2. Exponenter på bråkform
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
2.
Exponenter på bråkform
Denna lektion fokuserar på att förklara och undervisa om rationella exponenter. Den tar upp olika sätt att skriva och beräkna rotuttryck, inklusive användning av räknare. Det finns också förklaringar om hur man kan skriva ett rotuttryck som en potens med ett bråk i exponenten, och hur man kan förenkla beräkningar genom att använda räkneregler när rotuttryck multipliceras eller divideras. Lektionenen är användbar för studenter som vill förbättra sin förståelse för dessa matematiska koncept och för lärare som söker pedagogiska verktyg.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Exponenter på bråkform
Sida av 9
Koncept
Kvadratrot
Kvadratroten ur ett tal a, vilket skrivs a, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a. Exempelvis är 16 lika med 4 eftersom 4⋅4=16 och på samma sätt är 25 lika med 5 eftersom 5⋅5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.
a⋅a=aeller(a)2=a
Koncept
Rotuttryck
Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 327, vilket utläses kubikroten ur 27 eller tredje roten ur 27,
så anger 3:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 3 gånger blir 27, alltså 3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.
Generellt är na det tal som multiplicerat med sig själv n gånger är lika med a.
n st.na⋅na⋅⋯⋅na=a
Digitala verktyg
Rotuttryck på räknare
Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren. För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen , vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH
och välja 3 (
följt av talet och slutparentes.
Extra
Andra typer av rotuttryckFör att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.
Därefter trycker man på MATH
och väljer x ,
där x:et står för en godtycklig rot.
Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.
Regel
Potenser på formen a1/n
Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen 1/n med ett positivt heltal n som anger typen av rot. Till exempel kan 327 skrivas som 271/3 och 5100 kan skrivas som 1001/5.
Regel
na=a1/n
Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex.
Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas 91/2. Denna regel brukar uttryckas som a=a1/2. På liknande sätt kan man motivera att 3a=a1/3, eller mer generellt na=a1/n.
(9)2=9.
Ur detta kan man lösa ut 9 genom att höja upp båda led med 1/2 och använda potenslagarna.
(9)2=9
RaiseEqn
VL1/2=HL1/2
((9)2)1/2=91/2
PowPow
(ab)c=ab⋅c
(9)2⋅21=91/2
DenomMultFracToNumber
2⋅2a=a
(9)1=91/2
ExponentOne
a1=a
9=91/2
Exempel
Beräkningar med rotuttryck
Beräkna utan räknare:
161/2−271/3+(5)2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6"]}}
Ledtråd
Skriv om de rationella exponenterna som rötter och förenkla.
Lösning
Vi börjar med att skriva om de två första termerna som rotuttryck. Upphöjt till 1/2 betyder samma sak som kvadratroten ur och den andra termen, 271/3, kan skrivas om till en kubikrot. I den sista termen tar rottecknet och kvadraten ut varandra.
161/2−271/3+(5)2
PowToSqrtSL
a1/2=a
16−271/3+(5)2
PowToRootSL
a1/n=na
16−327+(5)2
CalcRoot
Beräkna rot
4−3+(5)2
PowSqrt
(a)2=a
4−3+5
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
6
Regel
Potenser på formen ab/n
En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är 1, t.ex. 82/5, kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens:
82/5=582=(58)2.
Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket. Regel
nab=ab/nMan kan utgå från t.ex. 582 och visa hur täljaren i exponenten hamnar som exponent på talet under rottecknet genom att använda potenslagarna.
Rotuttrycket 582 kan alltså skrivas som 82/5. Med samma motivering som för nab=ab/n kan man även visa omskrivningen (na)b=ab/n.
Digitala verktyg
Potenser på räknare
Extra
Exponenter på bråkformOm man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.
Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om ∧ hamnar i exponenten.
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.
Regel
Multiplikation och division med rotuttryck
Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 2⋅8, finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2 eller 8 separat men man kan skriva om 2⋅8 som 16, vilket är lika med 4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.
Regel
na⋅nb=na⋅bEn produkt av två rotuttryck, t.ex. 42⋅43, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 42⋅3. Man kan motivera varför genom att skriva 42⋅43 som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.
Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då a⋅b, inte 2a⋅b.Regel
nbna=nbaEn kvot av två rotuttryck, t.ex. 4342, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 432. Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.
