3. Enhetscirkeln
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
3.
Enhetscirkeln
Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 och medelpunkt i origo. Den används ofta inom trigonometri, där man låter en punkt röra sig längs med cirkelranden. Detta skapar en vinkel mellan den positiva x-axeln och radien till punkten. Genom att använda definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus kan man bestämma koordinaterna för punkten om man känner till vinkeln. Med hjälp av enhetscirkeln kan man också visa olika samband för de trigonometriska funktionerna.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Enhetscirkeln
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Enhetscirkeln
- Trigonometri i enhetscirkeln
- Trigonometriska samband
Dela
Rapportera fel
Översätt
Den cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien 1 kallas enhetscirkeln. Låter man en punkt P röra sig moturs längs med cirkelranden skapas en vinkel v mellan den positiva x-axeln och den radie som går ut till P. Om punkten rör sig medurs från positiva x-axeln låter man v vara negativ.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Undersöka punkter på en enhetscirkel
Titta på enhetscirkeln och starta animationen för att se punkter ritas längs dess kant. En rätvinklig triangel visas med en av punkterna på cirkeln. Dra denna punkt och observera hur triangeln förändras.
- Hur kan du beräkna vinkeln v?
- För en godtycklig vinkel v, hur kan du hitta koordinaterna för punkten på enhetscirkeln?
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Trigonometri i enhetscirkeln
Om man känner till vinkeln v kan man bestämma koordinaterna, (x,y), för punkten P med hjälp av definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Genom att dra en lodrät linje från P till x-axeln bildas en rätvinklig triangel tillsammans med x-axeln och enhetscirkelns radie.
Längden av triangelns bas, x, är lika med punktens x-koordinat. Basen är den närliggande kateten till vinkeln v och hypotenusan i enhetscirkeln är alltid 1, vilket gör att man kan utnyttja definitionen av cosinus för att uttrycka punktens x-koordinat: cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa=x/1=x. På motsvarande sätt kan punktens y-koordinat uttryckas med definitionen för sinus: sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa=y/1=y. Generellt gäller för alla punkter (x,y) på enhetscirkelns rand att x-koordinaten är lika med cos(v) och att y-koordinaten är sin(v).
x=cos(v) och y=sin(v)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln
Bestäm koordinaterna för punkten A. Avrunda till två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":"A\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-0,62","text2":"0,79"}}
Ledtråd
För en punkt på enhetscirkeln med vinkeln v är koordinaterna x = cos(v), y = sin(v).
Lösning
Eftersom cirkeln i uppgiften har radien 1 och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att koordinaterna för punkter på randen, t.ex. för A, kan uttryckas med cosinus och sinus om man känner till vinkeln v som bildas mellan positiva x-axeln och radien:
x=cos(v) och y=sin(v).
I det här fallet är v=128^(∘) vilket ger oss koordinaterna
A=(cos(128^(∘)),sin(128^(∘))).
Om vi slår in de trigonometriska värdena på räknaren ger det cos(128^(∘))=-0,61566 ... och sin(128^(∘))=0,78801 ... Avrundas dessa värden till två decimaler får vi koordinaterna
A ≈ (-0,62,0,79).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Trigonometriska samband
Man kan man visa några samband för de trigonometriska funktionerna med hjälp av bl.a. definitionen för sinus och cosinus samt symmetrin i enhetscirkeln.
Regel
tan(v)=sin(v)/cos(v)Regel
Samband mellan tangens, sinus och cosinus
Tangensvärdet för en vinkel v är lika med kvoten mellan sinusvärdet och cosinusvärdet för samma vinkel.
tan(v)=sin(v)/cos(v)
Vinkeln v i enhetscirkeln svarar mot en punkt med koordinaterna (cos(v), sin(v)), vilket också är katetlängderna på den triangel som kan ritas in mot x-axeln.
Eftersom tangens för en vinkel definieras som den motstående kateten dividerat med den närliggande får man tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet=sin(v)/cos(v).
