6. Exponenter på bråkform
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
6.
Exponenter på bråkform
Denna lektion fokuserar på att förklara och undervisa om rationella exponenter. Den tar upp olika sätt att skriva och beräkna rotuttryck, inklusive användning av räknare. Det finns också förklaringar om hur man kan skriva ett rotuttryck som en potens med ett bråk i exponenten, och hur man kan förenkla beräkningar genom att använda räkneregler när rotuttryck multipliceras eller divideras. Lektionenen är användbar för studenter som vill förbättra sin förståelse för dessa matematiska koncept och för lärare som söker pedagogiska verktyg.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 11 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Exponenter på bråkform
Sida av 11
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratrot
- Rotuttryck
- Rotuttryck på räknare
- Rationell exponent 1/n
- Rationell exponent b/n
- Multiplikation och division med rotuttryck
Förkunskaper
Koncept
Kvadratrot
Kvadratroten ur ett tal a, vilket skrivs a, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a. Exempelvis är 16 lika med 4 eftersom 4⋅4=16 och på samma sätt är 25 lika med 5 eftersom 5⋅5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.
a⋅a=aeller(a)2=a
Koncept
Rotuttryck
Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 327, vilket utläses kubikroten ur 27 eller tredje roten ur 27,
så anger 3:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 3 gånger blir 27, alltså 3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.
Generellt är na det tal som multiplicerat med sig själv n gånger är lika med a.
n st.na⋅na⋅⋯⋅na=a
Digitala verktyg
Rotuttryck på räknare
Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren. För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen , vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH
och välja 3 (
följt av talet och slutparentes.
Extra
Andra typer av rotuttryckFör att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.
Därefter trycker man på MATH
och väljer x ,
där x:et står för en godtycklig rot.
Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.
Exempel
Hitta sjätteroten
Beräkna följande rot.
664
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
Ledtråd
Notera att 64=82. I sin tur, notera att 8=23.
Lösning
Den givna roten är en sjätterot, så svaret kommer sannolikt att vara ett litet tal. Börja med att notera att 64 är kvadraten av 8.
Uttrycket inuti roten är 2 multiplicerat med sig själv 6 gånger. Därför är sjätteroten 2.
64=82
Dessutom är 8 kuben av 2.
8=23
Använd denna information för att skriva om rotuttryck.
664
Substitute
64=82
682
Substitute
8=23
6(23)2
PowToProdTwoFac
a2=a⋅a
6(23)⋅(23)
PowToProdThreeFac
a3=a⋅a⋅a
6(2⋅2⋅2)⋅(2⋅2⋅2)
RemovePar
Ta bort parentes
62⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
664=62⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=2
Regel
Potenser på formen a1/n
Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen 1/n med ett positivt heltal n som anger typen av rot. Till exempel kan 327 skrivas som 271/3 och 5100 kan skrivas som 1001/5.
Regel
na=a1/n
Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex.
Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas 91/2. Denna regel brukar uttryckas som a=a1/2. På liknande sätt kan man motivera att 3a=a1/3, eller mer generellt na=a1/n.
(9)2=9.
Ur detta kan man lösa ut 9 genom att höja upp båda led med 1/2 och använda potenslagarna.
(9)2=9
RaiseEqn
VL1/2=HL1/2
((9)2)1/2=91/2
PowPow
(ab)c=ab⋅c
(9)2⋅21=91/2
DenomMultFracToNumber
2⋅2a=a
(9)1=91/2
ExponentOne
a1=a
9=91/2
Exempel
Beräkningar med rotuttryck
Beräkna utan räknare:
161/2−271/3+(5)2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6"]}}
Ledtråd
Skriv om de rationella exponenterna som rötter och förenkla.
Lösning
Vi börjar med att skriva om de två första termerna som rotuttryck. Upphöjt till 1/2 betyder samma sak som kvadratroten ur och den andra termen, 271/3, kan skrivas om till en kubikrot. I den sista termen tar rottecknet och kvadraten ut varandra.