Regeln gäller om a och b är reella, där a är icke-negativt och b är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva ba och inte 2ba.Exempel
Förenkla rotuttrycket
Beräkna utan räknare:
26⋅3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
Ledtråd
Kom ihåg hur man multiplicerar och dividerar med rotuttryck.
Lösning
Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.
Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som 2⋅3.
26⋅3
MultRoot
a⋅b=a⋅b
26⋅3
Multiply
Multiplicera faktorer
218
DivSqrt
ba=ba
218
CalcQuot
Beräkna kvot
9
CalcRoot
Beräkna rot
3
26⋅3
Rewrite
Skriv 6 som 2⋅3
22⋅3⋅3
SqrtProd
a⋅b=a⋅b
22⋅3⋅3
CrossCommonFac
Stryk faktorer
22⋅3⋅3
SimpQuot
Förenkla kvot
3⋅3
MultSqrt
a⋅a=a
3
Skriv femte roten ur 17 i potensform.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["17^{\\dfrac{1}{5}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Femteroten ur ett tal 17 kan vi skriva som sqrt(17), men femteroten ur ett tal är samma sak som att höja upp det talet till 15. Det betyder att sqrt(17)=17^(15).
security
report
code
Skriv en potens med exponenten 21 och som är lika med 3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["9^{\\frac{1}{2}}"]}}
security
report
code
security
report
code
En potens med exponenten 12 kan skrivas om som kvadratroten ur basen. Det vill säga, roten ur något tal ska bli 3. Vi vet från gångertabellen att 3 * 3 = 9, så vi är ute efter sqrt(9) . Nu skriver vi det som en potens. sqrt(9)=9^(1/2) Talet 3 kan alltså skrivas som potensen 9^(12).
Vi letar efter ett tal som vi ska dra roten ur för att få 3. Vi kan formulera detta med ekvationen
sqrt(a) = 3,
där a är vårt sökta tal. Genom att kvadrera båda led kan vi bestämma vilket tal vi ska sätta 12 på för att få 3.
Talet 3 kan alltså skrivas som potensen 9^(12).
security
report
code
Beräkna värdet på uttrycket utan räknare. Kontrollera sedan ditt svar med räknare.
1621
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
2731
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
security
report
code
security
report
code
När man höjer upp ett tal till 12 är det samma sak som att dra roten ur talet.
Uttrycket 16^(12) är lika med 4.
Kontroll med räknare
Vi beräknar värdet av uttrycket 16^(12) på räknaren genom att slå in talet 16, trycka på ^ och skriva in bråktalet 12 inom parentes. Avsluta med ENTER.
Vi kan skriva om 27^(13) som sqrt(27), dvs. det tal som multiplicerat tre gånger blir 27. Vi vet från gångertabellen att 27=3 * 9, vilket vi kan dela upp ytterligare till 27= 3 * 3 * 3. Alltså är 27^(13) lika med 3.
Kontroll med räknare
Vi beräknar värdet av uttrycket 27^(13) på räknaren genom att skriva in på samma sätt som i föregående uppgift.
security
report
code
Vilka av uttrycken är potenser med rationell exponent?
A: x13B: 42x2C: 2521D: x31E: (6x)73F: 11π
{"type":"multichoice","form":{"alts":["A","B","C","D","E","F"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,2,3,4]}
security
report
code
security
report
code
En potens med en rationell exponent är ett uttryck där en bas har höjts upp till ett tal som kan skrivas på formen ab. Vi ser direkt att 25^(12), x^(13) och (6x)^(37) är potenser med bråk i potenserna så dessa har rationell exponent. Vi kan också direkt se att 42x^(sqrt(2)) och 11^(π) inte har en rationell exponent eftersom sqrt(2) och π inte kan skrivas på formen ab. Det sista uttrycket 13x har också en rationell exponent. Vi kan se detta genom att skriva om uttrycket.
Av våra uttryck har A, C, D och E rationella exponenter.
security
report
code
Skriv uttrycket som en potens.
7⋅7⋅7
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7^{\\dfrac{3}{2}}"]}}
35⋅35
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5^{\\dfrac{2}{3}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att skriva om rotuttrycken som potenser. Sedan använder vi potenslagarna för att förenkla.
Uttrycket kan skrivas som potensen 7^(32).
Vi löser denna uppgift på samma sätt som den förra, men här har vi kubikrötter istället för kvadratrötter.
Vi får alltså 5^(23).
security
report
code
Exponenter på bråkform
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll