MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
Enh
Enhetscirkeln Visa detaljer
Innehållsförteckning
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
Kapitel 
3. 

Enhetscirkeln

Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 och medelpunkt i origo. Den används ofta inom trigonometri, där man låter en punkt röra sig längs med cirkelranden. Detta skapar en vinkel mellan den positiva x-axeln och radien till punkten. Genom att använda definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus kan man bestämma koordinaterna för punkten om man känner till vinkeln. Med hjälp av enhetscirkeln kan man också visa olika samband för de trigonometriska funktionerna.
Inställningar & verktyg för lektion
8 sidor teori
18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Enhetscirkeln
Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Enhetscirkeln
  • Trigonometri i enhetscirkeln
  • Trigonometriska samband

Förkunskaper

Den cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien kallas enhetscirkeln. Låter man en punkt röra sig moturs längs med cirkelranden skapas en vinkel mellan den positiva axeln och den radie som går ut till Om punkten rör sig medurs från positiva axeln låter man vara negativ.

Enhetscirkeln
Utforska

Investigating points on a unit circle

Look at the unit circle and start the animation to see points drawn along its edge. A right triangle is displayed using one of the points on the circle. Drag this point and observe how the triangle changes.
Think about the following questions.
  • How can you calculate the measure of angle
  • For any angle how can you find the coordinates of the point on the unit circle?
Regel

Trigonometri i enhetscirkeln

Om man känner till vinkeln kan man bestämma koordinaterna, för punkten med hjälp av definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Genom att dra en lodrät linje från till axeln bildas en rätvinklig triangel tillsammans med axeln och enhetscirkelns radie.

Längden av triangelns bas, är lika med punktens koordinat. Basen är den närliggande kateten till vinkeln och hypotenusan i enhetscirkeln är alltid vilket gör att man kan utnyttja definitionen av cosinus för att uttrycka punktens koordinat:
På motsvarande sätt kan punktens koordinat uttryckas med definitionen för sinus:
Generellt gäller för alla punkter på enhetscirkelns rand att koordinaten är lika med och att koordinaten är

Exempel

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

Bestäm koordinaterna för punkten Avrunda till två decimaler.

Ledtråd

För en punkt på enhetscirkeln med vinkeln är koordinaterna

Lösning
Eftersom cirkeln i uppgiften har radien och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att koordinaterna för punkter på randen, t.ex. för kan uttryckas med cosinus och sinus om man känner till vinkeln som bildas mellan positiva axeln och radien:
I det här fallet är vilket ger oss koordinaterna
Om vi slår in de trigonometriska värdena på räknaren ger det och Avrundas dessa värden till två decimaler får vi koordinaterna
Regel

Trigonometriska samband

Man kan man visa några samband för de trigonometriska funktionerna med hjälp av bl.a. definitionen för sinus och cosinus samt symmetrin i enhetscirkeln.

Regel
Regel

Samband mellan tangens, sinus och cosinus

Tangensvärdet för en vinkel är lika med kvoten mellan sinusvärdet och cosinusvärdet för samma vinkel.

Vinkeln i enhetscirkeln svarar mot en punkt med koordinaterna vilket också är katetlängderna på den triangel som kan ritas in mot axeln.

Eftersom tangens för en vinkel definieras som den motstående kateten dividerat med den närliggande får man
Detta är en kvot, så nämnaren får inte vara . Det betyder att är odefinierad för de vinklar som gör att cosinusvärdet blir t.ex. och

Regel
Regel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel är lika med cosinusvärdet för den positiva vinkeln

Om man t.ex. ritar in vinkeln i enhetscirkeln vrids den lika långt som en vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att man får samma värde som för

Eftersom cosinusvärdet av en vinkel motsvarar värdet betyder det att
Den negativa vinkeln representerar en rotation med medurs, vilket är likvärdigt med att subtrahera från Därför gäller att

Regel
Regel

Cosinusvärdet för en vinkel speglad i axeln

Cosinusvärdet för en vinkel är lika med det negativa cosinusvärdet för vinkeln

Om man t.ex. ritar in vinkeln i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan axeln som också skapar vinkeln men mot den negativa axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma avstånd från axeln men på motsatt sida.

