3. Enhetscirkeln
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
3.
Enhetscirkeln
Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 och medelpunkt i origo. Den används ofta inom trigonometri, där man låter en punkt röra sig längs med cirkelranden. Detta skapar en vinkel mellan den positiva x-axeln och radien till punkten. Genom att använda definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus kan man bestämma koordinaterna för punkten om man känner till vinkeln. Med hjälp av enhetscirkeln kan man också visa olika samband för de trigonometriska funktionerna.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Enhetscirkeln
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Enhetscirkeln
- Trigonometri i enhetscirkeln
- Trigonometriska samband
Dela
Rapportera fel
Översätt
Den cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien 1 kallas enhetscirkeln. Låter man en punkt P röra sig moturs längs med cirkelranden skapas en vinkel v mellan den positiva x-axeln och den radie som går ut till P. Om punkten rör sig medurs från positiva x-axeln låter man v vara negativ.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Undersöka punkter på en enhetscirkel
Titta på enhetscirkeln och starta animationen för att se punkter ritas längs dess kant. En rätvinklig triangel visas med en av punkterna på cirkeln. Dra denna punkt och observera hur triangeln förändras.
- Hur kan du beräkna vinkeln v?
- För en godtycklig vinkel v, hur kan du hitta koordinaterna för punkten på enhetscirkeln?
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Trigonometri i enhetscirkeln
Om man känner till vinkeln v kan man bestämma koordinaterna, (x,y), för punkten P med hjälp av definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Genom att dra en lodrät linje från P till x-axeln bildas en rätvinklig triangel tillsammans med x-axeln och enhetscirkelns radie.
Längden av triangelns bas, x, är lika med punktens x-koordinat. Basen är den närliggande kateten till vinkeln v och hypotenusan i enhetscirkeln är alltid 1, vilket gör att man kan utnyttja definitionen av cosinus för att uttrycka punktens x-koordinat: cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa=x/1=x. På motsvarande sätt kan punktens y-koordinat uttryckas med definitionen för sinus: sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa=y/1=y. Generellt gäller för alla punkter (x,y) på enhetscirkelns rand att x-koordinaten är lika med cos(v) och att y-koordinaten är sin(v).
x=cos(v) och y=sin(v)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln
Bestäm koordinaterna för punkten A. Avrunda till två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":"A\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-0,62","text2":"0,79"}}
Ledtråd
För en punkt på enhetscirkeln med vinkeln v är koordinaterna x = cos(v), y = sin(v).
Lösning
Eftersom cirkeln i uppgiften har radien 1 och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att koordinaterna för punkter på randen, t.ex. för A, kan uttryckas med cosinus och sinus om man känner till vinkeln v som bildas mellan positiva x-axeln och radien:
x=cos(v) och y=sin(v).
I det här fallet är v=128^(∘) vilket ger oss koordinaterna
A=(cos(128^(∘)),sin(128^(∘))).
Om vi slår in de trigonometriska värdena på räknaren ger det cos(128^(∘))=-0,61566 ... och sin(128^(∘))=0,78801 ... Avrundas dessa värden till två decimaler får vi koordinaterna
A ≈ (-0,62,0,79).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Trigonometriska samband
Man kan man visa några samband för de trigonometriska funktionerna med hjälp av bl.a. definitionen för sinus och cosinus samt symmetrin i enhetscirkeln.
Regel
tan(v)=sin(v)/cos(v)Regel
Samband mellan tangens, sinus och cosinus
Tangensvärdet för en vinkel v är lika med kvoten mellan sinusvärdet och cosinusvärdet för samma vinkel.
tan(v)=sin(v)/cos(v)
Vinkeln v i enhetscirkeln svarar mot en punkt med koordinaterna (cos(v), sin(v)), vilket också är katetlängderna på den triangel som kan ritas in mot x-axeln.
Eftersom tangens för en vinkel definieras som den motstående kateten dividerat med den närliggande får man tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet=sin(v)/cos(v).
Detta är en kvot, så nämnaren får inte vara 0 . Det betyder att tan(v) är odefinierad för de vinklar som gör att cosinusvärdet blir 0, t.ex. v=90^(∘) och v=270^(∘).Regel
cos(- v)=cos(v)Regel
Cosinusvärdet för en negativ vinkel
Cosinusvärdet för en negativ vinkel - v är lika med cosinusvärdet för den positiva vinkeln v.
cos(- v)=cos(v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln - 60^(∘) i enhetscirkeln vrids den lika långt som en 60^(∘)-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att man får samma x-värde som för 60^(∘).
