Tangens för en vinkel kan skrivas som kvoten mellan sinus och cosinus för samma vinkel. I det här fallet är vinkeln - v, vilket ger tan( - v)=sin( - v)/cos(- v). Nu kan vi använda de trigonometriska sambanden sin(- v)=- sin(v) och cos(- v)=cos(v) för att skriva om täljaren och nämnaren så att argumentet är v. Därefter förenklar vi.

Likheten gäller alltså!

Här ska vi använda värden ur tabellen för standardvinklar, men alla finns inte med. Därför börjar vi med att använda några olika trigonometriska samband för att skriva om uttrycket till uttryck som går att hitta i tabellen.

Nu kan vi läsa av nödvändiga värden ur tabellen med standardvinklar.

Vi sätter in dessa och förenklar tills vi får något som stämmer med det uttrycket vi skulle visa.

Vi har alltså att (tan(-120^(∘)))^2(sin(135^(∘))-cos(180^(∘)))/cos(-45^(∘))=3(1+sqrt(2) )

Vi vill hitta värden på v som ger sinusvärdet 1sqrt(2). Om vi tittar i tabellen med värden för standardvinklarna hittar vi två sådana vinklar: sin(45^(∘)) = 1sqrt(2) och sin(135^(∘)) = 1sqrt(2). Det betyder att ekvationen har de två lösningarna v=45^(∘) och v=135^(∘).

Vi kan få fram en lösning till ekvationen genom att titta i tabellen med värden för standardvinklarna. Där ser vi att cos(60 ^(∘))=1/2, så en lösning är v=60 ^(∘). Men vi vet också att det brukar uppkomma en del symmetri i enhetscirkeln, så det kan vara bra att skissa upp den för att kontrollera om det finns någon lösning på intervallet - 180 ^(∘) ≤ v ≤ 0^(∘). Cosinusvärdet är x-koordinaten för punkten.

Vi ser nu att även vinkeln - 60 ^(∘) ger x-koordinaten 12.

Det innebär alltså att både v=60^(∘) och v=- 60^(∘) löser ekvationen cos(v) = 1/2.

Enligt tabellen ger vinkeln v=0 ^(∘) cosinusvärdet 1. Men finns det fler lösningar? Vi ritar upp enhetscirkeln för att kontrollera.

Cosinusvärdet 1, dvs. x-värdet 1, hittar vi bara längst ut till höger på enhetscirkeln och det finns bara en vinkel som ger detta, nämligen v=0^(∘).

En punkt som motsvaras av vinkeln v på enhetscirkeln har y-värdet sin(v). Det minsta värdet på sin(v) måste därför vara y-koordinaten för den punkt som ligger längst ner på enhetscirkeln.

Den har y-värdet är -1, så detta är det minsta värdet som sin(v) kan anta. Det största värdet är y-koordinaten för den punkt som befinner sig högst upp på enhetscirkeln.

Den har y-värdet 1 så detta är det största värde som sin(v) kan anta.

En punkt som motsvaras av vinkeln v på enhetscirkeln har x-värdet cos(v). Det minsta x-värdet är det som är längst till vänster på enhetscirkeln.

Det är -1 så detta är det minsta värde som cos(v) kan anta. Det största x-värdet är det som är längst till höger.

Det är 1 så det största värdet som cos(v) kan anta är 1.

Vi börjar med att beräkna uttryckens värde, ett i taget, och sedan avslutar vi med att jämföra dem.

Uttryck A

Eftersom 180 ^(∘) - 40 ^(∘) = 140^(∘) kan vi skriva om nämnaren till sin(40^(∘)).

Uttryck B

Cosinusvärdet av en negativ vinkel är samma som dess positiva motsvarighet. Det betyder att vi kan plocka bort minustecknet i argumentet i täljaren.

Uttryck C

Ett minustecken innanför sinus kan man flytta ut utanför utan att ändra på värdet. När vi gjort det kan vi förenkla bråket.

Uttryck D

Vi använder tabellen för standardvinklar för att bestämma -tan(30^(∘)). Där hittar vi att tan(30^(∘))= 1sqrt(3) vilket ger att - tan(30^(∘)) =- 1/sqrt(3).

Storleksordning

Vi ska alltså ordna talen 1, -1, 12 och - 1sqrt(3) i storleksordning. Vi ser direkt att de tre första talen har den inbördes ordningen -1 < 1/2 < 1. Talet - 1sqrt(3) är negativt och mindre än 1, eftersom täljaren är mindre än nämnaren. Det innebär att - 1sqrt(3) ska placeras in mellan efter -1 men före 12, vilket ger B < D < C < A.

På enhetscirkeln läser man av sinusvärden på y-axeln så vi drar en vågrät linje längs med y=0.5. De vinklar som då spänns upp har sinusvärdet 0.5 och om vi tittar i tabellen med exakta trigonometriska värden ser vi att sin(30^(∘))=0.5 och sin(150^(∘))=0.5. Vi ritar y=0.5 i en enhetscirkel och markerar dessa vinklar.

Olikheten sin(v) ≥ 0.5 innebär att vi ska bestämma samtliga vinklar som ger sinusvärden större än eller lika med 0.5. När vinkeln blir större än 30^(∘) växer sinusvärdet till och med v=90^(∘). När vinkeln blir större än 90^(∘) minskar det successivt till 0.5 där v=150^(∘). Alla vinklar som har ett sinusvärde större än eller lika med 0.5 är alltså 30^(∘)≤ v ≤ 150^(∘).

Vi känner till att Lordi färdas 3^(∘) på en sekund. Med hjälp av detta kan vi bestämma tiden det tar för dem att snurra en bestämd vinkel. Resan delas upp i två delar: vinkeln upp till 30 m, som vi kallar v_1, samt vinkeln från 30 m upp till 50 m, som kallas v_2. Vi kan redan nu förutse att Lordi kommer nå höjden 50 m två gånger: på vägen upp och på vägen ner.

Vinkeln v_1

Eftersom hjulet är 60 m högt innebär det att 30 m motsvarar hjulets radie. För att Lordi ska nå denna höjd måste hjulet snurra ett kvarts varv, dvs. v_1=90^(∘).

Vinkeln v_2

När de är på 30 m höjd måste de åka ytterligare 20 m för att nå höjden 50 m. Vi börjar med att ta reda på hur många grader det tar innan de når denna höjd på vägen upp. I figuren kan vi rita in en rätvinklig triangel där motstående katet till vinkeln intill hjulets mittpunkt är 20 m och hypotenusan är 30 m, eftersom det är hjulets radie.

Med hjälp av sinus kan vi då ta reda på vinkeln intill mittpunkten.

42 ^(∘) är alltså den ena vinkeln som ger denna höjd. Den andra vinkeln kan beräknas med sambandet sin(v_2)=sin(180^(∘)-v_2). För att undvika avrundningsfel behåller vi många decimaler. 180^(∘) - 41.81031... ^(∘) = 138.18968 ... ^(∘) ≈ 138 ^(∘) Från 30 m höjd ska Lordi alltså snurra ytterligare ca 42 ^(∘) eller 138 ^(∘). Den större vinkeln motsvarar det tillfälle då de når höjden 50 m på nervägen.

Tiden

Lordi når alltså höjden 50 m för följande vinklar. 90^(∘)+42^(∘) = 132^(∘) och 90^(∘)+138^(∘) = 228^(∘) Tiden får vi genom att dividera respektive vinkel med hastigheten 3^(∘)/s: t_1=132/3 = 44 s och t_2=228/3 = 76s.