Detta är en kvot, så nämnaren får inte vara 0 . Det betyder att tan(v) är odefinierad för de vinklar som gör att cosinusvärdet blir 0, t.ex. v=90^(∘) och v=270^(∘).Regel
cos(- v)=cos(v)Regel
Cosinusvärdet för en negativ vinkel
Cosinusvärdet för en negativ vinkel - v är lika med cosinusvärdet för den positiva vinkeln v.
cos(- v)=cos(v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln - 60^(∘) i enhetscirkeln vrids den lika långt som en 60^(∘)-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att man får samma x-värde som för 60^(∘).
Eftersom cosinusvärdet av en vinkel motsvarar x-värdet betyder det att cos(- 60 ^(∘))=cos(60 ^(∘)). Den negativa vinkeln - v representerar en rotation med v^(∘) medurs, vilket är likvärdigt med att subtrahera v från 360^(∘). Därför gäller att
cos(360^(∘) - v) = cos(v).
Regel
cos(v)=- cos(180^(∘)-v)Regel
Cosinusvärdet för en vinkel speglad i y-axeln
Cosinusvärdet för en vinkel v är lika med det negativa cosinusvärdet för vinkeln 180^(∘)-v.
cos(v)=- cos(180^(∘)-v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln 30^(∘) i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan y-axeln som också skapar vinkeln 30^(∘), men mot den negativa x-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma avstånd från y-axeln men på motsatt sida.
Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av x-axeln kommer den att vara 180^(∘) - 30^(∘).
Båda dessa vinklar motsvarar samma x-värde, fast med omvänt tecken, och eftersom cosinusvärdet för vinklarna är lika med dessa x-värden betyder det att
cos(30^(∘))=- cos(180^(∘)-30^(∘)).Regel
cos(v+180^(∘))=-cos(v)Regel
Cosinusvärdet för vinkeln v + 180^(∘)
När man ökar en vinkel med 180^(∘) byter cosinusvärdet tecken.
cos(v+180^(∘))=-cos(v)
Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln v=60^(∘). Den har ett positivt cosinusvärde eftersom man läser av det på den positiva x-axeln.
Om man ökar vinkeln med 180^(∘) hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.
Eftersom 180^(∘) är en rak vinkel kommer punkten för 60^(∘) + 180^(∘) att hamna lika långt till vänster om y-axeln som den första befinner sig till höger om den.
Regel
sin(- v)=- sin(v)Regel
Sinusvärdet för en negativ vinkel
Sinusvärdet för en negativ vinkel - v är lika med minus
sinusvärdet för den positiva vinkeln v.
sin(- v)=- sin(v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln - 30^(∘) i enhetscirkeln kommer den att vridas lika långt som en 30^(∘)-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att y-värdet för punkten är likadant som för 30^(∘) men negativt.
Sinusvärdet av en vinkel motsvarar y-värdet, så sambandet mellan sin(-30^(∘)) och sin(30^(∘)) är alltså att de har samma storlek, men olika tecken: sin(-30^(∘))=- sin(30^(∘)). Den negativa vinkeln - v representerar en rotation med v medurs, vilket är likvärdigt med att subtrahera v från 360^(∘). Därför gäller att
sin(360^(∘) - v) = -sin( v).
Regel
sin(v)=sin(180^(∘)-v)Regel
Sinusvärdet för en vinkel speglad i y-axeln
Sinusvärdet för en vinkel v är lika med sinusvärdet för vinkeln 180^(∘)-v.
sin(v)=sin(180^(∘)-v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln 30^(∘) i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan y-axeln som också skapar vinkeln 30^(∘), men mot den negativa x-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma höjd, och därför ha samma y-värde.
Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av x-axeln kommer den att vara 180^(∘) - 30^(∘).
Båda dessa vinklar motsvarar samma y-värde och eftersom sinusvärdet för vinklarna är lika med detta y-värde betyder det att
sin(30^(∘))=sin(180^(∘)-30^(∘)).Regel
sin(v+180^(∘)) = - sin(v)Regel
Sinusvärdet för vinkeln v + 180^(∘)
När man ökar en vinkel med 180^(∘) byter sinusvärdet tecken.
sin(v+180^(∘))=-sin(v)
Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln v=60^(∘). Den har ett positivt sinusvärde eftersom man läser av det på den positiva y-axeln.
Om man ökar vinkeln med 180^(∘) hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.