Eftersom cosinusvärdet av en vinkel motsvarar x-värdet betyder det att cos(- 60 ^(∘))=cos(60 ^(∘)). Den negativa vinkeln - v representerar en rotation med v^(∘) medurs, vilket är likvärdigt med att subtrahera v från 360^(∘). Därför gäller att
cos(360^(∘) - v) = cos(v).
Regel
cos(v)=- cos(180^(∘)-v)Regel
Cosinusvärdet för en vinkel speglad i y-axeln
Cosinusvärdet för en vinkel v är lika med det negativa cosinusvärdet för vinkeln 180^(∘)-v.
cos(v)=- cos(180^(∘)-v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln 30^(∘) i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan y-axeln som också skapar vinkeln 30^(∘), men mot den negativa x-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma avstånd från y-axeln men på motsatt sida.
Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av x-axeln kommer den att vara 180^(∘) - 30^(∘).
Båda dessa vinklar motsvarar samma x-värde, fast med omvänt tecken, och eftersom cosinusvärdet för vinklarna är lika med dessa x-värden betyder det att
cos(30^(∘))=- cos(180^(∘)-30^(∘)).Regel
cos(v+180^(∘))=-cos(v)Regel
Cosinusvärdet för vinkeln v + 180^(∘)
När man ökar en vinkel med 180^(∘) byter cosinusvärdet tecken.
cos(v+180^(∘))=-cos(v)
Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln v=60^(∘). Den har ett positivt cosinusvärde eftersom man läser av det på den positiva x-axeln.
Om man ökar vinkeln med 180^(∘) hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.
Eftersom 180^(∘) är en rak vinkel kommer punkten för 60^(∘) + 180^(∘) att hamna lika långt till vänster om y-axeln som den första befinner sig till höger om den.
Regel
sin(- v)=- sin(v)Regel
Sinusvärdet för en negativ vinkel
Sinusvärdet för en negativ vinkel - v är lika med minus
sinusvärdet för den positiva vinkeln v.
sin(- v)=- sin(v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln - 30^(∘) i enhetscirkeln kommer den att vridas lika långt som en 30^(∘)-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att y-värdet för punkten är likadant som för 30^(∘) men negativt.
Sinusvärdet av en vinkel motsvarar y-värdet, så sambandet mellan sin(-30^(∘)) och sin(30^(∘)) är alltså att de har samma storlek, men olika tecken: sin(-30^(∘))=- sin(30^(∘)). Den negativa vinkeln - v representerar en rotation med v medurs, vilket är likvärdigt med att subtrahera v från 360^(∘). Därför gäller att
sin(360^(∘) - v) = -sin( v).
Regel
sin(v)=sin(180^(∘)-v)Regel
Sinusvärdet för en vinkel speglad i y-axeln
Sinusvärdet för en vinkel v är lika med sinusvärdet för vinkeln 180^(∘)-v.
sin(v)=sin(180^(∘)-v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln 30^(∘) i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan y-axeln som också skapar vinkeln 30^(∘), men mot den negativa x-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma höjd, och därför ha samma y-värde.
Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av x-axeln kommer den att vara 180^(∘) - 30^(∘).
Båda dessa vinklar motsvarar samma y-värde och eftersom sinusvärdet för vinklarna är lika med detta y-värde betyder det att
sin(30^(∘))=sin(180^(∘)-30^(∘)).Regel
sin(v+180^(∘)) = - sin(v)Regel
Sinusvärdet för vinkeln v + 180^(∘)
När man ökar en vinkel med 180^(∘) byter sinusvärdet tecken.
sin(v+180^(∘))=-sin(v)
Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln v=60^(∘). Den har ett positivt sinusvärde eftersom man läser av det på den positiva y-axeln.
Om man ökar vinkeln med 180^(∘) hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.