161/2−271/3+(5)2
PowToSqrtSL
a1/2=a
16−271/3+(5)2
PowToRootSL
a1/n=na
16−327+(5)2
CalcRoot
Beräkna rot
4−3+(5)2
PowSqrt
(a)2=a
4−3+5
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
6
Regel
Potenser på formen ab/n
En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är 1, t.ex. 82/5, kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens:
82/5=582=(58)2.
Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket. Regel
nab=ab/nMan kan utgå från t.ex. 582 och visa hur täljaren i exponenten hamnar som exponent på talet under rottecknet genom att använda potenslagarna.
Rotuttrycket 582 kan alltså skrivas som 82/5. Med samma motivering som för nab=ab/n kan man även visa omskrivningen (na)b=ab/n.
Digitala verktyg
Potenser på räknare
Extra
Exponenter på bråkformOm man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.
Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om ∧ hamnar i exponenten.
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.
Regel
Multiplikation och division med rotuttryck
Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 2⋅8, finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2 eller 8 separat men man kan skriva om 2⋅8 som 16, vilket är lika med 4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.
Regel
na⋅nb=na⋅bEn produkt av två rotuttryck, t.ex. 42⋅43, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 42⋅3. Man kan motivera varför genom att skriva 42⋅43 som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.
Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då a⋅b, inte 2a⋅b.Regel
nbna=nbaEn kvot av två rotuttryck, t.ex. 4342, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 432. Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.
Regeln gäller om a och b är reella, där a är icke-negativt och b är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva ba och inte 2ba.Exempel
Hitta värdet i den rationella exponenten
Bestäm n i nedanstående ekvation.
x3xn⋅4x2=xnx5⋅3x7
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">n<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{29}{5}"]}}
Ledtråd
Skriv de rotuttrycken i formen nxm=xnm. Dela och multiplicera de rotuttrycken.
Lösning
Börja med att skriva om rotuttrycken med hjälp av och nxm=xnm.
Båda sidorna av ovanstående ekvation har samma bas, x, så exponenterna kan sättas lika med varandra.
Lösningen är alltså n=529.
x3xn⋅4x2=xnx5⋅3x7
nam=anm
x21x3n⋅x42=x2nx25⋅x37
MultPow
ab⋅ac=ab+c
x21x3n+42=x2nx25+37
DivPow
acab=ab−c
x3n+42−21=x25+37−2n
3n+42−21=25+37−2n
ExpandFrac
Förläng med 4
3⋅4n⋅4+42−21=25+3⋅47⋅4−2n
ExpandFrac
Förläng med 3
3⋅4n⋅4+4⋅32⋅3−21=25+3⋅47⋅4−2n
ExpandFrac
Förläng med 6
3⋅4n⋅4+4⋅32⋅3−2⋅61⋅6=2⋅65⋅6+3⋅47⋅4−2⋅6n⋅6
Multiply
Multiplicera faktorer
124n+126−126=1230+1228−126n
AddSubFrac
Lägg ihop bråk
124n+6−6=1230+28−6n
MultEqn
VL⋅12=HL⋅12
4n+6−6=30+28−6n
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
4n=58−6n
AddEqn
VL+6n=HL+6n
4n+6n=58
AddTerms
Addera termer
10n=58
DivEqn
VL/10=HL/10
n=1058
ReduceFrac
Förkorta med 2
n=529
Exponenter på bråkform
Övningar
Förenkla produkten
2⋅6⋅5⋅3
så långt det går. Svara exakt och med minsta möjliga tal under rottecknet.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6\\cdot\\sqrt{5}"]}}
security
report
code
security
report
code
Utan räknare kan vi inte räkna ut de individuella rötterna. Men om vi använder sqrt(a)* sqrt(b)=sqrt(a* b) kan vi sätta talen under ett och samma rottecken.
Svaret sqrt(180) är exakt men enligt uppgiften ska vi svara med så litet rotuttryck som möjligt. Delar vi upp faktorerna under rottecknet ytterligare kan vi kanske bilda perfekta kvadrater och därefter använda regeln baklänges:
sqrt(a* b)=sqrt(a)* sqrt(b),
och därmed minimera vårt rotuttryck.