Eftersom 180^(∘) är en rak vinkel kommer punkten för 60^(∘)+180^(∘) att hamna lika långt under x-axeln som den första befinner sig ovanför den.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Memo
Trigonometriska värden för standardvinklar – grader
Med hjälp av enhetscirkeln kan man bevisa att följande värden gäller för sinus, cosinus och tangens för standardvinklarna mellan 0^(∘) och 180^(∘). Justera det trigonometriska förhållandet och vinkeln för att se värdet.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm de trigonometriska värdena exakt
Bestäm exakta värden för de trigonometriska uttrycken.
a 2cos(120^(∘))
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"2cos(120^(∘))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
b sin(-45^(∘))
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"sin(-45^(∘))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}"]}}
c sin(30^(∘))/cos(150^(∘))
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"sin(150^(∘))cos(30^(∘))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}"]}}
Ledtråd
a Använd trigonometriska samband för att skriva om uttrycket med en standardvinkel, om det behövs. Använd sedan tabellen med exakta trigonometriska värden för standardvinklar för att bestämma uttryckets värde.
b Använd trigonometriska samband för att skriva om uttrycket med en standardvinkel, om det behövs. Använd sedan tabellen med exakta trigonometriska värden för standardvinklar för att bestämma uttryckets värde.
c Använd trigonometriska samband för att skriva om uttrycket med en standardvinkel, om det behövs. Använd sedan tabellen med exakta trigonometriska värden för standardvinklar för att bestämma uttryckets värde.
Lösning
a För att se vad uttrycken är lika med använder vi tabellen med exakta trigonometriska värden. Vinkeln 120^(∘) är en standardvinkel som ger cosinusvärdet - 12. Vi sätter in detta i uttrycket och förenklar.
2cos(120^(∘)) = 2 ( -1/2 )= -1
b Negativa vinklar finns inte i tabellen, så här skriver vi först om uttrycket så att det innehåller en standardvinkel. Enligt sambandet sin(- v) = - sin(v) är sin(-45^(∘))=- sin(45^(∘)). Vinkeln 45^(∘) är en standardvinkel som ger sinusvärdet 1sqrt(2) vilket vi sätter in i uttrycket:
sin(-45^(∘)) = - sin(45^(∘)) =- 1/sqrt(2).
c I det här fallet har vi två standardvinklar, så vi kan direkt skriva om sin(150^(∘)) som 12 och cos(30^(∘)) som sqrt(3)2 och förenkla.
sin(150^(∘))/cos(30^(∘))
Sin
\ifnumequal{150}{0}{\sin\left(0^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{150}{30}{\sin\left(30^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{150}{45}{\sin\left(45^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{150}{60}{\sin\left(60^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{150}{90}{\sin\left(90^{\, \circ}\right)=1}{}\ifnumequal{150}{120}{\sin\left(120^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{150}{135}{\sin\left(135^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{150}{150}{\sin\left(150^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{150}{180}{\sin\left(180^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{150}{210}{\sin\left(210^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{150}{225}{\sin\left(225^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{150}{240}{\sin\left(240^{\, \circ}\right)=- \dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{150}{270}{\sin\left(270^{\, \circ}\right)=-1}{}\ifnumequal{150}{300}{\sin\left(300^{\, \circ}\right)=-\dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{150}{315}{\sin\left(315^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{150}{330}{\sin\left(330^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{150}{360}{\sin\left(360^{\, \circ}\right)=0}{}
.1 /2./cos(30^(∘))
Cos
\ifnumequal{30}{0}{\cos\left(0^{\, \circ}\right)=1}{}\ifnumequal{30}{30}{\cos\left(30^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{45}{\cos\left(45^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{60}{\cos\left(60^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{90}{\cos\left(90^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{120}{\cos\left(120^{\, \circ}\right)=- \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{135}{\cos\left(135^{\, \circ}\right)=- \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{150}{\cos\left(150^{\, \circ}\right)=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{180}{\cos\left(180^{\, \circ}\right)=- 1}{}\ifnumequal{30}{210}{\cos\left(210^{\, \circ}\right)=- \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{225}{\cos\left(225^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{240}{\cos\left(240^{\, \circ}\right)=- \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{30}{270}{\cos\left(270^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{300}{\cos\left(300^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{30}{315}{\cos\left(315^{\, \circ}\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{330}{\cos\left(330^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{360}{\cos\left(360^{\, \circ}\right)=1}{}
.1 /2./.sqrt(3) /2.