Eftersom 180^(∘) är en rak vinkel kommer punkten för 60^(∘)+180^(∘) att hamna lika långt under x-axeln som den första befinner sig ovanför den.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Memo
Trigonometriska värden för standardvinklar – grader
Med hjälp av enhetscirkeln kan man bevisa att följande värden gäller för sinus, cosinus och tangens för standardvinklarna mellan 0^(∘) och 180^(∘). Justera det trigonometriska förhållandet och vinkeln för att se värdet.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm de trigonometriska värdena exakt
Bestäm exakta värden för de trigonometriska uttrycken.
a 2cos(120^(∘))
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"2cos(120^(∘))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
b sin(-45^(∘))
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"sin(-45^(∘))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}"]}}
c sin(30^(∘))/cos(150^(∘))
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"sin(150^(∘))cos(30^(∘))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}"]}}
Ledtråd
a Använd trigonometriska samband för att skriva om uttrycket med en standardvinkel, om det behövs. Använd sedan tabellen med exakta trigonometriska värden för standardvinklar för att bestämma uttryckets värde.
b Använd trigonometriska samband för att skriva om uttrycket med en standardvinkel, om det behövs. Använd sedan tabellen med exakta trigonometriska värden för standardvinklar för att bestämma uttryckets värde.
c Använd trigonometriska samband för att skriva om uttrycket med en standardvinkel, om det behövs. Använd sedan tabellen med exakta trigonometriska värden för standardvinklar för att bestämma uttryckets värde.
Lösning
a För att se vad uttrycken är lika med använder vi tabellen med exakta trigonometriska värden. Vinkeln 120^(∘) är en standardvinkel som ger cosinusvärdet - 12. Vi sätter in detta i uttrycket och förenklar.
2cos(120^(∘)) = 2 ( -1/2 )= -1
b Negativa vinklar finns inte i tabellen, så här skriver vi först om uttrycket så att det innehåller en standardvinkel. Enligt sambandet sin(- v) = - sin(v) är sin(-45^(∘))=- sin(45^(∘)). Vinkeln 45^(∘) är en standardvinkel som ger sinusvärdet 1sqrt(2) vilket vi sätter in i uttrycket:
sin(-45^(∘)) = - sin(45^(∘)) =- 1/sqrt(2).
c I det här fallet har vi två standardvinklar, så vi kan direkt skriva om sin(150^(∘)) som 12 och cos(30^(∘)) som sqrt(3)2 och förenkla.
sin(150^(∘))/cos(30^(∘))
Sin
\ifnumequal{150}{0}{\sin\left(0^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{150}{30}{\sin\left(30^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{150}{45}{\sin\left(45^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{150}{60}{\sin\left(60^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{150}{90}{\sin\left(90^{\, \circ}\right)=1}{}\ifnumequal{150}{120}{\sin\left(120^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{150}{135}{\sin\left(135^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{150}{150}{\sin\left(150^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{150}{180}{\sin\left(180^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{150}{210}{\sin\left(210^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{150}{225}{\sin\left(225^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{150}{240}{\sin\left(240^{\, \circ}\right)=- \dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{150}{270}{\sin\left(270^{\, \circ}\right)=-1}{}\ifnumequal{150}{300}{\sin\left(300^{\, \circ}\right)=-\dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{150}{315}{\sin\left(315^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{150}{330}{\sin\left(330^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{150}{360}{\sin\left(360^{\, \circ}\right)=0}{}
.1 /2./cos(30^(∘))
Cos
\ifnumequal{30}{0}{\cos\left(0^{\, \circ}\right)=1}{}\ifnumequal{30}{30}{\cos\left(30^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{45}{\cos\left(45^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{60}{\cos\left(60^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{90}{\cos\left(90^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{120}{\cos\left(120^{\, \circ}\right)=- \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{135}{\cos\left(135^{\, \circ}\right)=- \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{150}{\cos\left(150^{\, \circ}\right)=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{180}{\cos\left(180^{\, \circ}\right)=- 1}{}\ifnumequal{30}{210}{\cos\left(210^{\, \circ}\right)=- \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{225}{\cos\left(225^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{240}{\cos\left(240^{\, \circ}\right)=- \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{30}{270}{\cos\left(270^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{300}{\cos\left(300^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{30}{315}{\cos\left(315^{\, \circ}\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{330}{\cos\left(330^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{360}{\cos\left(360^{\, \circ}\right)=1}{}
.1 /2./.sqrt(3) /2.
