6. Exponenter på bråkform
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
6.
Exponenter på bråkform
Denna lektion fokuserar på att förklara och undervisa om rationella exponenter. Den tar upp olika sätt att skriva och beräkna rotuttryck, inklusive användning av räknare. Det finns också förklaringar om hur man kan skriva ett rotuttryck som en potens med ett bråk i exponenten, och hur man kan förenkla beräkningar genom att använda räkneregler när rotuttryck multipliceras eller divideras. Lektionenen är användbar för studenter som vill förbättra sin förståelse för dessa matematiska koncept och för lärare som söker pedagogiska verktyg.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 11 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Exponenter på bråkform
Sida av 11
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratrot
- Rotuttryck
- Rotuttryck på räknare
- Rationell exponent 1/n
- Rationell exponent b/n
- Multiplikation och division med rotuttryck
Förkunskaper
Koncept
Kvadratrot
Kvadratroten ur ett tal a, vilket skrivs a, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a. Exempelvis är 16 lika med 4 eftersom 4⋅4=16 och på samma sätt är 25 lika med 5 eftersom 5⋅5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.
a⋅a=aeller(a)2=a
Koncept
Rotuttryck
Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 327, vilket utläses kubikroten ur 27 eller tredje roten ur 27,
så anger 3:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 3 gånger blir 27, alltså 3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.
Generellt är na det tal som multiplicerat med sig själv n gånger är lika med a.
n st.na⋅na⋅⋯⋅na=a
Digitala verktyg
Rotuttryck på räknare
Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren. För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen , vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH
och välja 3 (
följt av talet och slutparentes.
Extra
Andra typer av rotuttryckFör att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.
Därefter trycker man på MATH
och väljer x ,
där x:et står för en godtycklig rot.
Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.
Exempel
Hitta sjätteroten
Beräkna följande rot.
664
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
Ledtråd
Notera att 64=82. I sin tur, notera att 8=23.
Lösning
Den givna roten är en sjätterot, så svaret kommer sannolikt att vara ett litet tal. Börja med att notera att 64 är kvadraten av 8.
Uttrycket inuti roten är 2 multiplicerat med sig själv 6 gånger. Därför är sjätteroten 2.
64=82
Dessutom är 8 kuben av 2.
8=23
Använd denna information för att skriva om rotuttryck.
664
Substitute
64=82
682
Substitute
8=23
6(23)2
PowToProdTwoFac
a2=a⋅a
6(23)⋅(23)
PowToProdThreeFac
a3=a⋅a⋅a
6(2⋅2⋅2)⋅(2⋅2⋅2)
RemovePar
Ta bort parentes
62⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
664=62⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=2
Regel
Potenser på formen a1/n
Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen 1/n med ett positivt heltal n som anger typen av rot. Till exempel kan 327 skrivas som 271/3 och 5100 kan skrivas som 1001/5.
Regel
na=a1/n
Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex.
Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas 91/2. Denna regel brukar uttryckas som a=a1/2. På liknande sätt kan man motivera att 3a=a1/3, eller mer generellt na=a1/n.
(9)2=9.
Ur detta kan man lösa ut 9 genom att höja upp båda led med 1/2 och använda potenslagarna.
(9)2=9
RaiseEqn
VL1/2=HL1/2
((9)2)1/2=91/2
PowPow
(ab)c=ab⋅c
(9)2⋅21=91/2
DenomMultFracToNumber
2⋅2a=a
(9)1=91/2
ExponentOne
a1=a
9=91/2
Exempel
Beräkningar med rotuttryck
Beräkna utan räknare:
161/2−271/3+(5)2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6"]}}
Ledtråd
Skriv om de rationella exponenterna som rötter och förenkla.
Lösning
Vi börjar med att skriva om de två första termerna som rotuttryck. Upphöjt till 1/2 betyder samma sak som kvadratroten ur och den andra termen, 271/3, kan skrivas om till en kubikrot. I den sista termen tar rottecknet och kvadraten ut varandra.
161/2−271/3+(5)2
PowToSqrtSL
a1/2=a
16−271/3+(5)2
PowToRootSL
a1/n=na
16−327+(5)2
CalcRoot
Beräkna rot
4−3+(5)2
PowSqrt
(a)2=a
4−3+5
AddSubTerms
Addera och subtrahera termerna
6
Regel
Potenser på formen ab/n
En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är 1, t.ex. 82/5, kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens:
82/5=582=(58)2.
Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket. Regel
nab=ab/nMan kan utgå från t.ex. 582 och visa hur täljaren i exponenten hamnar som exponent på talet under rottecknet genom att använda potenslagarna.
Rotuttrycket 582 kan alltså skrivas som 82/5. Med samma motivering som för nab=ab/n kan man även visa omskrivningen (na)b=ab/n.
Digitala verktyg
Potenser på räknare
Extra
Exponenter på bråkformOm man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.
Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om ∧ hamnar i exponenten.
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.
Regel
Multiplikation och division med rotuttryck
Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 2⋅8, finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2 eller 8 separat men man kan skriva om 2⋅8 som 16, vilket är lika med 4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.
Regel
na⋅nb=na⋅bEn produkt av två rotuttryck, t.ex. 42⋅43, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 42⋅3. Man kan motivera varför genom att skriva 42⋅43 som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.
Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då a⋅b, inte 2a⋅b.Regel
nbna=nbaEn kvot av två rotuttryck, t.ex. 4342, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 432. Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.
Regeln gäller om a och b är reella, där a är icke-negativt och b är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva ba och inte 2ba.Exempel
Hitta värdet i den rationella exponenten
Bestäm n i nedanstående ekvation.
x3xn⋅4x2=xnx5⋅3x7
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">n<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{29}{5}"]}}
Ledtråd
Skriv de rotuttrycken i formen nxm=xnm. Dela och multiplicera de rotuttrycken.