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av axeln kommer den att vara

Båda dessa vinklar motsvarar samma värde, fast med omvänt tecken, och eftersom cosinusvärdet för vinklarna är lika med dessa värden betyder det att

Regel
Regel

Cosinusvärdet för vinkeln

När man ökar en vinkel med byter cosinusvärdet tecken.

Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln Den har ett positivt cosinusvärde eftersom man läser av det på den positiva axeln.

Om man ökar vinkeln med hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.

Eftersom är en rak vinkel kommer punkten för att hamna lika långt till vänster om axeln som den första befinner sig till höger om den.

Punkterna har samma värde, fast med omvänt tecken, och samma gäller för motsvarande cosinusvärden. Därför byter cosinusvärdet tecken när en vinkel ökar med

Regel
Regel

Sinusvärdet för en negativ vinkel

Sinusvärdet för en negativ vinkel är lika med minus sinusvärdet för den positiva vinkeln

Om man t.ex. ritar in vinkeln i enhetscirkeln kommer den att vridas lika långt som en vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att värdet för punkten är likadant som för men negativt.

Sinusvärdet av en vinkel motsvarar värdet, så sambandet mellan och är alltså att de har samma storlek, men olika tecken:
Den negativa vinkeln representerar en rotation med medurs, vilket är likvärdigt med att subtrahera från Därför gäller att

Regel
Regel

Sinusvärdet för en vinkel speglad i axeln

Sinusvärdet för en vinkel är lika med sinusvärdet för vinkeln

Om man t.ex. ritar in vinkeln i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan axeln som också skapar vinkeln men mot den negativa axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma höjd, och därför ha samma värde.

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av axeln kommer den att vara

Båda dessa vinklar motsvarar samma värde och eftersom sinusvärdet för vinklarna är lika med detta värde betyder det att

Regel
Regel

Sinusvärdet för vinkeln

När man ökar en vinkel med byter sinusvärdet tecken.

Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln Den har ett positivt sinusvärde eftersom man läser av det på den positiva axeln.

Om man ökar vinkeln med hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.

Eftersom är en rak vinkel kommer punkten för att hamna lika långt under axeln som den första befinner sig ovanför den.

Punkterna har samma värde, fast med omvänt tecken, och samma gäller för motsvarande sinusvärden. Därför byter sinusvärdet tecken när en vinkel ökar med
Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar – grader

Med hjälp av enhetscirkeln kan man bevisa att följande värden gäller för sinus, cosinus och tangens för standardvinklarna mellan och Justera det trigonometriska förhållandet och vinkeln för att se värdet.

Trigonometriska förhållanden för märkbara vinklar
Exempel

Bestäm de trigonometriska värdena exakt

Bestäm exakta värden för de trigonometriska uttrycken.

a
b
c

Ledtråd
a Använd trigonometriska samband för att skriva om uttrycket med en standardvinkel, om det behövs. Använd sedan tabellen med exakta trigonometriska värden för standardvinklar för att bestämma uttryckets värde.
b Använd trigonometriska samband för att skriva om uttrycket med en standardvinkel, om det behövs. Använd sedan tabellen med exakta trigonometriska värden för standardvinklar för att bestämma uttryckets värde.
c Använd trigonometriska samband för att skriva om uttrycket med en standardvinkel, om det behövs. Använd sedan tabellen med exakta trigonometriska värden för standardvinklar för att bestämma uttryckets värde.

Lösning
a För att se vad uttrycken är lika med använder vi tabellen med exakta trigonometriska värden. Vinkeln är en standardvinkel som ger cosinusvärdet Vi sätter in detta i uttrycket och förenklar.
b Negativa vinklar finns inte i tabellen, så här skriver vi först om uttrycket så att det innehåller en standardvinkel. Enligt sambandet är Vinkeln är en standardvinkel som ger sinusvärdet vilket vi sätter in i uttrycket:
c I det här fallet har vi två standardvinklar, så vi kan direkt skriva om som och som och förenkla.
Sin

Cos

DivFracByFracSameDenom

Det exakta värdet för det trigonometriska uttrycket är alltså
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Stämmer det att punkterna på enhetscirkeln som motsvaras av vinklarna och har samma -värde fast med omvänt tecken? Motivera geometriskt.

För att förstå hur vinklarna v och 180^(∘) - v beror på varandra börjar vi med att rita ut ett exempel på hur de kan se ut i enhetscirkeln. Vi testar med vinkeln v = 40^(∘) och 180^(∘) - 40^(∘) = 140^(∘).


Det ser ut som att punkterna är varandras spegelbilder, men för att motivera det lite mer generellt tittar vi på vad uttrycket 180^(∘) - v betyder. Man kan se det som att man börjar med vinkeln 180^(∘), som motsvarar punkten längst till vänster i enhetscirkeln, och sedan drar bort vinkeln v.


Punkten på enhetscirkeln som definieras av den röda vinkeln 180^(∘)-v, punkt B, kommer alltid kommer att röra sig lika långt längs enhetscirkelns rand som punkt A som definieras av den högra blå vinkeln. Detta eftersom båda rör sig samma vinkel, v, från x-axeln. Punkterna ligger därför på samma avstånd från y-axeln, fast på olika sidor, vilket innebär att de har samma x-koordinat, men med omvänt tecken.



Eftersom x-koordinaterna för punkterna på enhetscirkeln anger de motsvarande vinklarnas cosinusvärde måste även dessa vara likadana för v och 180^(∘) - v, men med omvänt tecken. Det ger sambandet cos(180^(∘) - v) = - cos(v).

Givet att använd enhetscirkeln nedan och avgör vilket eller vilka av alternativen som kan vara.
Enhetscirkeln med markeringar vid 0.5 på båda axlarna.
Nationella provet HT12 3c

I enhetscirkeln läser man av sinusvärden på y-axeln. Drar vi en streckad horisontell linje längs med y=0.8 spänner vi alltså upp de två vinklar som ger sin(v)=0.8. Den första vinkeln kallar vi v_1 och den andra vinkeln kallar vi för v_2.


Symmetrin i enhetscirkeln gör att summan av v_1 och v_2 blir 180^(∘), dvs. v_1+v_2=180^(∘). Vinkeln 180^(∘)-v skulle alltså kunna syfta på både v_2 eller v_1 beroende på vilken av dem som är lika med v och eftersom cosinusvärdet läses av på x-axeln läser vi av dessa för båda punkterna som spänner upp vinklarna v_1 och v_2.


Vi får då x-värdena - 0.6 och 0.6 vilket innebär att det finns två möjliga cosinusvärden för vinkeln 180^(∘)-v som motsvarar sinusvärdet 0.8: cos(180^(∘)-v)=± 0.6.

Gäller följande likhet?
Motivera med hjälp av enhetscirkeln.

Vi börjar med att välja en punkt på enhetscirkeln. Ut till denna punkt drar vi en radie som skapar vinkeln v mot den positiva x-axeln. Eftersom detta är enhetscirkeln har radien längden 1.


Vi drar en linje från punkten till x-axeln, vilket skapar en triangel. Eftersom punkten ligger på enhetscirkeln kommer den att ha x-koordinaten cos(v) och y-koordinaten sin(v), vilket då är triangelns bas respektive höjd.


Detta är en rätvinklig triangel, så Pythagoras sats gäller, vilket ger sin(v)^2 + cos(v)^2 = 1^2 = 1. Detta är sannerligen likheten som ges i uppgiften, men vi bör även undersöka om den stämmer för vinklar i fler kvadranter än den första. I första kvadranten är både sin(v) och cos(v) positiva och stämmer därför överens med katetlängderna, men i resten av kvadranterna är minst en av dem negativ.


Om punkten exempelvis ligger i andra kvadranten kommer cos(v) att vara negativ och längden på triangelns bas blir då - cos(v). Sätter man in detta i Pythagoras sats får man dock samma sak som tidigare eftersom längden kvadreras och minustecknet försvinner.

Vi får alltså att likheten gäller även när vinkeln ligger i andra kvadranten. Motsvarande resonemang kan föras för vinklar i tredje och fjärde kvadranten. Denna likhet kallas i själva verket för trigonometriska ettan och är en mycket användbar identitet.

Enhetscirkeln

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Laddar innehåll