Vi kan alltså skriva om sqrt(2)* sqrt(6)* sqrt(5) * sqrt(3) som 6sqrt(5).
security
report
code
Beräkna nedanstående uttryck utan räknare och svara exakt.
425+425+425425⋅425⋅425
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{5}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan inte beräkna sqrt(25) i huvudet, och vi kan inte heller förkorta bråket eftersom vi har termer i nämnaren. Men vi kan skriva om nämnaren till en produkt då vi har tre stycken
sqrt(25), vilket kan skrivas om som 3*sqrt(25). Därefter kan vi förkorta.
För att komma vidare i förenklingen skriver vi om rotuttrycken till potenser och använder därefter potenslagarna för att förenkla ytterligare.
Det exakta svaret är alltså 53.
security
report
code
Bestäm n i nedanstående ekvation.
a⋅na⋅6a⋅8a=a241
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">n<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{4}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan börja med att skriva om rotuttrycken enligt reglerna $sqrt(a)=a^(12)$ och $sqrt(a)=a^(1n)$ så att vi får en potens med bas a även i vänsterledet.
Nu har vi en potens i både vänster- och högerled med basen a. Det innebär att vi kan likställa exponenterna och lösa ut n.
Lösningen är alltså n=- 43.
security
report
code
Hur många 52 ska finnas under rottecknet för att ekvationen ska stämma?
52+52+…+52=52+52+52
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"st","answer":{"text":["225"]}}
security
report
code
security
report
code
En upprepad addition kan vi skriva som en multiplikation, tex är 2+2+2=3 * 2. Låt oss kalla antalet gånger som 5^2 ska adderas under rottecknet för n. Vi får då ekvationen sqrt(n* 5^2)=5^2+5^2+5^2. Genom att lösa ut n kan vi bestämma antalet gånger som 5^2 ska adderas för att ekvationen ska stämma.
Man ska alltså addera 5^2 med sig själv 225 gånger.
security
report
code
Vi vet att x är ett positivt heltal i nedanstående ekvation. Bestäm talet utan att använda räknare.
x2=22⋅34⋅74
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["882"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom x är kvadrerad skulle det underlätta om högerledet kan skrivas som en potens med exponenten 2. När vi drar roten ur ekvationen blir vi av med potenserna vilket underlättar beräkningen.
Nu har vi kommit en bit på vägen. Produkten 9 * 98 är inte helt lätt att räkna i huvudet. Men om vi gör omskrivningen 9 * 98=9(100-2) blir den enklare att beräkna med distributiva lagen, dvs. genom att multiplicera in 9:an.
x är alltså lika med 882.
security
report
code
125 är ungefär lika med 1,14. Stämmer det att
35⋅45>5?
Motivera ditt svar utan räknare.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Rotuttrycken kan skrivas om som potenser och eftersom de har samma bas kan exponenterna adderas.
Nu har vi skrivit om uttrycket i potensform. Nästa steg blir att jämföra värdet på detta uttryck med sqrt(5), som ju även kan skrivas som 5^(12).
Vi vet att sqrt(5) är ungefär lika med 1,14. Uttrycket har alltså ett värde som är ~1,14 * sqrt(5), vilket är större än sqrt(5). Svaret är alltså ja.
security
report
code
Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
x72mx73m
Nationella provet VT12 2b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["m"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^{m\/7}"]}}
x+x+xx⋅x⋅x
Nationella provet VT12 2b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["m"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi använder en av potenslagarna för att förenkla uttrycket.
Det förenklade uttrycket är alltså x^(m7).
Vi börjar med att skriva om nämnaren som en multiplikation.
Det enklaste sättet att skriva uttrycket är alltså x3.
Ett annat sätt att lösa uppgiften är att skriva om rotuttrycken och använda potenslagarna.
Vi ser nu att vi får samma svar som tidigare, dvs. x3.
security
report
code
Exponenter på bråkform
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll