna värdet av $h^{'} (1.5)$ approximativt med hjälp av figuren, givet följande.

h (x) = f (g (x))

h (x) = g (f (x))

För att kunna använda graferna för att bestämma h'(x) behöver vi först hitta ett uttryck för h'(x) som beror på funktionerna f(x) och g(x). Vi hittar detta uttryck genom att derivera funktionen h(x) med hjälp av kedjeregeln.

När vi sätter in x=1.5 får vi h'(1.5) = f'(g(1.5))* g'(1.5). Faktorn f'(g(1.5)) betyder att vi sätta in funktionsvärdet g(1.5) i derivatan f'(x). Ur grafen till funktionen g(x) avläser vi nu det funktionsvärde som motsvarar g(1.5).

Vi avläser att g(1.5)≈ 2.5. Vi sätter nu in detta i vårt uttryck och får h'(1.5) ≈ f'(2.5)* g'(1.5). Vi gör nu en uppskattning av g'(1.5), dvs. hur stor lutningen är för funktionen g(x) när x=1.5, med hjälp av en tangent till g(x) i x = 1.5.

Derivatan g'(1.5) har samma värde som lutningen för tangenten. Vi bestämmer lutningen enligt g'(1.5) = Δ y/Δ x≈ -2/2=- 1. Vi sätter även in detta och får då hittills derivatan h'(1.5) ≈ f'(2.5)* (- 1). Nu fortsätter vi med att bestämma värdet av f'(2.5), vilket vi gör grafiskt genom att bestämma lutningen för funktionen f(x) då x=2.5.

Vi finner att grafen till f(x) i x=2.5 är parallell med x-axeln och har alltså lutningen 0. Detta ger oss att h'(1.5) ≈ 0* (- 1) vilket förenklat blir h'(1.5) ≈ 0.

Vi gör här på samma sätt som i föregående deluppgift, men med ett annat funktionsuttryck. Vi bestämmer först ett uttryck för derivatan av funktionen h(x) = g(f(x)) genom att derivera med kedjeregeln.

Vi sätter in x=1.5 i uttrycket för derivatan och får h'(1.5) = g'(f(1.5))* f'(1.5). Vi använder grafen till f(x) för att bestämma värdet av f(1.5).

Vi finner att f(1.5)≈ 1.5. Insatt i derivatan får vi då h'(1.5) ≈ g'(1.5)* f'(1.5). Värdet av g'(1.5) bestämde vi i föregående deluppgift och det är g'(1.5)≈ -1. Med det insatt i uttrycket för derivatan får vi h'(1.5) ≈ (- 1)* f'(1.5). Vi bestämmer nu värdet för f'(1.5) genom att grafiskt bestämma lutningen för funktionen f(x) då x=1.5.

När vi bestämmer tangentens lutning får vi att k=Δ y/Δ x≈ 3/1.5 = 2. När vi sätter in detta får vi att derivatan blir h'(1.5) ≈ (- 1)* 2, alltså h'(1.5) ≈ - 2.

En nedåtvänd kon med lika stor diameter som höjd är delvis fylld med vatten. Ur den rinner vatten med hastigheten $1.0$ liter/min. Med vilken hastighet förändras vattennivån då den är $15$ cm? Svara med två gällande siffror.

Det som efterfrågas är hur vattennivån förändras med tiden. Alltså derivatan av höjden med avseende på tiden: dh/dt. Vi har inte ett uttryck för höjden som vi kan derivera, men vi har fått lite annan information, t.ex. hur volymen förändras med tiden, dVdt. Volymen beror av höjden som i sin tur beror av tiden. Det betyder att volymen V är en sammansatt funktion och kan deriveras med kedjeregeln: dV/dt=dV/dh*dh/dt Här ingår förändringsfaktorn dhdt som vi söker. Volymen minskar med 1.0 liter/min och eftersom 1 liter är lika med 1 dm^3 är dVdt=-1 dm^3/min. För att bestämma dVdh behöver vi ett uttryck för vattenvolymen med avseende på höjden. Volymen av en kon ges av V=π r^2 * h/3, där r är radien och h är höjden. Vi vet att konens diameter, 2r, är lika stor som höjden, h. Det betyder att r= h2. Vi sätter in detta i volymformeln.

Nu kan vi derivera denna funktion med avseende på höjden, h.

Nu sätter vi in detta samt dVdt i uttrycket för kedjeregeln vi tog fram tidigare. Eftersom det frågas efter hur vattennivån förändras när den är 15 cm sätter vi in den höjden. Förändringen dVdt är angiven i dm^3/min, alltså bör vi ange höjden i dm för att enheterna ska stämma överens.

Derivatan är negativ så vattennivån minskar med ungefär 0.57 dm/min. Eftersom vattennivån anges i cm i uppgiften väljer vi att konvertera enheten till cm/min. 0.57 dm är lika med 5.7 cm så vattennivån minskar med 5.7 cm/min när den är 15 cm.

Anita har nyss vunnit SM i att sticka snabbt. När hon stickade som snabbast använde hon garn i den svindlande hastigheten

10 m / min .

Just då minskade radien för garnnystanet, som hade formen av ett klot, med

0.1 cm / min .

Givet att garntråden hade diametern

0.4 cm,

hur stor var radien på hennes nystan då hon stickade som snabbast? Du får anta att garnnystanet var perfekt packat, alltså att det inte fanns några tomma utrymmen i det.

Vi ska beräkna garnnystanets radie i tidpunkten Anita stickade som snabbast. För att göra det börjar vi med att reda ut vad mer vi vet gäller vid denna tidpunkt:

Garnnystanets radie minskar med 0.1 cm/min, dvs. drdt=-0.1cm/min.
Stickhastigheten är 10 m/min.
Garntråden har diametern 0.4 cm.
Garnnystanet är klotformat.

Första punkten anger hur radien förändras med tiden när Anita stickar som snabbast. Detta innebär att det i sammanhanget måste finnas en funktion för radien som beror av tiden: r(t). Med andra och tredje punkten kan vi bestämma hur nystanets volym förändras med tiden när Anita stickar som snabbast, förutsatt att tråden är cylinderformad. Om så är fallet kan vi nämligen säga att hon använder volymen motsvarande en 10 m lång cylinder med diametern 0.4 cm varje minut. Hur stor denna volym är bestämmer vi med volymformeln för en cylinder, där vi sätter in radien 0.2 cm samt höjden 1000 cm.

När Anita stickar som snabbast minskar alltså nystanets volym med 40π cm^3/min, dvs. vi får att dVdt=-40πcm^3/min. Att vi får en förändringshastighet som beskriver hur volymen beror av tid innebär också att det i sammanhanget måste finnas en funktion som beskriver hur volymen beror av tiden: V(t). Att nystanet är klotformat ger oss att dess volym även beror av radien enligt volymformeln för ett klot: V(r)=4π r^3/3. Garnnystanets volym beror alltså på radien, som i sig beror av tiden. Det ger oss den sammansatta funktionen V(t)=V(r(t)). Deriverar man denna med kedjeregeln får man dV/dt = dV/dr *dr/dt. Vi har redan värden på dV dt och dr dt , och vi kan få ett uttryck för dV dr genom att derivera V(r).

Nu sätter vi in detta uttryck samt värdena vi känner till i sambandet med de tre förändringshastigheterna. Då får vi en ekvation där r, som vi söker, är den enda okända.

Eftersom en längd inte kan vara negativ kan vi bortse från den negativa lösningen och konstatera att nystanets radie var 10cm när Anita stickade som snabbast.

Kedjeregeln

Bevis

Exempel

Bestäm derivatan med kedjeregeln

Tillämpningar med kedjeregeln

Kedjeregeln

Rekommenderade uppgifter

	3 sidor teori
	14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.