Lösning
Börja med att skriva om rotuttrycken med hjälp av och nxm=xnm.
Båda sidorna av ovanstående ekvation har samma bas, x, så exponenterna kan sättas lika med varandra.
Lösningen är alltså n=529.
x3xn⋅4x2=xnx5⋅3x7
nam=anm
x21x3n⋅x42=x2nx25⋅x37
MultPow
ab⋅ac=ab+c
x21x3n+42=x2nx25+37
DivPow
acab=ab−c
x3n+42−21=x25+37−2n
3n+42−21=25+37−2n
ExpandFrac
Förläng med 4
3⋅4n⋅4+42−21=25+3⋅47⋅4−2n
ExpandFrac
Förläng med 3
3⋅4n⋅4+4⋅32⋅3−21=25+3⋅47⋅4−2n
ExpandFrac
Förläng med 6
3⋅4n⋅4+4⋅32⋅3−2⋅61⋅6=2⋅65⋅6+3⋅47⋅4−2⋅6n⋅6
Multiply
Multiplicera faktorer
124n+126−126=1230+1228−126n
AddSubFrac
Lägg ihop bråk
124n+6−6=1230+28−6n
MultEqn
VL⋅12=HL⋅12
4n+6−6=30+28−6n
AddSubTerms
Addera och subtrahera termerna
4n=58−6n
AddEqn
VL+6n=HL+6n
4n+6n=58
AddTerms
Addera termerna
10n=58
DivEqn
VL/10=HL/10
n=1058
ReduceFrac
Förkorta med 2
n=529
Exponenter på bråkform
Skriv uttrycket som en potens.
7⋅7⋅7
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7^{\\dfrac{3}{2}}"]}}
35⋅35
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5^{\\dfrac{2}{3}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att skriva om rotuttrycken som potenser. Sedan använder vi potenslagarna för att förenkla.
Uttrycket kan skrivas som potensen 7^(32).
Vi löser denna uppgift på samma sätt som den förra, men här har vi kubikrötter istället för kvadratrötter.
Vi får alltså 5^(23).
security
report
code
Skriv om följande kvot så att den innehåller ett rotuttryck.
532521
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{\\sqrt[6]{5}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förenkla uttrycket med potenslagarna. Sedan skriver vi om potensen som ett rotuttryck.
Svaret är alltså 1sqrt(5).
security
report
code
Beräkna följande uttryck utan räknare.
3+921−321⋅321
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
2−831+431⋅432
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att skriva om potenserna som kvadratrötter. Därefter förenklar vi term för term.
Vi förenklar uttrycket term för term. Den högra termen förenklar vi med potenslagarna.
security
report
code
Ungefär hur många procent längre blir sidan på en kvadrat om vi fördubblar arean? Avrunda till närmaste tiotals procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.80556em;vertical-align:-0.05556em;\"><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">%<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["40"]}}
security
report
code
security
report
code
I figuren visas den mindre kvadraten med sidan s_1 och arean A samt den större kvadraten med sidan s_2 och arean 2A.
Vi börjar med ett uttryck för sidan på den första kvadraten. Arean för en kvadrat är sida gånger sida, och vi får ut sidan genom att dra kvadratroten ur båda sidor ur ekvationen.
Eftersom en sträcka inte kan vara negativ är endast den positiva lösningen giltig. Sidan i den mindre kvadraten är alltså sqrt(A) le. lång. Nu ställer vi upp ett uttryck för den större kvadratens sida då arean fördubblas.
Även här väljs den positiva lösningen. Så sidan ökar från längden sqrt(A) le. till ungefär 1,4sqrt(A) le. En förändringsfaktor på 1,4 innebär en ökning på 40 %.
security
report
code
Förenkla uttrycket så långt som möjligt. Svara med ett rotuttryck.
641643
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{6}"]}}
13−72⋅13721375
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt[7]{13}"]}}
security
report
code
security
report
code
I täljare och nämnaren har vi två potenser. Eftersom båda har samma bas kan vi skriva om dem som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraheras från exponenten i täljaren.
Vi löser uppgiften på samma sätt som tidigare.
security
report
code
Radien av en sfärisk ballong kan uttryckas som r=34π3V tum, där r är radien och V är volymen av ballongen i kubikcentimeter. Om luft pumpas in för att blåsa upp ballongen från 500 kubikcentimeter till 800 kubikcentimeter, hur många centimeter har radien av ballongen ökat?
- Vad var radien av ballongen från början?
- Vad var radien efter att ballongen blåstes upp till 800 kubikcentimeter?
- Hur kan du använda de två radierna för att hitta mängden ökning?
security
report
code
security
report
code
Låt oss först hitta radien för den ursprungliga ballongen. För att göra det kommer vi att sätta in V=500 i den givna ekvationen och beräkna.
Radien för den ursprungliga ballongen är ungefär 4,924 centimeter. Därefter hittar vi radien för den uppblåsta ballongen på samma sätt.
| Volym | Ersätt | Förenkla |
|---|---|---|
| 500 | sqrt(3( 500)/4π) | 4,924 |
| 800 | sqrt(3( 800)/4π) | 5,759 |
Efter att ha blåst upp ballongen till 800 kubikcentimeter är radien ungefär 5,759 centimeter. Genom att subtrahera radien för den ursprungliga ballongen från radien för den uppblåsta ballongen kan vi hitta ökningen. Ökning: 5,759-4,923=0,835cm. Därför är ökningen av radien 0,835 centimeter, eller ungefär 0,8 centimeter.
security
report
code
Exponenter på bråkform
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll