Enhetscirkeln: Utforska sin och cos i trigonometri

$v$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin (v)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos (v)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tan (v)$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	Odef.	$- 3$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$	$0$

Vilken punkt på enhetscirkeln motsvarar vinkeln? Svara med två värdesiffror.

2 8^{\circ}

16 2^{\circ}

- 7 5^{\circ}

Varje vinkel v i enhetscirkeln motsvaras av en punkt på cirkelns rand med koordinaterna (cos(v), sin(v)). Det innebär att vinkeln 28 ^(∘) motsvaras av koordinaterna (cos(28 ^(∘)), sin(28 ^(∘))). Vi använder cos- och sin-knappen på räknaren för att bestämma värdena. cos(28 ^(∘)) = 0.88294 ... sin(28 ^(∘)) = 0.46947 ... Avrundat till två värdesiffror ger det koordinaterna (0.88,0.47).

Vi tänker på precis samma sätt här och får då cos(162 ^(∘)) &= - 0.95105 ... sin(162 ^(∘)) &= 0.30901 ... Avrundar vi får vi koordinaterna (- 0.95,0.31).

På motsvarande sätt får vi cos(- 75 ^(∘)) &= 0.25881 ... sin(- 75 ^(∘)) &= - 0.96592 ... vilket ger koordinaterna (0.26,- 0.97).

Bestäm det exakta värdet för uttrycket.

sin (9 0^{\circ}) + cos (0^{\circ})

5 tan (3 0^{\circ})

\frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 4 5 ^{\circ} )}

sin (- 15 0^{\circ}) \cdot cos (- 12 0^{\circ})

För att förenkla uttrycken i den här uppgiften använder vi tabellen för exakta trigonometriska värden. Ur tabellen ser vi att sin(90^(∘))=1 och att cos(0^(∘))=1. Det betyder att sin(90^(∘))+cos(0^(∘))=1+1=2.

Om man inte har tillgång till tabellen kan man i det här fallet, rita upp enhetscirkeln och minnas att cosinus för en vinkel är x-koordinaten och att sinus för en vinkel är y-koordinaten.

Värdet på sin(90 ^(∘)) är alltså y-koordinaten för den punkt på enhetscirkeln som är 90 ^(∘) från den positiva x-axeln dvs. 1. Värdet på cos(0^(∘)) är x-koordinaten för vinkeln 0 ^(∘): 1. Sammantaget ger oss detta sin(90^(∘))+cos(0^(∘))=1+1=2.

Tabellen ger oss att värdet på tan(30^(∘))= 1sqrt(3). Sätter vi in det får vi 5tan(30^(∘))=5 * 1/sqrt(3)= 5sqrt(3). Vi kan också rationalisera nämnaren för detta bråk.

Vi gör på liknande sätt som tidigare och ersätter uttrycken med värden ur tabellen. Sedan förenklar vi.

I det här fallet finns varken uttrycket i täljaren eller nämnaren i tabellen. Men med hjälp av sambanden för negativa vinklar för sinus och cosinus kan vi skriva om dem så att vi kan använda oss av tabellen.

Bestäm koordinaterna för punkten $P$ som ligger på randen av enhetscrikeln. Svara med två decimaler.

Koordinaterna för en punkt på enhetscirkeln kan alltid beskrivas med hjälp av vinkeln som skapas mellan den positiva x-axeln och radien ut till punkten. Om denna vinkel kallas v har punkten koordinaterna (cos(v), sin(v)).

För punkten P är v lika med 33^(∘), vilket vi sätter in i uttrycket.

Punkten P har alltså koordinaterna (0.84, 0.54).

Bestäm $tan (v)$ med hjälp av enhetscirkeln i figuren. Avrunda till tre värdesiffror.

Enhetscirkeln med punkten (0.643,0.766).

Definitionen för tangens är tan(v)=sin(v)/cos(v). I en punkt på enhetscirkeln anger x-koordinaten cosinusvärdet och y-koordinaten anger sinusvärdet. Detta betyder att cos(v)= 0.643 och sin(v)= 0.766. Nu kan vi bestämma tan(v).

Bestäm det trigonometriska värdet exakt.

sin (31 5^{\circ})

cos (27 0^{\circ})

sin (- 21 0^{\circ})

Vinkeln 315^(∘) är inte någon standardvinkel, men om vi ritar ut den i enhetscirkeln kan vi se hur den relaterar till andra vinklar som är det.

Vi ser här att vinkeln 315^(∘) går nästan hela vägen runt enhetscirkeln, och den delen som är kvar är 360^(∘) - 315^(∘) = 45^(∘). Att gå 45^(∘) medurs runt enhetscirkeln är alltså samma sak som att gå 315^(∘) moturs. Vinklar medurs anges som negativa, dvs v=-45^(∘). Det ger att sin(315^(∘)) = sin(-45^(∘)). Genom att utnyttja att sinusvärdet av en negativ vinkel är lika med det negativa sinusvärdet av motsvarande positiva vinkel kan vi sedan skriva om sin(315^(∘)) exakt med tabellen för standardvinklar.

Vinkeln 270^(∘) är inte heller någon standardvinkel, så vi gör på samma sätt igen och ritar ut den i enhetscirkeln.

Här kan man direkt läsa av att cos(270^(∘))=0

eftersom punkten ligger på y-axeln, där x-värdet är lika med 0.

Vi kan också resonera på liknande sätt som i förra deluppgiften. Vinkeln v som går medurs blir den här gången -90 ^(∘). Vi söker cosinusvärdet för denna vinkel eftersom det är lika med cosinusvärdet för 270^(∘): cos(270^(∘)) = cos(-90^(∘)). Cosinus för negativa vinklar är lika med cosinus för motsvarande positiva vinkel, så cos(-90^(∘)) = cos(90^(∘)). Detta är cosinusvärdet av en standardvinkel och är lika med 0, vilket ger cos(270^(∘)) = 0.

Vinkeln -210^(∘) är negativ, men vi kan fortfarande tänka på samma sätt som tidigare. Vi kommer ihåg att negativa vinklar går medurs från x-axeln och ritar ut den i enhetscirkeln.

Om den kända vinkeln är 210^(∘) av ett helt varv blir det 360^(∘) - 210^(∘) = 150^(∘) över till vinkeln v. Den vinkeln måste vara positiv eftersom den går moturs från den positiva x-axeln, så v = 150^(∘), vilket är en standardvinkel. Vi får då sin(-210^(∘)) = sin(150^(∘)) Sinusvärdet av 150^(∘) är 12, vilket ger sin(-210^(∘)) = 1/2.

Niamh löser en uppgift om enhetscirkeln där man ska svara exakt. Hon får svaret

2 sin (3 0^{\circ}) + cos (5 0^{\circ}) .

Hon utbrister: "Det går inte att svara exakt eftersom

5 0^{\circ}

inte är en standardvinkel!" Har Niamh rätt?

Niamh har fel. Ett exakt svar betyder bara att det inte har avrundats, och varken uttrycket 2sin(30^(∘)) eller cos(50^(∘)) är avrundat. Hon hade alltså kunnat svara 2sin(30^(∘))+cos(50^(∘)), och det hade varit exakt. Dock förväntas man förenkla så långt som möjligt så det mest korrekta svaret här hade varit 1+cos(50^(∘)).

Bestäm ekvationen för enhetscirkeln.

Enhetscirkeln är en vanlig cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien 1. Därför sätter vi in dessa värden i cirkelns ekvation och förenklar för att få enhetscirkelns ekvation.

Enhetscirkelns ekvation är alltså x^2 + y^2 = 1.

För vilka vinklar

v

i intervallet

0^{\circ} \leq v \leq 36 0^{\circ}

gäller att

sin (v) = \frac{1}{2} ?

Nationella provet HT12 3c

På enhetscirkeln läser man av sinusvärden på y-axeln så vi drar en vågrät linje längs med y= 12. De vinklar som då spänns upp har sinusvärdet 12.

Det finns alltså två vinklar vars sinusvärde är 12. Båda dessa ligger mellan 0^(∘) och 180^(∘) så vi kan läsa av dem i tabellen med exakta trigonometriska värden. Där ser vi att sin(30^(∘))=1/2 och sin(150^(∘))=1/2. De sökta vinklarna är alltså v=30^(∘) och v=150^(∘).

Enhetscirkeln

Trigonometri i enhetscirkeln

Exempel

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

Trigonometriska samband

Regel

Samband mellan tangens, sinus och cosinus

Regel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel

Regel

Sinusvärdet för en negativ vinkel

Regel

Sinusvärdet för en vinkel speglad i $y$ -axeln

Trigonometriska värden för standardvinklar – grader

Exempel

Bestäm de trigonometriska värdena exakt

$2 cos (12 0^{\circ})$

$sin (- 4 5^{\circ})$

$\frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}$

Enhetscirkeln

Rekommenderade uppgifter

	6 sidor teori
	18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Enhetscirkeln

Exempel

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

Regel

Regel

Regel

Regel

Exempel

Bestäm de trigonometriska värdena exakt

2cos(120∘)

sin(−45∘)

cos(30∘)sin(150∘)​

Enhetscirkeln

Rekommenderade uppgifter

$2 cos (12 0^{\circ})$

$sin (- 4 5^{\circ})$

$\frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}$