DivFracByFracSameDenom
.a /2./.b /2.=a/b
1/sqrt(3)
Det exakta värdet för det trigonometriska uttrycket är alltså sin(150^(∘))/cos(30^(∘)) = 1/sqrt(3).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Enhetscirkeln
Uppgift 1.1
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0,88","text2":"0,47"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-0,95","text2":"0,31"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0,26","text2":"-0,97"}}
security
report
code
security
report
code
Varje vinkel v i enhetscirkeln motsvaras av en punkt på cirkelns rand med koordinaterna (cos(v), sin(v)). Det innebär att vinkeln 28 ^(∘) motsvaras av koordinaterna (cos(28 ^(∘)), sin(28 ^(∘))). Vi använder cos- och sin-knappen på räknaren för att bestämma värdena. cos(28 ^(∘)) = 0,88294 ... sin(28 ^(∘)) = 0,46947 ... Avrundat till två värdesiffror ger det koordinaterna (0,88; 0,47).
Vi tänker på precis samma sätt här och får då
cos(162 ^(∘)) &= - 0,95105 ...
sin(162 ^(∘)) &= 0,30901 ...
Avrundar vi får vi koordinaterna (- 0,95; 0,31).
På motsvarande sätt får vi
cos(- 75 ^(∘)) &= 0,25881 ...
sin(- 75 ^(∘)) &= - 0,96592 ...
vilket ger koordinaterna (0,26; - 0,97).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{5}{\\sqrt{3}}","\\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}","\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{4}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att förenkla uttrycken i den här uppgiften använder vi tabellen för exakta trigonometriska värden. Ur tabellen ser vi att sin(90^(∘))=1 och att cos(0^(∘))=1. Det betyder att sin(90^(∘))+cos(0^(∘))=1+1=2.
Om man inte har tillgång till tabellen kan man i det här fallet, rita upp enhetscirkeln och minnas att cosinus för en vinkel är x-koordinaten och att sinus för en vinkel är y-koordinaten.
Värdet på sin(90 ^(∘)) är alltså y-koordinaten för den punkt på enhetscirkeln som är 90 ^(∘) från den positiva x-axeln dvs. 1. Värdet på cos(0^(∘)) är x-koordinaten för vinkeln 0 ^(∘): 1. Sammantaget ger oss detta sin(90^(∘))+cos(0^(∘))=1+1=2.
Tabellen ger oss att värdet på tan(30^(∘))= 1sqrt(3). Sätter vi in det får vi 5tan(30^(∘))=5 * 1/sqrt(3)= 5sqrt(3). Vi kan också rationalisera nämnaren för detta bråk.
Vi gör på liknande sätt som tidigare och ersätter uttrycken med värden ur tabellen. Sedan förenklar vi.
I det här fallet finns varken uttrycket i täljaren eller nämnaren i tabellen. Men med hjälp av sambanden för negativa vinklar för sinus och cosinus kan vi skriva om dem så att vi kan använda oss av tabellen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm koordinaterna för punkten P som ligger på randen av enhetscrikeln. Svara med två decimaler.
security
report
code
security
report
code
Koordinaterna för en punkt på enhetscirkeln kan alltid beskrivas med hjälp av vinkeln som skapas mellan den positiva x-axeln och radien ut till punkten. Om denna vinkel kallas v har punkten koordinaterna (cos(v), sin(v)).
För punkten P är v lika med 33^(∘), vilket vi sätter in i uttrycket.
Punkten P har alltså koordinaterna (0,84; 0,54).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm tan(v) med hjälp av enhetscirkeln i figuren. Avrunda till tre värdesiffror.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"tan(v)\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1,19"]}}
security
report
code
security
report
code
Definitionen för tangens är tan(v)=sin(v)/cos(v). I en punkt på enhetscirkeln anger x-koordinaten cosinusvärdet och y-koordinaten anger sinusvärdet. Detta betyder att cos(v)= 0,643 och sin(v)= 0,766. Nu kan vi bestämma tan(v).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}","-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{2}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vinkeln 315^(∘) är inte någon standardvinkel, men om vi ritar ut den i enhetscirkeln kan vi se hur den relaterar till andra vinklar som är det.