DivFracByFracSameDenom
.a /2./.b /2.=a/b
1/sqrt(3)
Det exakta värdet för det trigonometriska uttrycket är alltså sin(150^(∘))/cos(30^(∘)) = 1/sqrt(3).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Enhetscirkeln
Uppgift 3.1
Stämmer det att punkterna på enhetscirkeln som motsvaras av vinklarna v och 180^(∘) - v har samma x-värde fast med omvänt tecken? Motivera geometriskt.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
För att förstå hur vinklarna v och 180^(∘) - v beror på varandra börjar vi med att rita ut ett exempel på hur de kan se ut i enhetscirkeln. Vi testar med vinkeln v = 40^(∘) och 180^(∘) - 40^(∘) = 140^(∘).
Det ser ut som att punkterna är varandras spegelbilder, men för att motivera det lite mer generellt tittar vi på vad uttrycket 180^(∘) - v betyder. Man kan se det som att man börjar med vinkeln 180^(∘), som motsvarar punkten längst till vänster i enhetscirkeln, och sedan drar bort vinkeln v.
Punkten på enhetscirkeln som definieras av den röda vinkeln 180^(∘)-v, punkt B, kommer alltid kommer att röra sig lika långt längs enhetscirkelns rand som punkt A som definieras av den högra blå vinkeln. Detta eftersom båda rör sig samma vinkel, v, från x-axeln. Punkterna ligger därför på samma avstånd från y-axeln, fast på olika sidor, vilket innebär att de har samma x-koordinat, men med omvänt tecken.
Eftersom x-koordinaterna för punkterna på enhetscirkeln anger de motsvarande vinklarnas cosinusvärde måste även dessa vara likadana för v och 180^(∘) - v men med omvänt tecken. Det ger sambandet
cos(180^(∘) - v) = - cos(v).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Givet att sin(v)=0,8, använd enhetscirkeln nedan och avgör vilket eller vilka av alternativen som cos(180^(∘)-v) kan vara.
Nationella provet HT12 3c
{"type":"multichoice","form":{"alts":["0,6","0,06","-0,6","0,3","-0,86"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,2]}
security
report
code
security
report
code
I enhetscirkeln läser man av sinusvärden på y-axeln. Drar vi en streckad horisontell linje längs med y=0,8 spänner vi alltså upp de två vinklar som ger sin(v)=0,8. Den första vinkeln kallar vi v_1 och den andra vinkeln kallar vi för v_2.
Symmetrin i enhetscirkeln gör att summan av v_1 och v_2 blir 180^(∘), dvs. v_1+v_2=180^(∘). Vinkeln 180^(∘)-v skulle alltså kunna syfta på både v_2 eller v_1 beroende på vilken av dem som är lika med v och eftersom cosinusvärdet läses av på x-axeln läser vi av dessa för båda punkterna som spänner upp vinklarna v_1 och v_2.
Vi får då x-värdena - 0,6 och 0,6 vilket innebär att det finns två möjliga cosinusvärden för vinkeln 180^(∘)-v som motsvarar sinusvärdet 0,8: cos(180^(∘)-v)=± 0,6.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Gäller följande likhet? sin(v)^2 + cos(v)^2 = 1 Motivera med hjälp av enhetscirkeln.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att välja en punkt på enhetscirkeln. Ut till denna punkt drar vi en radie som skapar vinkeln v mot den positiva x-axeln. Eftersom detta är enhetscirkeln har radien längden 1.
Vi drar en linje från punkten till x-axeln, vilket skapar en triangel. Eftersom punkten ligger på enhetscirkeln kommer den att ha x-koordinaten cos(v) och y-koordinaten sin(v), vilket då är triangelns bas respektive höjd.
Detta är en rätvinklig triangel, så Pythagoras sats gäller, vilket ger sin(v)^2 + cos(v)^2 = 1^2 = 1. Detta är sannerligen likheten som ges i uppgiften, men vi bör även undersöka om den stämmer för vinklar i fler kvadranter än den första. I första kvadranten är både sin(v) och cos(v) positiva och stämmer därför överens med katetlängderna, men i resten av kvadranterna är minst en av dem negativ.
Om punkten exempelvis ligger i andra kvadranten kommer cos(v) att vara negativ och längden på triangelns bas blir då - cos(v). Sätter man in detta i Pythagoras sats får man dock samma sak som tidigare eftersom längden kvadreras och minustecknet försvinner.
Vi får alltså att likheten gäller även när vinkeln ligger i andra kvadranten. Motsvarande resonemang kan föras för vinklar i tredje och fjärde kvadranten. Denna likhet kallas i själva verket för trigonometriska ettan och är en mycket användbar identitet.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Enhetscirkeln
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll