{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Den cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien 1 kallas enhetscirkeln. Låter man en punkt P röra sig moturs längs med cirkelranden skapas en vinkel v mellan den positiva x-axeln och den radie som går ut till P. Om punkten rör sig medurs från positiva x-axeln låter man v vara negativ.
Regel
Trigonometri i enhetscirkeln
Om man känner till vinkeln v kan man bestämma koordinaterna, (x,y), för punkten P med hjälp av definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Genom att dra en lodrät linje från P till x-axeln bildas en rätvinklig triangel tillsammans med x-axeln och enhetscirkelns radie.
cos(v)=HypotenusaNa¨rliggande katet=1x=x.
På motsvarande sätt kan punktens y-koordinat uttryckas med definitionen för sinus:
sin(v)=HypotenusaMotsta˚ende katet=1y=y.
Generellt gäller för alla punkter (x,y) på enhetscirkelns rand att x-koordinaten är lika med cos(v) och att y-koordinaten är sin(v). 
x=cos(v) och y=sin(v)
Exempel
Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln
Bestäm koordinaterna för punkten A. Avrunda till två decimaler.
Visa Lösning expand_more
Eftersom cirkeln i uppgiften har radien 1 och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att koordinaterna för punkter på randen, t.ex. för A, kan uttryckas med cosinus och sinus om man känner till vinkeln v som bildas mellan positiva x-axeln och radien:
x=cos(v) och y=sin(v).
I det här fallet är v=128∘ vilket ger oss koordinaterna
A=(cos(128∘),sin(128∘)).
Om vi slår in de trigonometriska värdena på räknaren ger det cos(128∘)=−0.61566… och sin(128∘)=0.78801… Avrundas dessa värden till två decimaler får vi koordinaterna
A≈(−0.62,0.79).
Regel
Trigonometriska samband
Man kan man visa några samband för de trigonometriska funktionerna med hjälp av bl.a. definitionen för sinus och cosinus samt symmetrin i enhetscirkeln. 
Eftersom tangens för en vinkel definieras som den motstående kateten dividerat med den närliggande får man
Regel
tan(v)=cos(v)sin(v)Regel
Samband mellan tangens, sinus och cosinus
Tangensvärdet för en vinkel v är lika med kvoten mellan sinusvärdet och cosinusvärdet för samma vinkel.
tan(v)=cos(v)sin(v)
Vinkeln v i enhetscirkeln svarar mot en punkt med koordinaterna (cos(v),sin(v)), vilket också är katetlängderna på den triangel som kan ritas in mot x-axeln.
tan(v)=Na¨rliggande katetMotsta˚ende katet=cos(v)sin(v).
Detta är en kvot, så nämnaren får inte vara 0. Det betyder att tan(v) är odefinierad för de vinklar som gör att cosinusvärdet blir 0, t.ex. v=90∘ och v=270∘.Regel
cos(−v)=cos(v)Regel
Cosinusvärdet för en negativ vinkel
Cosinusvärdet för en negativ vinkel −v är lika med cosinusvärdet för den positiva vinkeln v.
cos(−v)=cos(v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln −60∘ i enhetscirkeln vrids den lika långt som en 60∘-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att man får samma x-värde som för 60∘.
Eftersom cosinusvärdet av en vinkel motsvarar x-värdet betyder det att
cos(−60∘)=cos(60∘).
Regel
sin(−v)=−sin(v)Regel
Sinusvärdet för en negativ vinkel
Sinusvärdet för en negativ vinkel −v är lika med "minus" sinusvärdet för den positiva vinkeln v.
sin(−v)=−sin(v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln −30∘ i enhetscirkeln kommer den att vridas lika långt som en 30∘-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att y-värdet för punkten är likadant som för 30∘ men negativt.
Sinusvärdet av en vinkel motsvarar y-värdet, så sambandet mellan sin(−30∘) och sin(30∘) är alltså att de har samma storlek, men olika tecken:
sin(−30∘)=−sin(30∘).
Regel
sin(v)=sin(180∘−v)Regel
Sinusvärdet för en vinkel speglad i y-axeln
Sinusvärdet för en vinkel v är lika med sinusvärdet för vinkeln 180∘−v.
sin(v)=sin(180∘−v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln 30∘ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan y-axeln som också skapar vinkeln 30∘, men mot den negativa x-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma höjd, och därför ha samma y-värde.
Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av x-axeln kommer den att vara 180∘−30∘.
Båda dessa vinklar motsvarar samma y-värde och eftersom sinusvärdet för vinklarna är lika med detta y-värde betyder det att
sin(30∘)=sin(180∘−30∘).
Memo
Trigonometriska värden för standardvinklar – grader
| v | 0∘ | 30∘ | 45∘ | 60∘ | 90∘ | 120∘ | 135∘ | 150∘ | 180∘ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin(v) | 0 | 21 | 21 | 23 | 1 | 23 | 21 | 21 | 0 |
| cos(v) | 1 | 23 | 21 | 21 | 0 | −21 | −21 | −23 | −1 |
| tan(v) | 0 | 31 | 1 | 3 | Odef. | −3 | −1 | −31 | 0 |
Exempel
Bestäm de trigonometriska värdena exakt
2cos(120∘)sin(−45∘)cos(150∘)sin(30∘)
Visa Lösning expand_more
För att se vad uttrycken är lika med använder vi tabellen med exakta trigonometriska värden.
2cos(120∘)
Vinkeln 120∘ är en standardvinkel som ger cosinusvärdet −21. Vi sätter in detta i uttrycket och förenklar.2cos(120∘)=2(−21)=−1
sin(−45∘)
Negativa vinklar finns inte i tabellen, så här skriver vi först om uttrycket så att det innehåller en standardvinkel. Enligt sambandet sin(−v)=−sin(v) är sin(−45∘)=−sin(45∘). Vinkeln 45∘ är en standardvinkel som ger sinusvärdet 21 vilket vi sätter in i uttrycket:sin(−45∘)=−sin(45∘)=−21.
cos(30∘)sin(150∘)
I det här fallet har vi två standardvinklar, så vi kan direkt skriva om sin(150∘) som 21 och cos(30∘) som 23 och förenkla. Det exakta värdet för det trigonometriska uttrycket är alltsåcos(30∘)sin(150∘)=31.
Laddar innehåll