Vi ser här att vinkeln 315^(∘) går nästan hela vägen runt enhetscirkeln, och den delen som är kvar är 360^(∘) - 315^(∘) = 45^(∘). Att gå 45^(∘) medurs runt enhetscirkeln är alltså samma sak som att gå 315^(∘) moturs. Vinklar medurs anges som negativa, dvs v=-45^(∘). Det ger att sin(315^(∘)) = sin(-45^(∘)). Genom att utnyttja att sinusvärdet av en negativ vinkel är lika med det negativa sinusvärdet av motsvarande positiva vinkel kan vi sedan skriva om sin(315^(∘)) exakt med tabellen för standardvinklar.
Vinkeln 270^(∘) är inte heller någon standardvinkel, så vi gör på samma sätt igen och ritar ut den i enhetscirkeln.
Här kan man direkt läsa av att cos(270^(∘))=0 eftersom punkten ligger på y-axeln, där x-värdet är lika med 0.
Vi kan också resonera på liknande sätt som i förra deluppgiften. Vinkeln v som går medurs blir den här gången -90 ^(∘). Vi söker cosinusvärdet för denna vinkel eftersom det är lika med cosinusvärdet för 270^(∘): cos(270^(∘)) = cos(-90^(∘)). Cosinus för negativa vinklar är lika med cosinus för motsvarande positiva vinkel, så cos(-90^(∘)) = cos(90^(∘)). Detta är cosinusvärdet av en standardvinkel och är lika med 0, vilket ger cos(270^(∘)) = 0.
Vinkeln -210^(∘) är negativ, men vi kan fortfarande tänka på samma sätt som tidigare. Vi kommer ihåg att negativa vinklar går medurs från x-axeln och ritar ut den i enhetscirkeln.
Om den kända vinkeln är 210^(∘) av ett helt varv blir det 360^(∘) - 210^(∘) = 150^(∘) över till vinkeln v. Den vinkeln måste vara positiv eftersom den går moturs från den positiva x-axeln, så v = 150^(∘), vilket är en standardvinkel. Vi får då sin(-210^(∘)) = sin(150^(∘)) Sinusvärdet av 150^(∘) är 1/2, vilket ger sin(-210^(∘)) = 1/2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Niamh löser en uppgift om enhetscirkeln där man ska svara exakt. Hon får svaret
2sin(30^(∘))+cos(50^(∘)).
Hon utbrister: Det går inte att svara exakt eftersom 50^(∘) inte är en standardvinkel!
Har Niamh rätt?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Niamh har fel. Ett exakt svar betyder bara att det inte har avrundats, och varken uttrycket 2sin(30^(∘)) eller cos(50^(∘)) är avrundat. Hon hade alltså kunnat svara 2sin(30^(∘))+cos(50^(∘)), och det hade varit exakt. Dock förväntas man förenkla så långt som möjligt så det mest korrekta svaret här hade varit 1+cos(50^(∘)).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm ekvationen för enhetscirkeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2+y^2=1","1=x^2+y^2"]}}
security
report
code
security
report
code
Enhetscirkeln är en vanlig cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien 1. Därför sätter vi in dessa värden i cirkelns ekvation och förenklar för att få enhetscirkelns ekvation.
Enhetscirkelns ekvation är alltså x^2 + y^2 = 1.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
För vilka vinklar v i intervallet 0^(∘) ≤ v≤ 360^(∘) gäller att sin(v) =1/2?
Nationella provet HT12 3c
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"v"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["30","150"]}}
security
report
code
security
report
code
På enhetscirkeln läser man av sinusvärden på y-axeln så vi drar en vågrät linje längs med y= 12. De vinklar som då spänns upp har sinusvärdet 12.
Det finns alltså två vinklar vars sinusvärde är 12. Båda dessa ligger mellan 0^(∘) och 180^(∘) så vi kan läsa av dem i tabellen med exakta trigonometriska värden. Där ser vi att sin(30^(∘))=1/2 och sin(150^(∘))=1/2. De sökta vinklarna är alltså v=30^(∘) och v=150^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Enhetscirkeln
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll