Begrepp

Sammansatt funktion

En sammansatt funktion är, som namnet antyder, en sorts sammanslagning av två eller flera funktioner. Vanligtvis skrivs funktioner på formen f(x),f(x), där funktionen ff beror på variabeln x.x. Om man ersätter xx med ett tal kan man beräkna värdet för olika x,x, t.ex. betyder det att f(x)=x2+3x1f(2)=22+321=9. f(x)=x^2+3x-1 \quad \Rightarrow \quad f(2)=2^2+3\cdot2-1=9. Men vad händer om man istället sätter in en annan funktion, g(x)?g(x)? Det är då man får en sammansatt funktion. T.ex. är funktionen tan(9x)\tan(9x) sammansatt av 9x9x och tan(x),\tan(x), där den inre funktionen, 9x,9x, har satts in i den yttre funktionen, tan(x).\tan(x). f(x)=tan(x)f(9x)=tan(9x) f(x)=\tan(x) \quad \Rightarrow \quad f(9x)=\tan(9x) I tabellen visas några fler exempel.

Yttre funktion Inre funktion Sammansatt funktion
y=cos(u)y=\cos(u) u=7xu=7x y=cos(7x)y=\cos(7x)
y=u4y=u^4 u=x6u=x-6 y=(x6)4y=(x-6)^4
y=ln(u)y=\ln(u) u=3x5u=3x-5 y=ln(3x5)y=\ln(3x-5)
y=euy=e^u u=2xu=2x y=e2xy=e^{2x}
I det här fallet kallas den inre funktionen för uu och den yttre för y,y, men det finns flera olika notationer för sammansatta funktioner.

Notation

Sammansatt funktion

För att markera att en funktion är sammansatt finns det olika alternativ. I några av dem tar man med den oberoende variabeln x,x, och i andra inte.

Yttre funktion Inre funktion Sammansatt funktion Utläses
yy uu y(u)y(u) "yy av uu"
f(x)f(x) g(x)g(x) f(g(x))f(g(x)) "ff av gg av xx"
ff gg fgf\circ g "ff boll gg"
Sammansatta funktioner deriveras med kedjeregeln: D(f(g(x)))=f(g(x))g(x). D(f(g(x)))=f'(g(x))\cdot g'(x).

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}